资源资源简介：

免费2015-2017学年文科真题分项解析—专题03：导数的几何意义1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）年月日
年月日
注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（）A．升B．升C．升D．升【答案】B【考点定位】平均变化率.【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼"每千米"和"平均"，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．2.【2014高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为，则，由题得：，，即，解得，所以，故选.考点：函数的解析式.【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质，函数的解析式等知识，属于难题.解题时要认真理解题意，"一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分"，确定函数为三次函数，然后由已知函数图像，将图像语言转化为数学语言，，，，从而确定出参数3.【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+∞)(D)(1,+∞)【答案】A，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A.考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．4.【2017课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】【考点】导数几何意义【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．5.【2017天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为.【答案】【解析】试题分析：，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.【考点】导数的几何意义【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.6.【2014高考广东卷.文.11】曲线在点处的切线方程为________.【答案】或.【解析】,,故所求的切线的斜率为,故所求的切线的方程为,即或.【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼"在点处"，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．7.[2016高考新课标Ⅲ文数]已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.【答案】考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为"已知当时，函数，则当时，求函数的解析式"．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．8.【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.【答案】【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为【考点定位】：导数的几何意义.【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率.9.【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则.【答案】1考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.10.【2014，安徽文15】若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处"切过"曲线，下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线在点处"切过"曲线：②直线在点处"切过"曲线：③直线在点处"切过"曲线：④直线在点处"切过"曲线：⑤直线在点处"切过"曲线：【答案】①③④，【解析】试题分析：由题意，①上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；②上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件；③上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；④上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；⑤上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件，故选①③④，如下图：考点：1，函数的切线方程；2，对定义的理解，【名师点睛】对于函数新定义的创新题，要紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.已知在点处的切线方程为.11.【2015高考天津，文11】已知函数,其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为．【答案】3【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.【名师点睛】本题考查内容单一,求出由,再由可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.12.【2015新课标2文16】已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=．【答案】8【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.13.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数.,(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】(I),（2）(II)⑴无极值；⑵极大值为,极小值为；⑶极大值为,极小值为.【解析】试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由,通过讨论确定单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（I）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（II）因为，所以，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.所以，当时，取到极大值，极大值是，当时，取到极小值，极小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以，当时，取到极大值，极大值是；当时，取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．14.【2017北京，文20】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.15.【2016高考新课标2文数】已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题解析：（I）的定义域为.当时，，所以曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于令，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得，由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是考点：导数的几何意义，函数的单调性.【名师点睛】求函数的单调区间的方法：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．16.【2015高考山东，文20】设函数.已知曲线在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.【答案】（I）；(II)；(III).【解析】设当时，.又所以存在，使.因为所以当时，，当时，，所以当时，单调递增.所以时，方程在内存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在内存在唯一的根，且时，，时，，所以.当时，若若由可知故当时，由可得时，单调递增；时，单调递减；可知且.综上可得函数的最大值为.【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II）(III)两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程在内存在唯一的根.其次是根据（II）的结论，确定得到的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥.17.【2014全国2，文21】（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.【解析】：（Ⅰ），．曲线在点处的切线方程为．由题设得，，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设．由题设得．当时，，单调递增，，，所以在有唯一实根．当时，令，则．，在单调递减；在单调递增.所以．所以在没有实根，综上，在上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点.【考点定位】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数图象的交点．【名师点睛】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，属于难题，第二问，需将两个函数交点个数的问题转化为一个函数的零的个数问题来加以研究．要求学生有较强的推理能力和计算能力．18.【2016高考北京文数】（本小题13分）设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III）见解析.【解析】试题解析：（I）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（II）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（III）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增．所以不可能有三个不同零点．综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点的必要条件．当，时，，只有两个不同零点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键19.【2014高考重庆文第19题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间，单调递减区间，【解析】试题解析：解：（Ⅰ）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用.【名师点睛】本题考查了导数的求法，导数的几何意义，导数在研究函数性质中的应用，属于中档题，准确应用导数公式及导数的运算法则是关键．20.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数（I）求的单调区间;（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（III）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（I）的单调递增区间是,单调递减区间是;（II）见试题解析;（III）见试题解析.【解析】根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（I）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（II）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（III）由（II）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（II）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用.考查函数思想、化归思想及综合分析问题解决问题的能力【名师点睛】给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.