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免费2018届甘肃中考数学《第四章三角形》总复习练习题含分类汇编解析第四章三角形第13讲线段、角、相交线与平行线(时间60分钟满分95分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分)1．(2017·玉林)如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是(B)A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角2．(2017·广东)已知∠A＝70°，则∠A的补角为(A)A．110°B．70°C．30°D．20°3．(2016·宜昌)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是(D)A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线D．两点之间，线段最短4．(2017·山西)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是(D)A．∠1＝∠3B．∠2＋∠4＝180°C．∠1＝∠4D．∠3＝∠4第4题图第5题图5．(2017·黄冈)已知：如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝∠3，则∠2的度数为(C)A．50°B．60°C．65°D．75°6．(2017·枣庄)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(A)A．15°B．22.5°C．30°D．45°第6题图第7题图7．(2017·襄阳)如图，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于点E.若∠A＝50°，则∠1的度数为(A)A．65°B．60°C．55°D．50°8．(2017·烟台)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为(D)A．48°B．40°C．30°D．24°第8题图第9题图9．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于(导学号35694165)(C)A．50°B．30°C．20°D．10°10．(2017·无锡)对于命题"若a2＞b2，则a＞b"，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(B)A．a＝3，b＝2B．a＝－3，b＝2C．a＝3，b＝－1D．a＝－1，b＝311．(2017·深圳)下列哪一个是假命题(C)A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．(3，－2)关于y轴的对称点为(－3，2)D．抛物线y＝x2－4x＋2017的对称轴为直线x＝212．(2017·包头)已知下列命题：①若ab>1，则a>b；②若a＋b＝0，则|a|＝|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(A)A．1个B．2个C．3个D．4个13．(2017·孝感)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有(A)A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)14．如图，三角板的直角顶点在直线l上，若∠1＝70°，则∠2＝__20°__．15．命题"对顶角相等"的逆命题是__假__命题(填"真"或"假")．16．(2018·原创)如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD＝43°，则∠COB＝__133__度．(导学号35694166)第16题图第17题图17．(2017·广州)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，则∠B＝__70°__．18．(2017·张家界)如图，a∥b，PA⊥PB，∠1＝35°，则∠2的度数是__55°__．第18题图第19题图19．(2017·淮安)如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC＝100°.若∠1＝34°，则∠2＝__46__°.(导学号35694167)20．(2017·苏州)如图，点D在∠AOB的平分线OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠1＝25°，则∠AED的度数为__50__°.第20题图第21题图21．(2017·岳阳)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是__60°__．22．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，AB＝AC，若∠1＝20°，则∠2＝__65°__.第22题图第23题图23．如图，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是__70°__．三、解答题(本大题共2小题，共13分)24．(6分)(2017·重庆B)如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．解：∵EF∥GH，∴∠ABD＋∠FAC＝180°，∴∠ABD＝180°－72°＝108°，∵∠ABD＝∠ACD＋∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD－∠ACD＝108°－58°＝50°.25．(7分)(2017·河北)在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p.(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p.解：(1)若以B为原点，则C表示1，A表示－2，∴p＝1＋0－2＝－1；若以C为原点，则A表示－3，B表示－1，∴p＝－3－1＋0＝－4；(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，则C表示－28，B表示－29，A表示－31，∴p＝－31－29－28＝－88.第14讲三角形与全等三角形(时间60分钟满分120分)A卷一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)1．(2017·金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(导学号35694167)(C)A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，12D．6，8，102．(2017·扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是(D)A．6B．7C．11D．123．已知不等边三角形三边长为a，b，c，其中a，b两边满足a2－12a＋36＋b－8＝0，那么这个三角形的最大边c的取值范围是(B)A．c>8B．8<c<14C．6<c<8D．8≤c<144．图中一共有三角形(C)A．1个B．2个C．3个D．4个5．(2017·河池)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(A)A．中线B．角平分线C．高D．中位线6．(2017·长春)如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为(C)A．54°B．62°C．64°D．74°第6题图第7题图7．(2017·吉林)如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的度数是(C)A．70°B．44°C．34°D．24°二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)8．(2017·成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°__．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处．若∠B＝25°，则∠BDE＝__40__度.第9题图第10题图10．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝__85°__．11．(2017·宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM.当AM⊥BM时，则BC的长为__8__.12．(2017·泸州)在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O.若OD＝2cm，OE＝4cm，则线段AO的长度为__45__.(导学号35694168)13．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为6，△BCF的面积为9，△CEF的面积为6，则四边形ADFE的面积为__24__.三、解答题(本大题共1小题，共6分)14．(6分)如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，∠C＝66°，求∠DAC、∠BOA的度数．解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝66°，∴∠DAC＝180°－90°－66°＝24°，∵∠BAC＝54°，∠C＝66°，AE是角平分线，∴∠BAO＝27°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝123°.B卷一、选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是(D)A．