资源资源简介：

免费2013-2017年五年高考数学(理)分类汇编解析：第14章-推理与证明第十四章推理与证明第1节 合情推理与演绎推理题型149归纳推理--暂无1.(2013陕西理14）观察下列等式：照此规律，第个等式可为.2.（2013湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数，，，，…，第个三角型数为．记第个边形数为()，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，可以推测的表达式，由此计算．3.（2014陕西理14）观察分析下表中的数据：多面体 面数()顶点数()棱数()
三棱锥 
五棱锥 
立方体 
猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.4.(2015山东理11)观察下列各式：；；；；…….4.解析观察各等式两侧的规律，由归纳推理的思想，不难发现：．5.（2015湖北理10）设，表示不超过的最大整数.若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（）．A．B．C．D．5.解析由，，…，得①，②，③，④，⑤，由②③得，与⑤矛盾，所以正整数的最大值是4.故选B.命题意图考查归纳推理与不等式的性质.题型150类比推理--暂无1.(2013福建理15）当时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：题型151演绎推理--暂无1．（2013四川理15）设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个"中位点"．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．则有下列命题：①若三个点共线，在线段上，则是的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）2.(2013安徽理14）如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，则数列的通项公式是.3.（2013浙江理10）在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记.设是两个不同的平面，对空间任意一点，，恒有，则A.平面与平面垂直B.平面与平面所成的（锐）二面角为C.平面与平面平行D.平面与平面所成的（锐）二面角为4.(2013湖南理8）在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于（）.A．B．C．D．5.（2014新课标1理14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.6.（2014北京理20）（本小题13分）对于数对序列，记，，其中表示和两个数中最大的数，（1）对于数对序列，求的值.（2）记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.7.（2017全国2卷理科7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）.A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩7．解析四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）.乙看了丙成绩，知道自己的成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知道自己的成绩．故选D.8.（2017全国1卷理科12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）.A.  B.  C.  D.8.解析设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第组的项数为，则组的项数和为，由题意得，，令，得且，即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数，即，，得的最小值为，则.故选A.第2节证明题型152综合法与分析法证明1.（2015全国II理24）选修4-5：不等式选讲设，，，均为正数，且.证明：(1)若，则；(2)是的充要条件.1.分析（1）由，及，可证明，两边开方即得；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充分性和必要性.解析（1）因为，，由题设，，得，因此.（2）(i)若，则，即.因为，所以，由（Ⅰ）得.(ii)若，则，即.因为，所以，于是，因此.综上，是的充要条件.命题意图不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2.（2016山东理16（1））在中，角，，的对边分别为，，，已知求证：；2.解析（1）由题意知，，化简得，即.因为，所以.从而.由正弦定理得.3.（2016四川理17（1））在中，角，，所对的边分别是，，，且.证明：；3.解析（1）根据正弦定理，可设，则，，.代入中，有，可变形得在中，由，有，所以4.（2016浙江理20（1））设数列满足，．求证：，；4.解析由，得.两边同时除以，得，所以，因此.5.（2016天津理18）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等比中项.（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，，.求证：.5.解析（1）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（2）证明：.所以.题型153反证法证明1.（2015湖南理16（3））设，，且.（1）；（2）与不可能同时成立.1.解析证明：由，得（）由基本不等式及，有，即.()假设与同时成立，则由及得；同理，，从而，这与相矛盾.故与不可能同时成立.2.（2016全国甲理15）有三张卡片，分别写有和，和，和.