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2014～2016年高考数学理科汇编详解：第五章平面向量、数系的扩充第二节平面向量的数量积及其应用A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·四川，10)在平面内，定点A，B，C，D满足|DA→|＝|DB→|＝|DC→|，DA→·DB→＝DB→·DC→＝DC→·DA→＝－2，动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是()A.434B.494C.37＋634D.37＋23342.(2016·山东，8)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A.4B.－4C.94D.－943.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC＝()A.30°B.45°C.60°D.120°4.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A.－8B.－6C.6D.85.(2015·山东，4)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→＝()A.－32a2B.－34a2C.34a2D.32a26.(2015·安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是()A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.(4a＋b)⊥BC→7.(2015·四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A.20B.15C.9D.68.(2015·福建，9)已知AB→⊥AC→，|AB→|＝1t，|AC→|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|，则PB→·PC→的最大值等于()A.13B.15C.19D.219.(2015·重庆，6)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D.π10.(2015·陕西，7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)(a－b)＝a2－b211.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝()A.1B.2C.3D.512.(2014·大纲全国，4)若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A.2B.2C.1D.2213.(2014·天津，8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE→·AF→＝1，CE→·CF→＝－23，则λ＋μ＝()A.12B.23C.56D.71214.(2016·浙江，15)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最大值是________.15.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，则|AE→|·|AF→|的最小值为________.16.(2015·浙江，15)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2＝12，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝52，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.17.(2015·广东，16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m＝22，－22,n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值.(2)若m与n的夹角为π3，求x的值.18.(2014·北京，10)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.19.(2014·江西，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.20.(2014·湖北，11)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.21.(2014·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，则AB→·AD→的值是________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山西四校联考)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若AB→＋AC→＝2AO→，且|OA→|＝|AC→|，则BA→在向量BC→方向上的投影为()A.32B.32C.3D.－322.(2015·宁夏银川一中三模)已知正三角形ABC的边长是3,D是BC上的点,BD＝1,则AD→·BC→＝()A.－92B.－32C.152D.523.(2016·辽宁大连模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为()A.π6B.π3C.5π6D.2π34.(2016·广东三门模拟)若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则()A.|2a|＞|2a＋b|B.|2a|＜|2a＋b|C.|2b|＜|a＋2b|D.|2b|＞|a＋2b|5.(2015·河南洛阳模拟)已知向量OB→＝(2，0)，向量OC→＝(2，2)，向量CA→＝(2cosα，2sinα)，则向量OA→与向量OB→的夹角的取值范围是()A.0，π4B.π12，5π12C.5π12，π2D.π4，5π126.(2015·广东实验中学测试)在△ABC中，已知向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形7.(2016·福建漳州模拟)已知a·b＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b与a－b的夹角为2π3，则t的值为________.8.