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免费2017年中考数学一轮《一道反比例函数试题的三种证明方法》教学案考点分类汇编对比解法反思教学本文用三种方法证明一道反比例函数中考题.这三种方法的思维起点不同，我们可以从解题思路的形成过程中，对比各种方法的优劣，以提高解题能力.一、问题(2016年淄博中考题)反比例函数(，为常数)和在第一象限内的图象如图1所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：①②四边形的面积不变;、③当点是的中点时，则点是的中点.其中正确结论的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3二、解法分析1①②解答易，略.③如图1，要证明点是的中点，因为是的中点，若，有，则点是的中点成立.由于点、在同一反比例函数图象上，可联想到图2所示的，这两个三角形面积相等如何联系到？于是想到图3中，当时，有.至此，图1中，将积转化成、两线中间的三角形，就成为求解的关健.根据两条平行线之间同底的三角形面积相等，由，，这样就把等积转化成.同理，由，，把等积转化成则与就是我们要寻找的三角形.又，∴再由图3基本图形的结论可以得到.证明1连结、、、∵点、在同一反比例函数上，∴∵，∴，∴∴∴∴∵是的中点∴是的中点分析，③由题意可知，若成立，当点是的中点时，点是的中点成立.我们考虑能否用代数方法求出线段、、、的长，再算出和的值，然后看和的值是否相等，这个思路更朴素一些.如图4，不妨设，点、在反比例函数上，则，，还可以求出，，容易求出线段的长为线段的长为，线段的长为，线段BD的长为又，所以，问题得证.证明2设轴，轴，∵点、在反比例函数上∴，∴，，，∴，.∴.∵是的中点∴是的中点.分析3③如图5，由题意可知，点是的中点，若成立，则点是的中点成立.于是，问题就转化成证明点和在同一个反比例函数的图象上，容易想到的是作，；则矩形和矩形面积相等，即，又由，容易得出而(或)要关联才行，显然它们之间没有直接联系，继续观察图形，可以看到、.于是把换成，问题又转化(或)，需要.由图4可以看到，这样，由，可以轻松得出，进而证明了证明3作，，和交点为.∵点、在同一反比例函数上，∴∴∵，，∴∵是的中点∴是的中点3对比解法，反思教学以上证法1主要应用了图2和图3两个基本图形的结论，解题时要求能想到着两个结论，还要在图1中添加辅助线构造出图3所示的基本图形，才能证明出图1中的.证法2的起点低，用代数方法解决，设出点的坐标，用代数方法分别求出线段、、、的长，再计算线段之比，得出结论.证法3从学生熟悉的结论入手，一步一步向靠拢，当发现不能直接得出结论时，将相等的线段进行替换，欲证的转化成，而经过变形变为，从而与学生熟悉的"无缝对接"，问题得证.解法1的思维起点是图2和图3所示两个基本图形的结论，有了这2个两个基本图形结论的经验、就容易想到解法1.笔者用解法1教学时没有达到预期的效果，于是想到能不能用代数方法求解，探究后发现解法2的起点低，设出的坐标后，只要计算无误，就能正确解答.解法2易于理解，但不能确定什么条件下用代数方法求解，什么条件下不能用代数方法求解.这三种解法相比，解法2最简单，学生容易接受，类似的问题也可以用同样的方法解决.解法3符合学生的思路.学生对图5中较为熟悉，从学生熟悉的入手，一环扣一环的展开思考，顺利引导学生独立证明了问题.与解法2相比，解法3稍繁琐.但在证明的过程中，学生运用了反比例函数问题中的面积法，强化了数学解题中的转化思想，发展了学生的思维，提高了学生的解题能力.综上所述，在解题教学中，要从学生的实际情况出发，找到学生思维的最近发展区，根据学生现有的知识积累和解题经验寻找解题思路.这样的解题思路才是学生易于理解的思路;这样的解题教学可以发展学生的数学思维，培养学生的解题习惯，提高学生的解题能力.