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免费2018届中考数学《第四部分综合与实践第六讲第1课时几何图形中的动点问题》同步练习含考点分类汇编详解第六讲运动型问题第1课时几何图形中的动点问题(58分)一、选择题(每题6分，共18分)1．[2017·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为(D)A.29B.34 C.52  D.41图6－1－1第1题答图【解析】令点P到AB的距离为h，由S△PAB＝13S矩形ABCD，得12×5h＝13×5×3，解得h＝2，动点P在EF上运动，如答图，作点B关于EF的对称点B′，BB′＝4，连结AB′交EF于点P，此时PA＋PB最小，根据勾股定理求得最小值为52＋42＝41，选D.2．如图6－1－2，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2＝y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是     (D)【解析】①当0≤x≤2a时，∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2；②当2a＜x≤3a时，CP＝2a＋a－x＝3a－x，∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝(3a－x)2＋(2a)2＝x2－6ax＋13a2；③当3a＜x≤5a时，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x，∴PD2＝y＝(5a－x)2，y＝x2＋a2（0≤x≤2a），x2－6ax＋13a2（2a<x≤3a），（x－5a）2（3a<x≤5a），∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象．3．如图6－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以23为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是          (A)【解析】首先根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分别求出AC，BC，以及AB边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t≤23时；②当23＜t≤6时；③当6＜t≤8时，分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可．S＝36t2（0≤t≤23），2t－23（23<t≤6），－233t2＋（2＋83）t－263（6<t≤8）.二、解答题(共20分)4．(20分)[2017·无锡]如图6－1－4，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连结CP，作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s)．(1)若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．图6－1－4【解析】(1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.①在Rt△BEC中，计算BE的值；②在Rt△ABP中，利用勾股定理列出关于t的方程，解出t值即可求；(2)如图②，P，E，B三点在同一直线上，连结EC，过点E作EF⊥BC于F.①在Rt△EFC中，利用勾股定理求出CF；②利用相似三角形的判定与性质求得BF；③根据m＝BC＝BF＋CF计算m的值．解：(1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC.∵PD＝t，m＝6，∴PA＝6－t.∵点D，点E关于直线PC对称．∴PE＝t，EC＝DC＝AB＝4，∠CEP＝∠CDP＝90°.在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝4，∴BE＝BC2－EC2＝62－42＝25.在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝BP2，即42＋(6－t)2＝(25＋t)2，解得t＝6－25.(2)如答图②，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3.作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°，∴EM＝BC2－CM2＝7，∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，∴△ADC∽△DME，∴ADDM＝DCEM，即AD7＝47，∴AD＝47.第4题答图②第4题答图③如答图③，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3.作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.