(2016·山东实验中学二模)如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA，OB分别相交于点M，N，若OM→＝xOA→，ON→＝yOB→.(1)利用NM→∥MP→，把y用x表示出来(即求y＝f(x)的解析式)；(2)设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足Sn＝f(Sn－1)(n≥2且n∈N*)，求数列{an}的通项公式.9.(2016·四川雅安模拟)已知向量a＝(2sinx，3cosx)，b＝(－sinx，2sinx)，函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝23，a＞b，求a，b的值.10.(2015·四川乐山模拟)已知向量a，b满足：|a|＝13，|b|＝1，|a－5b|≤12，则b在a上的投影的取值范围是________.11.(2015·泰州市高三期末)在梯形ABCD中，AB→＝2DC→，|BC→|＝6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足AP→＋BP→＋4DP→＝0，DA→·CB→＝|DA→|·|DP→|，Q为边AD上的一个动点，则|PQ→|的最小值为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.B[由题意,|DA→|＝|DB→|＝|DC→|,所以D到A,B,C三点的距离相等,D是△ABC的外心；DA→·DB→＝DB→·DC→＝DC→·DA→＝-2?DA→·DB→－DB→·DC→＝DB→·(DA→－DC→)＝DB→·CA→＝0,所以DB⊥AC，同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，从而D是△ABC的垂心，∴△ABC的外心与垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心.DA→·DB→＝|DA→||DB→|cos∠ADB＝|DA→||DB→|×－12＝－2?|DA→|＝2，所以正三角形ABC的边长为23；我们以A为原点建立直角坐标系,B,C,D三点坐标分别为B(3,－3)，C(3,3)，D(2,0)，由|AP→|＝1,设P点的坐标为(cosθ，sinθ)，其中θ∈[0，2π)，而PM→＝MC→，即M是PC的中点，可以写出M的坐标为M3＋cosθ2，3＋sinθ2则|BM→|2＝cosθ－322＋33＋sinθ22＝37＋12sinθ－π64≤37＋124＝494，当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B.2.B[∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.]3.A[|BA→|＝1，|BC→|＝1，cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→|·|BC→|＝32.]4.D[由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.]5.D[如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×－12＝3a2，∴BD＝3a.∴BD→·CD→＝|BD→|·|CD→|cos30°＝3a2×32＝32a2.]6.D[由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，即(AB→＋AC→)·CB→＝0，∴(4a＋b)⊥CB→，即(4a＋b)⊥BC→，故选D.]7.C[AM→＝AB→＋34AD→，NM→＝CM→－CN→＝－14AD→＋13AB→∴AM→·NM→＝14(4AB→＋3AD→)·112(4AB→－3AD→)＝148(16AB→2－9AD→2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]8.A[建立如图所示坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB→＝1t，0，AC→＝(0，t)，AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|＝t1t，0＋4t(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB→·PC→＝1t－1，－4·(－1，t－4)＝17－1t＋4t≤17－21t·4t＝13，故选A.]9.A[由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0，所以3×2232－223cosθ－2＝0，cosθ＝22，θ＝π4，选A.]10.B[对于A，由|a·b|＝||a||b|cos<a,b>|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.]11.A[由向量的数量积运算可知,∵|a＋b|＝10,∴(a＋b)2＝10,∴a2+b2+2a·b＝10,①同理a2＋b2－2a·b＝6，②①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.]12.B[由题意得（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝0?-2a2+b2＝0,即－2|a|2＋|b|2＝0,又|a|＝1，∴|b|＝2.故选B.]13.C[如图所示,以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy,不妨设A(0，－1),B(－3，0),C(0，1),D(3，0),由题意得CE→＝(1－λ)·CB→＝(3λ－3，λ－1)，CF→＝(1－μ)CD→＝(3－3μ，μ－1).因为CE→·CF→＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE→＝AC→＋CE→＝(3λ－3，λ＋1).AF→＝AC→＋CF→＝(3－3μ，μ＋1)，又AE→·AF→＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]14.12[由已知可得：6≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|由于上式对任意单位向量e都成立.