∠A＝∠DB．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝BD第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是(D)A．15°B．20°C．25°D．30°3．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为(C)A．40B．46C．48D．50第3题图第4题图4．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠CMA＝25°，则∠C的度数为(D)A．100°B．110°C．120°D．130°5．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为(C)A．44°B．66°C．96°D．92°二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)6．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝__120°__.第6题图第7题图7．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：__AB＝DE(答案不唯一)__，使得△ABC≌△DEC.(导学号35694169)8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝__7__cm.第8题图第9题图9．(2017·新疆生产建设兵团)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝12AC·BD.正确的是__①④__.(填写所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共5小题，共43分)10．(6分)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F.证明：FD＝AB.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠F，∵E是AD边上的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，∴△ABE≌△DFE(A)，∴FD＝AB.11．(6分)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF.(导学号35694170)证明：∵BE＝CF(已知)，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(A)，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DF.12．(7分)(2017·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△BDG和△ADC中，∴△BDG≌△ADC(S)，∴∠BGD＝∠C，BG＝AC，∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝12BG＝EG，DF＝12AC＝CF，∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD＝∠C＝∠FDC，∵∠FDC＋∠FDA＝90°，∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE⊥DF；(2)解：∵AC＝10，∴DE＝DF＝5，由勾股定理得，EF＝DE2＋DF2＝52.13．(8分)(2017·苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．(导学号35694171)(1)证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED(A)；(2)解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°.14．(9分)(2017·哈尔滨)已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.(1)如图①，求证：AE＝BD；(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，DC＝EC，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD(S)，∴AE＝BD；(2)解：∵AC＝DC，∴AC＝CD＝EC＝CB，∴△ACB≌△DCE(S)；由(1)可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC∴∠DOM＝90°，∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，∴△EMC≌△BNC(A)，∴CM＝CN，∴DM＝AN，∴△AON≌△DOM(A)，∵DE＝AB，AO＝DO，∴△AOB≌△DOE(HL)．第15讲特殊三角形(时间80分钟满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为(C)A．7B．9C．12D．9或122．在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为(C)A．27°B．54°C．63°D．36°第3题图第4题图4．(2017·台州)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(C)A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABE5．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠DBC＝(A)A．22.5°B．30°C．32°D．15°,第6题图)6．(2017·武汉)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为(D)A．4B．5C．6D．77．(2017·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为(B)A．2aB．22aC．3aD.433a第7题图第8题图8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为(导学号35694172)(B)A．30°B．40°C．50°D．60°9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝(C)A．40°B．30°C．20°D．10°第9题图第11题图10．(2017·河池)已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(C)A．3B．4C．8D．911．(2016·广州)如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝(导学号35694173)(D)A．3B．4C．4.8D．512．(2016·内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(导学号35694174)(B)A.32B.332C.32D．不能确定二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝__50°__．第13题图第14题图14．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的等腰三角形有__3__个．15．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D，E，若AB＝4，AC＝3，则△ADE的周长是__7__.第15题图第16题图16．(2017·青岛)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__32__度．17．(2017·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝__23__．(导学号35694175)三、解答题(本大题共2小题，共17分)18．(8分)如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.(导学号35694176)(1)求证：CD⊥AB；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠BCD＝90°，∵∠1＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB；(2)解：∵S△ABC＝12AB·CD＝12AC·BC，∴CD＝AC·BCAB＝6×810＝4.8.19．(9分)如图，△ABC为等边三角形，过点B作BD⊥AC于点D，过D作DE∥BC，且DE＝CD，连接CE.(1)求证：△CDE为等边三角形；(2)连接BE，若AB＝4，求BE的长．(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠ACB＝60°，又∵DE＝DC，∴△CDE为等边三角形；(2)解：如解图，过点E作EH⊥BC于H，∵BD⊥AC，∴CD＝12AC＝12AB＝2，又∵△CDE是等边三角形，∴CE＝CD＝2，∵∠ECH＝60°，∴EH＝EC·sin60°＝2×32＝3，CH＝EC·cos60°＝1，∴BE＝BH2＋EH2＝52＋（3）2＝28＝27.