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免费2015-2017学年文科真题分项解析—专题11：数列通项公式与求和1.【2016高考浙江文数】如图，点列分别在某锐角的两边上，且，.(P≠Q表示点P与Q不重合)若，为的面积，则（）A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列【答案】A【解析】，都为定值，所以为定值．故选A．考点：新定义题、三角形面积公式.【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列．2.【2016高考上海文科】无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当时，或；当时，若，则，于是，若，则，于是.从而存在，当时，.其中数列：满足条件，所以.考点：数列的求和.【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意"数列由k个不同的数组成"的不同和"k的最大值".本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.3.【2014全国2，文16】数列满足，则________．【答案】．【考点定位】数列的概念.【名师点睛】本题考查了数列的概念，递推数列，属于中档题目，根据已知条件，逐步试算即可求出结果，注意计算的准确性即可.4.【2014，安徽文12】如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，以此类推，设，，，…，，则________．【答案】．【解析】试题分析：由题意，，，所以是以首项，公比的等比数列，则．考点：1．等比数列通项公式．【名师点睛】此题是以平面几何为依托，考查数列通项公式和性质的知识交汇性问题，是高考今后的方向，主体知识是等差数列及其性质，都是基本点，因而提醒考生在今后复习中基础知识一定要狠抓不放.要求等比数列通项，必须求出首项和公比.5.【2015高考安徽，文13】已知数列中，，（），则数列的前9项和等于.【答案】27【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.6.【2015高考福建，文16】若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．【答案】9【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．7.【2017课标3，文17】设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）∴时，②①-②得，，，又时，适合上式，∴.（2）由（1），∴.【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.8.【2017山东，文19】（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且.(I)求数列{an}通项公式；(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.【答案】(I)；(II)解得，所以.(II)由题意知,所以,令,则因此,又,两式相减得所以.【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出"Sn"与"qSn"的表达式时应特别注意将两式"错项对齐"以便下一步准确写出"Sn－qSn"的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．9.【2017天津，文18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有，，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.10.【2017北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅱ）设的公比为，.=，所以所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.【考点】1.等比，等差数列；2.等比数列的前项和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.11.【2017江苏，19】对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是"数列".（1）证明：等差数列是"数列";（2）若数列既是"数列"，又是"数列"，证明：是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析（2）数列既是"数列"，又是"数列"，因此，当时，，①当时，.②由①知，，③，④将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为.在①中，取，则，所以，在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：12【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知是公差为3的等差数列,数列满足,.（I）求的通项公式；（II）求的前n项和.【答案】（I）（II）试题解析：（I）由已知,得得,所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为.（II）由（I）和,得,因此是首项为1,公比为的等比数列.记的前项和为,则考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.13.【2014高考广东卷.文.19】(本小题满分14分)设各项均为正数的数列的前项和为,且满足,.(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对一切正整数,有.【答案】(1)；(2)；(3)详见解析.,,从而,,所以当时,,又,；(3)当时,,.证法二：当时,成立,当时,,则.【考点定位】本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解,以及利用放缩法证明数列不等式的综合问题,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中等偏难题.【名师点晴】本题主要考查的是数列的通项公式和利用放缩法证明数列不等式，属于难题．本题通过将的递推关系式进行因式分解，得到与的关系式，利用可得数列通项公式，再根据式子的特点进行裂项相消法，即可证明．解题时一定要注意公式的条件""，否则很容易出现错误．14.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知各项都为正数的数列满足，.（I）求；（II）求的通项公式.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．（Ⅱ）由得.因为的各项都为正数，所以，故是首项为，公比为的等比数列，因此.......12分考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．15.【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列的前项和为，已知，且，（I）证明：；（II）求。【答案】（I）略；(II)【解析】试题解析：（I）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，。（II）由（I）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，于是从而，综上所述，。【考点定位】数列递推关系、数列求和【名师点睛】已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16.【2015高考湖南，文21】（本小题满分13分）函数，记为的从小到大的第个极值点。（I）证明：数列是等比数列；（II）若对一切恒成立，求的取值范围。【答案】（I）略；(II)得到，所以，求得，得到的取值范围；试题解析：（I）令，由，得，即，而对于，当时，若，即，则；若，即，则；因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以，此时，，易知，而是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列。（II）对一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立，设，则，令得，当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增；因为，且当时，所以因此，恒成立，当且仅当，解得，故实数的取值范围是。【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．17.【2015高考山东，文19】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.【答案】（I）(II)令得，所以.解得，所以（II）由（I）知所以所以两式相减，得所以【考点定位】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、"错位相减法".