∴6≥|a＋b|成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b，∴a·b≤12.]15.2918[在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，AE→＝AB→＋λBC→，AF→＝AD→＋19λDC→，∴AE→·AF→＝(AB→＋λBC→)·(AD→＋19λDC→)＝AB→·AD→＋AB→·19λDC→＋λBC→·AD→＋λBC→·19λDC→＝2×1×cos60°＋2×19λ＋λ×1×cos60°＋λ19λ×cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]16.1222[∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1，e2〉＝12，∴〈e1，e2〉＝π3.不妨设e1＝12，32，0，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t).由题意知b·e1＝12m＋32n＝2，b·e2＝m＝52，解得n＝32，m＝52，∴b＝52，32，t.∵b－(xe1＋ye2)＝52－12x－y，32－32x，t，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝52－x2－y2＋32－32x2＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝x＋y－422＋34(y－2)2＋t2.由题意知，当x＝x0＝1，y＝y0＝2时，x＋y－422＋34(y－2)2＋t2取到最小值.此时t2＝1，故|b|＝522＋322＋t2＝22.]17.解(1)因为m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即22sinx－22cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1,所以m·n＝cosπ3＝12，即22sinx－22cosx＝12，所以sinx－π4＝12，因为0<x<π2，所以－π4<x－π4<π4，所以x－π4＝π6，即x＝5π12.18.5[∵|a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)，∵λa＋b＝0，∴λcosθ＋2＝0，λsinθ＋1＝0，即cosθ＝－2λ，sinθ＝－1λ，由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝5.]19.223[因为a2＝(3e1-2e2)2＝9-2×3×2×cosα＋4＝9,所以|a|＝3,b2＝(3e1-e2)2＝9-2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝22，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e21－9e1·e2＋2e22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cosβ＝a·b|a|·|b|＝83×22＝223.]20.±3[(a＋λb)⊥(a－λb)?(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0?18－2λ2＝0?λ＝±3.]21.22[因为AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋14AB→，BP→＝BC→＋CP→＝AD→－34AB→，所以AP→·BP→＝(AD→＋14AB→)·(AD→－34AB→)＝|AD→|2－316|AB→|2－12AD→·AB→＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得AB→·AD→＝22.]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.A[△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处,因此△ABC是直角三角形,且∠A＝π2.又因为|OA→|＝|CA→|,∴∠C＝π3,∠B＝π6,∴AB＝3,AC＝1,故BA→在BC→方向上的投影|BA→|cosπ6＝32.]2.B[由余弦定理得：AD2＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，∴AD＝7，∴cos∠ADB＝1＋7－92×1×7＝－714，∴AD→·BC→＝7×3×cos∠ADB＝37×－714＝－32.故选B.]3.D[由|a＋b|＝|a－b|可知a⊥b,设AB→＝b,AD→＝a,作矩形ABCD，可知AC→＝a＋b，BD→＝a－b.设AC与BD的交点为O，结合题意可知OA＝OD＝AD，∴∠AOD＝π3，∴∠DOC＝2π3，又向量a＋b与a－b的夹角为AC→与BD→的夹角，故所求夹角为2π3，故选D.]4.D[因为|a＋b|＝|b|，则|a＋b|2＝|b|2，即a2＋2a·b＝0，所以a·b＜0，因为|a＋2b|2－|2b|2＝a2＋4a·b＜0，故选D.]5.B[由题知点A在以C(2，2)为圆心，2为半径的圆上，设OD,OE为圆的切线,在△COD中,OC＝22,CD＝2,∠CDO＝π2,所以∠COD＝π6,又因为∠COB＝π4，所以当A在D处时，则OA→与OB→夹角最小为π4－π6＝π12，当A在E处时，则OA→与OB→夹角最大为π4＋π6＝5π12，∴OA→与OB→夹角的取值范围是π12，5π12，∴故答案为B.]6.D[设∠BAC的角平分线为AD，则AB→|AB→|＋AC→|AC→|＝λAD→.由已知得AD⊥BC，∴△ABC为等腰三角形.又cosA＝12，∴A＝60°，∴△ABC为等边三角形，故选D.]7.2[∵a·b＝0，∴|a＋b|＝|a－b|，又|a＋b|＝t|a|，∴a2＋b2＝t2a2，t>0，∴b2＝(t2－1)a2，t>1，由向量夹角公式得：cos2π3＝（a＋b）·（a－b）|a＋b|·|a－b|＝a2－b2t2a2＝2－t2t2＝-12，解得t＝2或t＝－2(舍去).]8.解(1)∵OP→＝AB→＝OB→－OA→，∴MP→＝OP→－OM→＝－(1＋x)OA→＋OB→，∵NM→＝OM→－ON→＝xOA→－yOB→，NM→∥MP→，∴x－y(1＋x)＝0，∴y＝xx＋1(x>0).即函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x1＋x(x>0).(2)当n≥2时，由Sn＝f(Sn－1)＝Sn－1Sn－1＋1得1Sn－1Sn－1＝1，又S1＝a1＝1，所以数列1Sn是首项和公差都为1的等差数列，则1Sn＝n，即Sn＝1n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1n－n2，n＝1时，a1＝1不满足上式，故an＝1，n＝1，1n－n2，n≥2.9.