在Rt△ECQ中，QC＝DM＝42－32＝7，由△DME∽△CDA，∴DMCD＝EMAD，即74＝1AD，∴AD＝477，综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围是477≤m＜47.5．(20分)[2017·丽水]如图6－1－5，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部．连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.图6－1－5(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．【解析】设AE＝a，则AD＝na.(1)由轴对称性质得到AE＝FE，结合"等边对等角"得到∠EAF＝∠EFA.由垂直得到两个角的互余关系，根据"等角的余角相等"可得到结论；(2)由对称性质得BE⊥AF，先证∠ABE＝∠DAC，进而证得△ABE∽△DAC，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；(3)由特例点F落在线段BC上，确定n＝4，根据条件点F落在矩形内部得到n＞4，判断出∠FCG＜90°.然后分∠CFG＝90°和∠CGF＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n的等式，求得n的值．解：设AE＝a，则AD＝na.(1)证明：由对称得AE＝FE，∴∠EAF＝∠EFA.∵GF⊥AF，∴∠EAF＋∠FGA＝∠EFA＋∠EFG＝90°.∴∠FGA＝∠EFG，∴FG＝EF，∴AE＝GE.(2)当点F落在AC上时(如答图①)，由对称得BE⊥AF，∴∠ABE＋∠BAC＝90°，∵∠DAC＋∠BAC＝90°，∴∠ABE＝∠DAC.又∵∠BAE＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DAC，∴ABDA＝AEDC.∵AB＝DC，∴AB2＝AD·AE＝na·a＝na2.∵AB＞0，∴AB＝na，∴ADAB＝nana＝n.(3)若AD＝4AB，则AB＝n4a.当点F落在线段BC上时(如答图②)，EF＝AE＝AB＝a.此时n4a＝a，∴n＝4.∴当点F落在矩形内部时，n＞4.∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°.第5题答图② 第5题答图③①若∠CFG＝90°，则点F落在AC上，由(2)得ADAB＝n，∴n＝16.②若∠CGF＝90°(如答图③)，则∠CGD＋∠AGF＝90°.∵∠FAG＋∠AGF＝90°，∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE，∵∠BAE＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DGC.∴ABDG＝AEDC，∴AB·DC＝DG·AE，即n4a2＝(n－2)a·a，解得n1＝8＋42，n2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．∴当n＝16或8＋42时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．(20分)6．(20分)[2017·菏泽]如图6－1－6，正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连结AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.(1)如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；(2)如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以2cm/s的速度沿BD向点D运动，设运动时间为ts.①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；②当BN＝2AN时，连结FN，求FN的长．图6－1－6【解析】(1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN＝∠BAF，利用"AAS"可以得出△ADN≌△BAF就可以得到结论AF＝MN；(2)①由AD∥BF可得△ADE∽△FBE，利用ADBF＝DEBE可以构造y关于t的函数表达式；②由(1)可知△MAN∽△ABF，∴MAAN＝ABBF，又∵BN＝2AN，∴6－t2＝6BF，用含t的代数式表示BF，结合①中的关系式，可以构造关于t的方程求出t的值，从而求出BF，最后利用勾股定理求FN的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵MN⊥AF，∴∠DHA＝∠NHA＝90°，∴∠ADH＋∠HAD＝90°，∠NAH＋∠HAD＝90°，∴∠ADH＝∠NAH.在△ADN与△BAF中，∠ADN＝∠BAF，AD＝BA，∠DAN＝∠ABF，∴△ADN≌△BAF，∴AF＝DN，即AF＝MN.(2)①∵正方形的边长为6cm，∴BD＝AB2＋AD2＝2AD＝62cm，∵设运动时间为ts，根据题意，得BE＝2tcm，∴DE＝BD－BE＝(62－2t)cm，∵AD∥BF，∴△ADE∽△FBE，∴ADBF＝DEBE，∵BF＝ycm，∴6y＝62－2t2t，即y＝6t6－t，∴y关于t的函数表达式为y＝6t6－t.