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是"，丙说："我的卡片上的数字之和不是"，则甲的卡片上的数字是_______.3.（2016浙江理20）设数列满足，．（1）求证：，；（2）若，，证明：，．3.解析（1）由，得.两边同时除以，得，所以，因此.（2）任取，由（1）知，对于任意，，故．从而对于任意，均有①，当趋于正无穷时，单调递减趋于，即否则存在，有，取正整数，且，则，即与式①相矛盾.由上所述，对于任意，均有.4．（2016上海理23（3））若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．（1）若具有性质．且，，，，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知，求证："对任意，都具有性质"的充要条件为"是常数列"．4．解析（1）因为，所以，，，因为，所以，所以．（2）设的公差为，的公差为，则，因为，所以，故；因为，所以，故．所以，由题意，但，，显然故不具有性质．（3）先论证充分性：若为常数列，不妨设，则，若存在使得，则，故具有性质．再论证必要性：证法一（反证法）：假设不是常数列，则存在，使得，而．下面证明存在满足的，使得，但．设，取，使得，则，，故存在使得．取，因为，所以，依此类推，得，但，即，所以不具有性质，与假设矛盾，所以是常数列．综上所述："对任意，都具有性质"的充要条件为"是常数列"．证法二：考察连续函数，其中为任意实数，因为，，所以存在，使得，若对任意的，都具有性质，取，此时，从而会有，，，，，因此对任意的，都有，从而是常数列．综上所述："对任意，都具有性质"的充要条件为"是常数列"．评注事实上，若对任意，具有性质，则，构造函数，，由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点（但这一点需要数学理论的论述），所以一定能找到一个，使得，所以，即．故，所以是常数列．题型154数学归纳法证明--暂无1.（2015江苏23）已知集合，，设整除或整除，，令表示集合所含元素的个数．（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．故与不可能同时成立.1.分析其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．带标记的表示为的倍数或约数（其实是奇葩，其余的都是的倍数），带标记的表示为的倍数或约数，而则表示既是的倍数或约数又是的倍数或约数（即为的倍数或约数，此题不作研究）．这样研究时，可直接得：，当时，可直接得：．这就是本题的本质，以为周期进行分类整合并进行数学归纳研究．解析（1）当时，，，可取，，，，，，，，，，，，，共个，故．（2）当时，，证明：当时，枚举可得，，，，，，符合通式；假设时，成立，即成立，则当时，此时，此时比多出有序数对个，即多出，，，，，，，，，，，从而，符合通式；另外，当，，，，，同理可证，综上，即，即当时也成立．例如时，，则，综上所述：．2.（2015安徽理18）设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标．（1）求数列的通项公式；（2）记，求证：.2.解析（1），所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程为．令，解得切线与轴的交点的横坐标．（2）证法一：证明：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知：．当时，；当时，因为，所以．综上可得对任意的，均有．证法二：分析证明数列不等式时，对于不等式两端含且一端是积的形式，可采用对称的思想，使其化为两个数列积的形式，再通过比较通项的大小，最后根据不等式"同向同正可乘"的基本性质，叠乘得以证明．证明：设是数列的前项积，则当时，；当时，，所以．由（1）可得，当时，；当时，，所以此时，所以可得，综上可得，即．3.（2015广东理21）数列满足：.(1) 求的值；(2) 求数列的前项和；(3) 令，，求证：数列的前项和满足.3.解析（1）由题可得，所以．（2）由题可得当时，，所以．又也适合此式，所以，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故．（3）由题可得，所以，，，，所以．记，则．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，所以，所以，所以，，，，即有，所以，即．4.（2015湖北理22）已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．（1）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令，数列，的前项和分别记为,,证明：.4.解析（1）的定义域为，.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，，即.令，得，即.①（2）；；.由此推测：②下面用数学归纳法证明②.（1）当时，左边右边，②成立.（2）假设当时，②成立，即.当时，，由归纳假设可得：.所以当时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数都成立.所以.（3）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得：，即.5.（2015浙江理20）已知数列满足=且．（1）证明：；（2）设数列的前项和为,证明.5.解析（1）由题意得，所以，，所以与同号，又，所以，所以，（2）由题意得，所以，又，所以所以，因此，所以所以．6.（2015重庆理22）在数列中，，．（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，，证明：.6.解析（1）由,,有.若存在某个，使得，则由上述递推公式易得．重复上述过程可得，此时与矛盾，所以对任意的，．从而，即是一个公比，首项的等比数列．故．（2）由，，数列的递推关系式变为，变形为．由上式及，归纳可得．因为，所以对求和得=.另一方面，由上已证的不等式知，得：.综上所述：．欢迎访问"高中试卷网"--http://sj.fjjyvvvvv