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免费2018年人教版中考《5.3正方形及重点四边形》复习课件+检测试卷含真题分类汇编解析分层次作业(二)[高频集训(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题]类型一以矩形为背景的问题1．[2016·岳阳]已知：如图G6－1，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.图G6－12．[2017·日照]如图G6－2，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需添加一个条件，即________________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．图G6－23．已知：如图G6－3，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．图G6－3类型二以菱形为背景的问题4．[2017·北京]如图G6－4，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．图G6－45.[2016·青岛]已知：如图G6－5，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．图G6－5类型三以正方形为背景的问题6．[2016·贵阳]如图G6－6，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．图G6－67．[2016·株洲]如图G6－7，已知正方形ABCD中，BC＝3，点E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE，AF，过点A作AH⊥ED于点H.(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．图G6－78．[2017·湖州]已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图G6－8①，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG；(2)如图G6－8②，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连接DH交CE于点F，交OC于点G.若OE＝OG，①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．图G6－8参考答案1．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°，∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.在△BEF和△CFD中，∠BEF＝∠CFD，BE＝CF，∠B＝∠C，∴△BEF≌△CFD(A)，∴BF＝CD.2．解：(1)证明：在△DCA和△EAC中，DC＝EA，AD＝CE，AC＝CA，∴△DCA≌△EAC(SSS)．(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)得：△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：AD＝BC(答案不唯一)．3．解：(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD.∵AE∥BC，CE⊥AE，∴∠DCE＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中，AD＝CE，AB＝CA，∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB，DE＝AB.证明如下：如图所示，由(1)知四边形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝BD，又AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE∥AB，DE＝AB.4．解：(1)证明：∵E为AD的中点，AD＝2BC，∴BC＝ED，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝ED，∴四边形BCDE是菱形．(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴BA＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝12，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，∴AC＝3.5．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(S)．(2)四边形BEDF是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB＝OD，∵DG＝BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．6．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF，∴∠ABF＝∠CBE.在△ABF和△CBE中，∵AB＝CB，∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴△ABF≌△CBE(S)．(2)△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF是直角三角形．7．解：(1)证明：正方形ABCD中，AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADF＝∠ABE＝90°.在△ADF与△ABE中，∵AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，∴△ADF≌△ABE.(2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，∴AE＝10，ED＝CD2＋CE2＝5，∵S△AED＝12AD×BA＝12ED×AH，∴AH＝AD·BAED＝3×35＝1.8.∴在Rt△AHE中，EH＝AE2－AH2＝2.6，∴tan∠AED＝AHEH＝1.82.6＝913.8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠OCE＝∠ODG，∴△DOG≌△COE(A)，∴OE＝OG.(2)①证明：∵OD＝OC，∠DOG＝∠COE＝90°，OG＝OE，∴△DOG≌△COE(S)，∴∠ODG＝∠OCE.②设CH＝x，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∵∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∴EH＝BH＝1－x，∵∠OCE＝∠ODG，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴EHHC＝HCCD，∴HC2＝EH·CD，得x2＋x－1＝0，解得x1＝5－12，x2＝－5－12(舍去)，∴HC＝5－12.分层次作业(二)[课时训练(二十六)正方形及中点四边形]A组·夯实基础一、选择题1．[2017·广安]下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中说法正确的个数为()A．4B．3C．2D．12．[2016·台州]小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了()A．1次B．2次C．3次D．4次3．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是()A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形图K26－14．[2017·临沂]如图K26－1，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是()A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形5．