第16讲相似三角形(时间70分钟满分70分)一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1．已知xy＝34，那么下列各式中正确的是(A)A.yx＋y＝47B.xx－y＝3C.x＋2yx＝103D.x－yy＝142．(2017·重庆B)已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(A)A．1∶4B．4∶1C．1∶2D．2∶13．(2017·恩施州)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为(导学号35694177)(C)A．6B．8C．10D．12第3题图第4题图4．(2017·张家界)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(B)A．6B．12C．18D．245．(2017·绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于(B)A．10mB．12mC．12.4mD．12.32m第5题图第6题图6．(2017·眉山)"今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？"这是我国古代数学《九章算术》中的"井深几何"问题，它的题意可以由图获得，则井深为(B)A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．(2017·长春)如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为__6__．第7题图第8题图8．(2017·潍坊)如图，在△ABC中，AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：__DF∥AC或∠BFD＝∠A__，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．(2017·北京)如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN＝1，则S四边形ABNM＝__3__.(导学号35694178)第9题图第10题图10．如图，甲、乙两个路灯相距30米，一天晚上，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为1.5米，那么路灯甲的高为__9__米．11．(2016·安徽改编)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为__42__.第11题图第12题图12．(2017·杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于__78__.(导学号35694179)三、解答题(本大题共3小题，共28分)13．(9分)(2017·杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴ADAB＝AEAC＝35，由(1)可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AFAG＝AEAC＝35.14．(9分)(2017·宿迁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.(导学号35694180)证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF；(2)∵△BDE∽△CEF，∴BECF＝DEEF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CECF＝DEEF，∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE＝∠CFE，∴FE平分∠DFC.15．(10分)某市中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为16米，落在斜坡上的影长CD为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°.1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长EG为2米，求旗杆的高度．解：如解图，作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N.∵△MCD∽△FEG，∴CMCD＝FEEG，即CM8＝12，解得CM＝4米．又∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是矩形，∴MN＝BC＝16米，BN＝CM＝4米．∵在Rt△AMN中，∠AMN＝45°，∴AN＝MN＝16米，∴AB＝AN＋BN＝20米．第17讲解直角三角形(时间70分钟满分80分)A卷一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1．(2017·天津)cos60°的值等于(D)A.3B．1C.22D.122．(2017·金华)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(A)A.34B.43C.35D.453．(2017·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A.35B.45C.34D.434．(2016·怀化)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，AC＝6cm，则BC的长度为(C)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm5．(2017·益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)(B)A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosα第5题图第6题图6．(2017·宜昌)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是(导学号35694181)(C)A．sinα＝cosαB．tanC＝2C．sinβ＝cosβD．tanα＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)7．(2017·广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝__17__．8．(2017·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sinA2＝__12__．9．(2017·宁波)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__280__米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)第9题图第10题图10．(2017·天门)为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝123米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝3133，则CE的长为__8__米．(导学号35694182)三、解答题(本大题共3小题，共24分)11．(8分)(2017·黄冈)在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的高AB＝5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如解图，作FH⊥AE于H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，设AH＝HF＝x，则EF＝2x，EH＝3x，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5米，∴AE＝2AB＝10米，∴x＋3x＝10，解得x＝53－5，∴EF＝2x＝103－10≈7.3米．答：点E与点F之间的距离约为7.3米．12．(8分)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶3，求大楼AB的高度是多少？(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如解图所示，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1∶3，∴BH∶CH＝1∶3，设BH＝x米，则CH＝3x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得x2＋(3x)2＝122，解得x＝6，∴BH＝6米，CH＝63米，∴BG＝GH－BH＝15－6＝9(米)，EG＝DH＝CH＋CD＝63＋20(米)，∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°－45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝63＋20(米)，∴AB＝AG＋BG＝63＋20＋9≈39.4(米)．答：大楼AB的高度约为39.4米．B卷1．(3分)在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cos∠B＝22，则BC边长为(D)A．7B．8C．8或17D．7或172．(3分)(2017·龙东地区)△ABC中，AB＝12，AC＝39，∠B＝30°，则△ABC的面积是__213或153__．