②∵BN＝2AN，AB＝6cm，∴AN＝2cm，BN＝4cm，由(1)得△MAN∽△ABF，又∵DM＝tcm，AM＝(6－t)cm，∴MAAN＝ABBF，即6－t2＝6BF，∴BF＝126－t，又∵y＝6t6－t，∴126－t，＝6t6－t解得t＝2，当t＝2时，BF＝y＝6t6－t＝3cm，在Rt△NBF中，FN＝BN2＋BF2＝42＋32＝5，∴当BN＝2AN时，FN的长为5cm.(22分)7．(22分)[2017·温州]如图6－1－7，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点为C(点C在线段BD上)，连结AC，DE.(1)当∠APB＝28°时，求∠B和CM︵的度数；(2)求证：AC＝AB；(3)在点P的运动过程中．①当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得点G，若点G恰好落在MN上，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG与△DEG的面积比．图6－1－7【解析】(1)由垂直平分线的性质得到等腰△PAB，由三线合一得∠APM＝∠BPM＝12∠APB＝14°，∠B＝90°－∠BPM＝90°－14°＝76°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠MDB＝∠BAC＝2∠DPM＝28°，以此求得弧CD的度数为2∠MDB＝56°；(2)由同角的余角相等，得∠ACB＝∠B，AC＝AB；(3)由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ的长度；利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)如答图①，连结MD.∵AB⊥MN，AM＝BM，∴PM垂直平分线段AB，∴PA＝PB，在等腰三角形PAB中，∵∠APB＝28°，∴∠APM＝∠BPM＝12∠APB＝14°，∴∠B＝90°－∠BPM＝90°－14°＝76°，在Rt△MPB中，点D为斜边BP的中点，∴DM＝DP，∴∠MPD＝∠DMP＝14°，∴∠MDB＝∠BAC＝2∠DPM＝28°，∴CM︵的度数＝2∠MDB＝56°；(2)证明：由(1)可得∠B＝90°－∠BPM＝90°－12∠BAC，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－(90°－12∠BAC)－∠BAC＝90°－12∠BAC，∴∠ACB＝∠B,∴AC＝AB.第7题答图①第7题答图②(3)①若要满足题意，则点Q必为过点A，C，E，D的垂线与线段MN的交点，分析图形可得只有过点C，E，D的垂线与线段MN的交点满足题意．(Ⅰ)若CQ⊥CP(如答图②点Q1)，AM＝BM＝1，MP＝4，由勾股定理，得BP＝12＋42＝17，由(1)(2)可得∠BAC＝∠APB，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△PBA，∴ABBC＝BPAB，得BC＝41717，∴CP＝131717.由△PCQ1∽△PMB，得CPMP＝PQ1PB，解得PQ1＝134，∴MQ1＝4－PQ1＝34.(Ⅱ)若QD⊥BP，由EP＝DP可知△EPQ2≌△DPQ2(如答图②点Q2)，∴EQ2⊥EP.(即过点E，D的垂线与线段MN的交点重合)∵点D为线段BP的中点，且Q2D⊥BP，∴Q2D垂直平分线段BP，则Q2P＝Q2B，设Q2M＝x，则Q2B＝Q2P＝4－x,由勾股定理，得BM2＋M2Q2＝B2Q2，12＋x2＝(4－x)2，解得x＝185.(Ⅲ)若AC⊥CQ(如答图②点Q3)，∵∠ACQ3＝90°，∴Q3A为该圆的直径，∴点Q3为MP与圆的交点，∵∠MAC＝∠MQ3C＝2∠MPC，∠MQ3C＝∠MPC＋∠Q3CP，∴PQ3＝CQ3，设MQ3＝x，则PQ3＝4－x，AC＝AB＝2，∵A3Q2＝AM2＋M3Q2＝AC2＋C3Q2，∴12＋x2＝22＋(4－x)2，解得x＝198.综上所述，MQ的值为34或158或198.②如答图③，过点E作AP的中垂线，交MP于点K.过点C作CJ⊥AB于点J，连结AK，KE，DM.∵点M，D分别为AB，BP的中点，∴MD为△ABP的中位线，∴MD∥AP，AM＝DF.又∵AM∥ED，∴四边形MAED为平行四边形，∴AM＝DE，∠MDE＝∠MAP，∴DE＝DF，∵△GHE≌△GHD，∴GE＝GD，∴GE＝GD＝DE＝DF，则△GDE为正三角形，∠GDE＝60°.∵∠EDF＝90°－60°－30°，∴∠DEF＝12(180°－∠EDF)＝75°，∴∠APM＝15°，则∠AKM＝2∠APM＝30°，∴MK＝3，AK＝KP＝2，tan75°＝tan∠MAP＝PMMA＝2＋31＝2＋3，∴tan∠MAP＝tan∠HEP＝tan75°＝2＋3，∵EH为△AMP的中位线，∴EH＝12，GH＝32，∴tan∠HEP＝PHEH＝2＋3，HP＝12(2＋3)，∴MG＝1，∵∠MAC＝2∠MPA＝30°，AM＝1，CJ＝12AC＝12AB＝1，∴MI＝33，IG＝1－33，AJ＝3，∴S△ACG＝12IG·AJ＝12×1－33×3＝3－12，S△EDG＝12ED·GH＝12×1×32＝34，∴S△ACGS△DEG＝3－1234＝6－233.