[2017·河北]如图K26－2是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是()图K26－2图K26－36．[2017·黔东南州]如图K26－4，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为()A．60°B．67.5°C．75°D．54°图K26－4图K26－57．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD成为正方形(如图K26－5)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④二、填空题8．[2017·黄冈]已知：如图K26－6，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED＝________度．图K26－6图K26－79．[2017·大庆]如图K26－7，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在AB︵上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为5，则正方形的边长为________．10．对正方形ABCD进行分割，如图K26－8①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分割线可以剪出一副"七巧板"，用这些部件可以拼出很多图案，图②就是用其中6块拼出的"飞机"．若△GOM的面积为1，则"飞机"的面积为________．图K26－811．如图K26－9，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于________．图K26－912．[2017·义乌]如图K26－10为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为________m.图K26－10图K26－1113．[2017·宿迁]如图K26－11，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是________．三、解答题14．[2017·邵阳]如图K26－12所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．图K26－1215．[2016·通辽]如图K26－13，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.图K26－13B组·拓展提升16．[2016·兰州]阅读下面材料：在数学课上老师请同学们思考如下问题：如图K26－14①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？图K26－14小敏在思考问题时，有如图K26－15所示的思路：连接AC.图K26－15结合小敏的思路作答：(1)若只改变图K26－14①中四边形ABCD的形状(如图K26－14②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：(2)如图K26－14②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．参考答案1．C[解析]①正确；由于矩形的对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等，由此可判定所得四边形是菱形，故②错误；对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，故③错误；④正确．综上所述，正确的说法有2个．故选C.2．B3．D[解析]如图，四边形EFGH是矩形，且E，F，G，H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD.4．D[解析]根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．由AD⊥BC无法判定四边形AEDF是矩形，所以A错误；若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，所以B错误；由BD＝CD无法判定四边形AEDF是菱形，所以C错误；若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，所以AF＝DF，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形，故D正确．5．A[解析]选项A不正确．理由：正方形的边长为10，所以对角线＝102≈14，因为15＞14，所以这个图形不可能存在．故选A.6．A[解析]连接BF，∵E为AB中点，FE⊥AB，∴EF垂直平分AB，∴AF＝BF.∵AF＝2AE，∴AF＝AB，∴AF＝BF＝AB，∴△ABF为等边三角形，∴∠FBA＝60°，BF＝BC，∴∠FCB＝∠BFC＝15°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC＝45°，根据"三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和"，∴∠DOC＝15°＋45°＝60°.7．B[解析]此题考查正方形的判定，即在?ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征．故选B.8．45[解析]由题意得，AB＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝∠AED＝60°.所以∠BAE＝150°，∠AEB＝15°.所以∠BED＝∠AED－∠AEB＝60°－15°＝45°.9．2[解析]连接OP，设正方形的边长为a(a＞0)，则ON＝a2，PN＝a，在Rt△OPN中，ON2＋PN2＝OP2，即(a2)2＋a2＝(5)2，解得a＝2.10．1411．4或812．4600[解析]连接GC，由四边形ABCD为正方形可得△ADG≌△CDG，所以GC＝AG，由四边形GECF为矩形可得GC＝EF，所以EF＝AG，小敏行走的路线为B→A→G→E，所以BA＋AG＋GE＝3100m．小聪行走的路线为B→A→D→E→F，所以BA＋AD＋DE＋EF＝BA＋1500＋GE＋AG＝3100＋1500＝4600(m)．13.10[解析]连接PC.根据正方形对称性知PA＝PC，所以当C，P，E在同一条直线上时，PA＋PE＝PC＋PE＝CE最小，再根据勾股定理求得CE＝BC2＋BE2＝32＋12＝10.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠OBC.∵∠OBC＝∠OCB，∴∠DAO＝∠ADO.∴OB＝OC，OA＝OD.∴OB＋OD＝OA＋OC.即AC＝BD.∴平行四边形ABCD是矩形．(2)AB＝AD.(答案不唯一)15．证明：取AB的中点H，连接EH.∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH＝BE，AH＝CE，∴∠BHE＝45°，∵CF是∠DCG的平分线，∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，在△AHE和△ECF中，∠1＝∠2，AH＝EC，∠AHE＝∠ECF，∴△AHE≌△ECF(A)，∴AE＝EF.16．解：(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：连接AC.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝12AC，∵G，H分别是CD，AD的中点，∴GH∥AC，GH＝12AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．证明：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，当AC＝BD时，FG＝12BD，EF＝12AC，∴FG＝EF，∴四边形EFGH是菱形．②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．