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免费2018年人教版中考《4.5直角三角形与勾股定理》复习课件+检测试卷含真题分类汇编解析分层次作业(二)[高频集训(五)以全等三角形为背景的中档计算题与证明题]类型一全等三角形与等腰三角形结合1．如图G5－1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.图G5－12．[2017·苏州]如图G5－2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．图G5－23．[2017·呼和浩特]如图G5－3，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．(1)求证：BD＝CE；(2)设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．图G5－34．[2016·菏泽改编]如图G5－4，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．图G5－4类型二全等三角形与直角三角形结合5．如图G5－5，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED；(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．图G5－56．[2016·济宁]如图G5－6，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件________，使△AEH≌△CEB.图G5－6类型三全等三角形与等腰直角三角形结合7．[2016·呼和浩特]已知，如图G5－7，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.图G5－78．[2016·威海节选]如图G5－8，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF.图G5－8参考答案1．证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠B＝90°，∠FAE＋∠B＝90°，∴∠FAE＝∠BCE.在△AEF和△CEB中，∠FAE＝∠BCE，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB，∴△AEF≌△CEB(A)．(2)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2CD.∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∴AF＝2CD.2．[解析](1)用A证明两三角形全等；(2)利用全等三角形的性质得出EC＝ED，∠C＝∠BDE，再利用等腰三角形的性质：等边对等角，即可求出∠C的度数，进而得到∠BDE的度数．解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(A)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°.3．解：(1)证明：∵AB、AC为等腰三角形的两腰，∴AB＝AC.∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AE＝AD.在△AEC与△ADB中，AE＝AD，∠A＝∠A，AC＝AB，∴△AEC≌△ADB，∴BD＝CE.(2)四边形DEMN为正方形．4．解：(1)证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(S)，∴AD＝BE.(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°.∵∠BEC＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.5．解：(1)证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD.∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝90°.又∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED，∴DE＝CD＝1.∵∠B＝30°，∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2.6．AE＝EC(答案不唯一)[解析]根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了．∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，∴∠BEC＝∠AEC＝∠HDC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△CDH中，∠DCH＝90°－∠DHC，又∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠BCE.所以根据A可添加AH＝CB或EH＝EB；根据A可添加AE＝CE.故答案为AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE.7．证明：(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC＝BC，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，∴△ACE≌△BCD(S)．(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°.∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2.由(1)知AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2，又DE2＝2CD2，∴2CD2＝AD2＋DB2.8．证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°，∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝135°.∴∠ABF＝∠ACD，∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，在△ABF和△ACD中，AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，∴△ABF≌△ACD(S)，∴AD＝AF.(2)由(1)知，AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC，∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠BAD，在△AEF和△ABD中，AE＝AB，∠EAF＝∠BAD，AF＝AD，∴△AEF≌△ABD(S)，∴BD＝EF.