3．(3分)(2017·无锡)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__3__．4．(9分)(2017·淮安)A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？(结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝20km，∠CAB＝30°，∴CD＝12AC＝12×20＝10(km)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos30°×20＝103(km)，∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝10(km)，BC＝2CD＝102≈14.14(km)，∴AB＝AD＋BD＝103＋10≈27.32(km)．则AC＋BC－AB≈20＋14.14－27.32≈6.8(km)．答：从A地到B地的路程将缩短6.8km.5．(10分)(2017·天津)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长．(结果取整数，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，2取1.414)解：如图作PC⊥AB于C.由题意∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120，在Rt△APC中，sinA＝PCPA，cosA＝ACPC，∴PC＝PA·sinA＝120·sin64°，AC＝PA·cosA＝120·cos64°，在Rt△PCB中，∵∠B＝45°，∴PC＝BC，∴PB＝PCsin45°＝120×0.9022≈153.∴AB＝AC＋BC＝120·cos64°＋120·sin64°≈120×0.90＋120×0.44≈161.答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．第四章三角形自我测试(时间80分钟满分100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1．(2017·扬州)若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是(C)A．6B．7C．11D．122．(2017·乐山)含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD＝∠A，则∠1＝(B)A．70°B．60°C．40°D．30°第2题图第3题图3．已知：如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝(C)A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于32，则sin∠CAB＝(B)A.323B.35C.105D.3105．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．33B．6C．32D.21第5题图第6题图6．(2016·达州)如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为(导学号35694183)(B)A．2B．3C．4D．5二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)7．(2017·呼和浩特)如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝48°，则∠AED为__114°__.8．(2017·安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于__2.5__.9．如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是__76°__.第9题图第10题图10．(2017·常州)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是__15__．11．(2017·黄石)如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，则建筑物AB的高度约为__137__米．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第11题图第12题图12．(2017·陕西)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为__18__．13．(2017·深圳)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝__3__．三、解答题(本大题共6小题，共55分)14．(8分)如图，△ADE与△CBF的边AE、CF在同一条直线上，DE∥BF，AD∥BC，AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF.证明：∵DE∥BF，AD∥BC，∴∠DEA＝∠BFC，∠A＝∠C.∵AF＝CE，∴AF＋FE＝FE＋CE，即AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF(A)．15．(8分)(2017·广元)如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度(结果保留根号)．解：如解图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵AB＝8米，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，∴AD＝CDtan30°，BD＝CDtan45°，∴AB＝AD－AB＝CDtan30°－CDtan45°，即8＝CD33－CD1，解得CD＝43＋4(米)．16．(9分)(2017·北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)．(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．(导学号35694184)解：(1)∠AMQ＝45°＋α；理由如下：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α；(2)PQ＝2MB；理由如下：如解图，连接AQ，作ME⊥QB，∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，在△APC和△QME中，∴△APC≌△QME(A)，∴PC＝ME，∵△MEB是等腰直角三角形，∴12PQ＝22MB，∴PQ＝2MB.17．(10分)某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高．(结果精确到1米，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)解：如解图，过点C作AB的垂线，垂足为点E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴四边形CDBE是矩形，∵CD＝12m，∠ECB＝45°，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×33＝43(米)，∴AB＝43＋12≈19(米)．答：建筑物AB的高约为19米．18．(10分)(2017·毕节)如图，在?ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5，AB＝8，sinD＝45，求AF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC，∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC；(2)解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°，在Rt△ADE中，AE＝AD·sinD＝5×45＝4，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE＝AE2＋AB2＝42＋82＝45，∵BC＝AD＝5，由(1)得：△ABF∽△BEC，∴AFBC＝ABBE，即AF5＝845，解得AF＝25.19．(10分)(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援艇从港口A出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度．(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，3≈1.732，结果取整数)解：如解图，过点C作水平线，使得EF⊥AF，EF⊥EB，过点A作AD⊥EB，由题意得，∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，∴∠BAD＝30°，∵AB＝20海里，∴BD＝10海里，在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝103≈17.32海里，在Rt△BCE中，sin37°＝CEBC，∴CE＝BC·sin37°≈0.6×10＝6海里，∵cos37°＝BEBC，∴EB＝BC·cos37°≈0.8×10＝8海里，EF＝AD＝17.32海里，∴FC＝EF－CE＝11.32海里，AF＝ED＝EB＋BD＝18海里，在Rt△AFC中，AC＝AF2＋FC2＝182＋11.322≈21.26海里，21．26×3≈64海里/小时．答：救援艇的航行速度大约是64海里/小时.