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免费2015-2017学年文科真题分项解析—专题04：导数与函数的单调性1.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D 【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．2【2015高考湖南，文8】设函数，则是()A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】函数，函数的定义域为（-1，1），函数所以函数是奇函数．，在（0,1）上，所以在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求；(2)确认在(a，b)内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2014全国2，文11】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【考点定位】函数的单调性.【名师点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，不等式的恒成立，属于中档题，深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键，注意不等式的恒成立的处理时端点值能否取到认真判断．4.【2016高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：对恒成立,故,即恒成立,即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得．故选C．考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.5.【2014湖南文9】若，则（）        A.   B.   C.    D. 【答案】C【考点定位】导数单调性【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数，利用函数的性质分析其单调性，对选项作出判断.6.【2017课标1，文21】已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；（2）．【解析】试题分析：（1）分，，分别讨论函数的单调性；（2）分，，分别解，从而确定a的取值范围．试题解析：（1）函数的定义域为，，①若，则，在单调递增．②若，则由得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．③若，则由得．当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．（2）①若，则，所以．②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．综上，的取值范围为．【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．7.【2017课标II，文21】设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）在和单调递减，在单调递增（Ⅱ）.试题解析：（1）令得当时，；当时，；当时，所以在和单调递减，在单调递增(2)当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h'(x)=-xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g'（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1当0＜x＜1，，，取则当时，取综上，a的取值范围[1，+∞）【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.8.【2017课标3，文21】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论的单调性；（2）当a﹤0时，证明．【答案】（1）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（2）详见解析试题解析：（1），当时，，则在单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，，，令（），则，解得，∴在单调递增，在单调递减，∴，∴，即，∴.【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.9.【2017天津，文19】设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】（Ⅰ）递增区间为，，递减区间为.（2）（ⅰ）在处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是.【解析】在上恒成立，得，，再根据导数求函数的取值范围.试题解析：（I）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.（ii）因为，，由，可得.又因为，，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，.令，，所以，令，解得（舍去），或.因为，，，故的值域为.所以，的取值范围是.【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.10.【2014山东.文20】（本题满分13分)设函数（1）若，求曲线处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）.（2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.【解析】性.其中时，情况较为单一，，函数在上单调递增，当时，令，由于，再分，，等情况加以讨论.试题解析：（1）由题意知时，，此时，可得，又，所以曲线在处的切线方程为.（2）函数的定义域为，，当时，，函数在上单调递增，当时，令，由于，① 当时，，，函数在上单调递减，② 当时，，，函数在上单调递减，③ 当时，，设是函数的两个零点，则，，由，所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等.解答本题的主要困难是（II）利用分类讨论思想，结合函数零点，确定函数的单调性.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想及分类讨论思想.11.[2016高考新课标Ⅲ文数]设函数．（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，，故当时，，，即.………………7分（Ⅲ）由题设，设，则．令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.……………9分由（Ⅱ）知，，故．又，故当时，，所以当时，.………………12分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．12.【2016高考天津文数】（（本小题满分14分）设函数，，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】，②当时，，③当时，.试题解析：（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，令，解得或.当变化时，、的变化情况如下表：
0 
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.由题意得，即，进而，又，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：①当时，，由（1）知在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.②当时，，由（1）和（2）知，，所以在区间上的取值范围为，所以.③当时，，由（1）和（2）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此，.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意"＝"是否可以取到．13.【2016高考四川文科】（本小题满分14分）设函数，，其中，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立.【答案】（1）当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；（2）证明详见解析；（3）.（Ⅰ）的结论，缩小的范围，设=，并设=，通过研究的单调性得时，，从而，这样得出不合题意，又时，的极小值点，且，也不合题意，从而，此时考虑得，得此时单调递增，从而有，得出结论．试题解析：（I）<0，在内单调递减.由=0，有.当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增.（II）令=，则=.当时，>0，所以，从而=>0.（iii）由（II），当时，>0.当，时，=.故当>在区间内恒成立时，必有.当时，>1.由（I）有,从而，所以此时>在区间内不恒成立.当时，令=().当时，=.因此在区间单调递增.又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立.综上，.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．14.【2015高考福建，文22】已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．（II）令，．则有．当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，．（III）由（II）知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．当时，令，，则有．由得，．解得，．当时，，故在内单调递增．从而当时，，即，综上，的取值范围是．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．