解(1)由题意得f(x)＝－2sin2x＋23sinx·cosx＝3sin2x＋cos2x－1＝2sin2x＋π6－1.令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z.得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6，(k∈Z).(2)由(1)知f(C)＝2sin2C＋π6－1＝1，则sin2C＋π6＝1，∵角C是三角形内角，∴2C＋π6＝π2，即C＝π6.∴cosC＝b2＋a2－c22ab＝32，结合c＝1，ab＝23，可得a2＋12a2＝7，解得a2＝3或a2＝4，∴a＝3，b＝2或a＝2，b＝3，又a＞b，∴a＝2，b＝3.10.513，1[由已知得|a-5b|2≤144,又|a|＝13,|b|＝1，所以169-10a·b＋25≤144,所以a·b≥5,所以b在a上的投影|b|·cos〈a,b〉＝a·b|a|≥513，又cos〈a,b〉≤1，所以b在a上的投影取值范围为513，1.]11.423[取AB的中点E，连接PE，∵AB→＝2DC→，AB→＝2EB→，∴DC→＝EB→，∴四边形DEBC为平行四边形，∴DE→＝CB→，∵AP→＋BP→＝－2PE→，AP→＋BP→＋4DP→＝0，∴PE→＝2DP→.∵|BC→|＝6.∴|DP→|＝2，|PE→|＝4，设∠ADP＝θ，∵DA→·CB→＝|DA→|·|DP→|，∴DA→·CB→＝|DA→||CB→|cosθ＝|DA→|·|DP→|，∴cosθ＝13，∴sinθ＝223，当PQ→⊥AD→时，|PQ→|最小，∴|PQ→|＝|DP→|sinθ＝2×223＝423，故答案为：423.]第三节数系的扩充与复数的引入A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，1)若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2i D.－1－2i2.(2016·全国Ⅲ，2)若z＝1＋2i，则4izz－1＝()A.1B.－1C.iD.－i3.(2016·全国Ⅰ，2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A.1B.2C.3D.24.(2016·全国Ⅱ，1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.(－3，1)B.(－1，3)C.(1，＋∞)D.(－∞，－3)5.(2015·安徽，1)设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2015·湖北，1)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－17.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A.－1B.0C.1D.28.(2015·广东，2)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z＝()A.3－2iB.3＋2iC.2＋3iD.2－3i9.(2015·湖南，1)已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i10.(2015·北京，1)复数i(2－i)＝()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i11.(2015·四川，2)设i是虚数单位，则复数i3－2i＝()A.－iB.－3iC.iD.3i12.(2015·山东，2)若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i13.(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝()A.1B.2C.3D.214.(2014·福建，1)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A.－2－3iB.－2＋3iC.2－3iD.2＋3i15.(2014·大纲全国，1)设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为()A.－1＋3iB.－1－3iC.1＋3iD.1－3i16.(2014·新课标全国Ⅱ，2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A.－5B.5C.－4＋iD.－4－i17.(2014·天津，1)i是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝()A.1－iB.－1＋iC.1725＋3125iD.－177＋257i18.(2014·湖南，1)满足z＋iz＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A.12＋12iB.12－12iC.－12＋12iD.－12－12i19.(2014·新课标全国Ⅰ，2)1＋i31－i2＝()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i20.(2014·安徽，1)设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则zi＋i·z＝()A.－2B.－2iC.2D.2i21.(2014·山东，1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A.5－4iB.5＋4iC.3－4iD.3＋4i22.(2014·广东，2)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝()A.－3＋4iB.－3－4iC.3＋4iD.3－4i23.(2016·江苏，2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.24.(2016·北京，9)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.25.(2015·天津，9)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.26.(2015·重庆，11)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________.27.