【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、"错位相减法"等，解答本题的关键，首先是注意运用从一般到特殊的处理方法，准确确定等差数列的通项公式；其次就是能对所得数学式子准确地变形，本题易错点在于错位相减后求和时，弄错数列的项数，或忘记从化简到.本题是一道能力题，属于中等题.在考查等差数列、等比数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.18.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）已知数列的前n项和，是等差数列，且.（I）求数列的通项公式；（II）令.求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）由题意当时，，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，即，所以，以上两式两边相减得。所以考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3."错位相减法".【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的"错位相减法".此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在"错位"之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.19.【2015高考陕西，文21】设(I)求；(II)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.【答案】(I)；(II)证明略，详见解析.(II)因为，，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得，故，继而得.试题解析：(I)由题设，所以①由②①②得，所以(II)因为，所以在内至少存在一个零点，又所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以由此可得故所以【考点定位】1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.【名师点睛】（1）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；（2）证明零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；（2）有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域范围内的值域即可；（4）本题属于中档题，要求有较高逻辑思维能力和计算能力.20.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)已知是等比数列，前n项和为，且.(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由解得，分别代入得，（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：（Ⅱ）解：由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则考点：等差数列、等比数列及其前项和【名师点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．21.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.（I）求通项公式；（II）求数列{}的前项和.【答案】（I）；（II）.【解析】又当时，由，得，所以，数列的通项公式为.（II）设，，.当时，由于，故.设数列的前项和为，则.当时，，所以，.考点：等差、等比数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．22.【2014四川，文19】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.【答案】（1）详见解析；（2）.试题解析：（1）由已知，..当时，.所以，数列是首项为，公比为的等比数列.（2）求导得，所以在处的切线为，令得，所以，.所以，其前项和：…………………………①两边乘以4得：…………………………②①－②得：，所以.【考点定位】等差数列与等比数列及其前前项和，导数的几何意义.【名师点睛】证明一数列是等比数列，有定义法和等比中项法；考生在解决此题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列23.【2014全国1，文17】已知是递增的等差数列，，是方程的根。（I）求的通项公式；（II）求数列的前项和.【解析】（1）方程的两根为2,3，由题意得.设数列的公差为d，则，故，从而.所以的通项公式为.（2）设的前n项和为，由（1）知，则，.两式相减得所以.考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和【名师点睛】本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式，在使用错位相减时一定要注意在和的两边乘以等比数列的公比，这是解决这类问题的关键所在，本题同时考查了学生的计算能力24.【2015高考浙江，文17】（本题满分15分）已知数列和满足，.（1）求与；（2）记数列的前n项和为，求.【答案】(1)；(2)试题解析：(1)由，得.当时，，故.当时，，整理得，所以.(2)由(1)知，所以所以所以.【考点定位】1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和.根据数列递推关系式推理得到数列的性质和特点，以此得到数列的通项公式，利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力.25.【2015高考安徽，文18】已知数列是递增的等比数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）由得公比，故.（Ⅱ）又所以.【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n项和，以及利用裂项相消法求和.【名师点睛】本题利用"若，则"，是解决本题的关键，同时考生发现是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.26.【2015高考天津，文18】（本小题满分13分）已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.（I）求和的通项公式;（II）设,求数列的前n项和.【答案】（I）,;（II）解得,所以的通项公式为,的通项公式为.（II）由（I）有,设的前n项和为,则两式相减得所以.【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力【名师点睛】近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考查较多,解决此类问题要重视方程思想的应用.错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.27.【2015高考湖北，文19】设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.（Ⅱ）由，知，，故，于是，①.②①-②可得，故.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.28.【2015高考福建，文17】等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．所以．（II）由（I）可得．所以．【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．【名师点睛】确定等差数列的基本量是．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n项相加的过程中相互抵消）；（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．29.(2014课标全国Ⅰ，文17)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．分析：在第(1)问中，通过解出方程的根并结合{an}是递增数列可确定出a2与a4的值，然后设出{an}的公差，通过解方程得出a1与d的值，从而求得{an}的通项公式；在第(2)问中，由第(1)问的结果写出的通项公式，考虑到该数列是由一个等差数列和一个等比数列对应的项相乘得到．因此应采用乘公比错位相减法求其前n项和．解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故，从而.所以{an}的通项公式为.(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，则，.两式相减，得.所以.名师点睛：本题考查等差数列的性质，错位相减法求数列的前项和，考查转化能力，计算能力，中等题.用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出"Sn"与"qSn"的表达式时应特别注意将两式"错项对齐"以便下一步准确写出"Sn－qSn"的表达式．