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免费2017年中考数学一轮《“3,4,5”直角三角形的奇思妙想》复习教学案考点分类汇编"3,4,5"直角三角形的奇思妙想提到三边长都是整数的直角三角形，我们往往首先想到的就是边长为"3,4,5"的直角三角形.早在西汉时期，算书《周髀算经》中就有"勾三股四弦五"的记载.其实，我们对"3,4,5"直角三角形进一步探究，还能发现一些有趣且有用的结论.一、基础准备如图1,中，，，，，，，显然.延长至点，使得，连结，则是等腰三角形，.在中，同样方法，可求得同时提炼如下：,,,.用文字语言表述为:如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为.我们不妨用约定符号将上述结果简记为""+""=.(其中""，""分别表示正切值为，的锐角)下面我们运用此结论来解决问题，并与常规解法进行比较.二、运用策略例1如图2，在的网格中标出了和，则.解法1构造三角形，从而发现和间的关系.如图3，显然，，并且，,.解法2利用""+""=的结论解决问题.图2中，，.根据结论"如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为，得.例2如图4，正方形的边长为，点、分别在，上，若，且，则的长为()(A)(B)(C)(D)解法1通过作辅助线，构造全等三角形.适当假设线段长，利用勾股定理得出等量关系式，最终求出的长.解如图5，延长到，使，连结、.∵四边形为正方形，，,,，,,,.设,则，.在中,,.解得，则..故选A解法2利用""+""=的结论求解.易见图4中，,且.根据""+""=，得,.在中，求得.故选A.点评比较两种做法，我们发现利用""+""=解决问题更加方便快捷.再来一题试试看吧!例3如图6，在中，，是边上的高，，则的长为.解法一构造正方形，利用勾股定理求长.如图7，分别以、为对称轴，画出、的轴对称图形，点的对称点为、，延长、相交于点，得到四边形是正方形.根据对称的性质，可得，.设，则正方形的边长是,,.在中，根据勾股定理，可得,解得:或(舍去).故边长是.解法2构造全等三角形，利用相似求解.如图8，过点作，垂足为，交于点.，.,,.，.又,,.设长为，即解得,即,.故答案为解法3凭借直觉经验，利用""+""=求解.图6中，，联想到""+""=，发现当时，恰好有，,从而知.点评解法1、解法2中需要作辅助线，构造全等或相似，利用勾股定理来求解，方法不容易想到，解决起来也比较耗时。像这样的选择题、填空题，我们不妨利用"如果两个锐角的正切值分别为，，那么这两个锐角的和为这一结论直接求解.既快又准确!