(2014·江苏，2)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________.28.(2014·上海，2)若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z＋1z·z＝________.29.(2014·四川，11)复数2－2i1＋i＝________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东青岛模拟)已知a1＋i＝1－bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a－bi|＝()A.3B.2C.5D.52.(2016·广东汕头模拟)已知集合A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，i为虚数单位，若A∩B＝{2}，则纯虚数z为()A.iB.－iC.2iD.－2i3.(2016·陕西八校联考)已知i是虚数单位，则i20151＋i＝()A.1－i2B.1＋i2C.－1－i2D.－1＋i24.(2016·河南洛阳模拟)在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2016·山东滨州模拟)设i为虚数单位，则复数3－4ii＝()A.－4－3iB.－4＋3iC.4＋3iD.4－3i6.(2015·山东德州模拟)设复数z的共轭复数为z－，若(2＋i)z＝3－i，则z·z－的值为()A.1B.2C.2D.47.(2015·宁波模拟)已知复数z＝1＋2i1－i，则1＋z＋z2＋…＋z2012为()A.1＋iB.1－iC.iD.18.(2015·四川成都模拟)已知i是虚数单位，若2＋i1＋mi2＜0(m∈R)，则m的值为()A.12B.－2C.2D.－129.(2015·山东日照模拟)定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根.根据定义，则复数－3＋4i的平方根是()A.1－2i或－1＋2iB.1＋2i或－1－2iC.－7－24iD.7＋24i10.(2016·吉林实验中学二模)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________.11.(2016·广东东莞模拟)已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若z1z2为实数，则实数m的值为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.B[设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，∴3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i，故选B.]2.C[z＝1＋2i，zz＝5，4izz－1＝i.]3.B[由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi?x＝1，x＝y?x＝1，y＝1.所以|x＋yi|＝x2＋y2＝2，故选B.]4.A[由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限得：m＋3>0，m－1<0解得－3<m<1，故选A.]5.B[2i1－i＝2i（1＋i）（1－i）（1＋i）＝2i（1＋i）2＝i－1＝－1＋i，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]6.A[法一i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i.故选A.法二i607＝i608i＝i4×152i＝1i＝－i，其共轭复数为i.故选A.]7.B[因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.]8.D[因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选D.]9.D[由（1－i）2z＝1＋i，知z＝（1－i）21＋i＝－2i1＋i＝－1－i，故选D.]10.A[i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.]11.C[i3－2i＝－i－2ii2＝－i＋2i＝i.选C.]12.A[∵z1－i＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.]13.A[由1＋z1－z＝i，得1＋z＝i－zi，z＝－1＋i1＋i＝i，∴|z|＝|i|＝1.]14.C[因为复数z＝(3－2i)i＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选C.]15.D[∵z＝10i3＋i＝10i（3－i）（3＋i）（3－i）＝1＋3i，∴z＝1－3i.故选D.]16.A[由题意得z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.]17.A[7＋i3＋4i＝（7＋i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝25－25i25＝1－i.选A.]18.B[去掉分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝－i1－i＝12－12i，选B.]19.D[（1＋i）3（1－i）2＝（1＋i）2（1－i）2·(1＋i)＝1＋i2＋2i1＋i2－2i·(1＋i)＝－1－i，故选D.]20.C[因为z＝1＋i，所以zi＋i·z＝(－i＋1)＋i＋1＝2.]21.D[根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]22.D[(3＋4i)z＝25?z＝253＋4i＝25（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝3－4i.选D.]23.5[z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故z的实部为5.]24.－1[(1＋i)(a＋i)＝a＋i＋ai＋i2＝(a－1)＋(a＋1)i，由复数对应点在实轴上得a＋1＝0，解得a＝－1.]25.－2[(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0，1－2a≠0，∴a＝－2.]26.3[由|a＋bi|＝3得a2＋b2＝3，即a2＋b2＝3，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.]27.21[复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.]28.6[∵z＝1＋2i，∴z＝1－2i.∴(z＋1z)·z＝z·z＋1＝5＋1＝6.]29.－2i[2－2i1＋i＝2（1－i）2（1＋i）（1－i）＝(1－i)2＝－2i.]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.D[解析(1)由a1＋i＝1－bi可得a＝1＋b＋(1－b)i，所以a＝1＋b，1－b＝0，解得a＝2，b＝1，所以|a－bi|＝|2－i|＝22＋（－1）2＝5，故选D.]2.D[∵A＝{1，2z2，zi}，B＝{2，4}，且A∩B＝{2}.∴2z2＝2或zi＝2.解得z＝±1(舍去)或z＝－2i(此时2z2＝－8≠4).则纯虚数z为－2i，故选D.]3.C[i20151＋i＝－i1＋i＝－i（1－i）2＝－1－i2，故选C.]4.B[∵z＝i(1＋2i)＝－2＋i，∴复数z对应的点为(－2，1)，在第二象限.]5.A[3－4ii＝－4－3i，故选A.]6.B[∵(2＋i)z＝3－i，∴z＝3－i2＋i＝（3－i）（2－i）5＝1－i，z·z＝(1－i)(1＋i)＝2，故选B.]7.D[z＝1＋2i1－i＝i，所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2012＝1－z20131－z＝1－i20131－i＝1.]8.B[由2＋i1＋mi2＜0,知2＋i1＋mi为纯虚数,∴2＋i1＋mi＝2＋m＋（1－2m）i1＋m2为纯虚数,∴m＝-2，故选B.]9.B[设(x＋yi)2＝－3＋4i，则x2－y2＝－3，xy＝2，解得x＝1，y＝2或x＝－1，y＝－2.]10.45[由题意知z＝|4＋3i|3－4i＝53－4i＝5（3＋4i）25＝35＋45i，故z的虚部为45.]11.－32[z1z2＝（m＋2i）（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝(3m－8)＋(6＋4m)i25为实数，则6＋4m＝0?m＝－32.]第一节平面向量的概念及坐标运算A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→2.(2015·湖南，8)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为()A.6B.7C.8D.93.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B.e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足OQ→＝2(a＋b).曲线C＝{P|OP→＝acosθ＋bcosθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r≤|PQ→|≤R，r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线，则()A.1<r<R<3B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3D.1<r<3<R5.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.6.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.7.(2015·北京，13)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________.8.(2015·江苏，6)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.9.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________.10.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的最大值是________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东济南一模)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP→＝OA→＋λ(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心2.(2016·广东揭阳模拟)设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量a－λb与向量c＝(－5，－6)共线，则λ的值为()A.43B.413C.－49D.43.(2016·甘肃嘉峪关一中模拟)已知向量a＝(m，1－n)，b＝(1，2)，其中m＞0，n＞0，若a∥b，则1m＋1n的最小值是()A.22B.3＋22C.42D.3＋24.(2016·广西柳州铁路一中月考)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP→＝1312OA→＋12OB→＋2OC→，则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点5.(2016·济宁高三期末)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c6.(2015·浙江慈溪余姚模拟)在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则EC→＋FA→＝()A.BD→B.12BD→C.AC→D.12AC→7.(2015·广东佛山模拟)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线于K，其中，AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为()A.29B.27C.25D.238.(2015·广东江门质检)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为90°,如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC→＝xOA→＋yOB→,其中x,y∈R,则x＋y的最大值是()A.1B.2C.3D.29.(2016·黑龙江大庆模拟)设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量a－λb与向量c＝(－5，－6)共线，则λ的值为________.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.A[∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.]2.B[由A,B,C在圆x2＋y2＝1上,且AB⊥BC,∴AC为圆直径,故PA→＋PC→＝2PO→＝(－4，0),设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[-1,1]，PB→＝(x－2，y)，所以PA→＋PB→＋PC→＝(x-6，y).故|PA→＋PB→＋PC→|＝－12x＋37，∴x＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.B[法一若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，则e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出来，故选B.法二因为a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得λ＝2，μ＝1.所以a＝2e1＋e2，故选B.]4.A[由已知可设OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1)，P(x，y)，则OQ→＝(2，2)，曲线C＝{P|OP→＝(cosθ，sinθ)，0≤θ<2π}，即C：x2＋y2＝1，区域Ω＝{P|0<r≤|PQ→|≤R，r<R}表示圆P1：(x－2)2＋(y－2)2＝r2与圆P2：(x－2)2＋(y－2)2＝R2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.]5.－2[由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.]6.12[∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]7.12－16[MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→，∴x＝12，y＝－16.]8.－3[∵a＝(2,1),b＝(1,-2),∴ma＋nb＝(2m＋n,m－2n)＝(9,-8)，即2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝2－5＝－3.]9.90°[由AO→＝12(AB→＋AC→)可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以AB→与AC→的夹角为90.]10.1＋7[设D(x，y)，由|CD→|＝1，得(x－3)2＋y2＝1，向量OA→＋OB→＋OD→＝(x－1，y＋3)，故|OA→＋OB→＋OD→|＝（x－1）2＋（y＋3）2的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]B组两年模拟精选(2016～2015年)1.B[作∠BAC的平分线AD.∵OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，∴AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|＝λ′·AD→|AD→|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP→＝λ′|AD→|·AD→，∴AP→∥AD→.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.]2.A[由已知得a－λb＝(1－2λ，2－3λ)，∵向量a－λb与向量c＝(－5，－6)共线.∴(1－2λ)×(－6)－(2－3λ)×(－5)＝0，解得λ＝43,]3.B[∵向量a＝(m，1－n)，b＝(1，2)，a∥b，∴2m－(1－n)＝0.即2m＋n＝1.又m＞0，n＞0，∴1m＋1n＝1m＋1n(2m＋n)＝3＋2mn＋nm≥3＋22mn·nm＝3＋22.当且仅当2mn＝nm，即m＝1－22，n＝2－1时取等号，∴1m＋1n的最小值为3＋22，故选B.]4.B[设AB的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∴OP→＝1312OA→＋12OB→＋2OC→＝13(OE→＋2OC→)，∵OC→＝2EO→，∴OP→＝13(OE→＋4EO→)＝13×3EO→＝EO→，∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心.故选B.]5.A[AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝c＋23(b－c)＝23b＋13c，故选A.]6.A[如图，EC→＝12(AC→＋BC→)，FA→＝12(CA→＋BA→)，所以EC→＋FA→＝BD→.故选A.]7.A[∵AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，则AB→＝52AE→，AD→＝2AF→，由向量加法的平行四边形法则可知，AC→＝AB→＋AD→，∴AK→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)＝λ52AE→＋2AF→＝52λAE→＋2λAF→，由E，F，K三点共线可得，λ＝29，8.B[法一以O为原点，向量OA→，OB→所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设<OA→,OC→>＝θ,θ∈0，π2,则OA→＝(1,0),OB→＝(0,1),OC→＝(cosθ，sinθ).由OC→＝xOA→＋yOB→，∴x＝cosθ，y＝sinθ.∴x＋y＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，θ＋π4∈π4，3π4，∴x＋y的最大值为2.法二因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，所以|OC→|2＝|xOA→＋yOB→|2＝x2＋y2＋2xyOA→·OB→＝x2＋y2＝1≥（x＋y）22.所以x＋y≤2.当且仅当x＝y＝22时等号成立.]9.43[由已知得a－λb＝(1－2λ，2－3λ)，∵向量a－λb与向量c＝(－5，－6)共线，∴1－2λ－5＝2－3λ－6，解得λ＝43.]