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2009年至2017年长沙市中考分类汇编《第3单元函数》(共6份)含真题分类汇编解析第三单元函数第十五课时二次函数的综合性问题长沙9年中考(2009～2017)命题点1与函数有关的阅读理解(9年6考)1．(2016长沙25题10分)若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有"一带一路"关系．此时直线l叫做抛物线L的"带线"，抛物线L叫做直线l的"路线"．(1)若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有"一带一路"关系，求m，n的值；(2)若某"路线"L的顶点在反比例函数y＝6x的图象上，它的"带线"l的解析式为y＝2x－4，求此"路线"L的解析式；(3)当常数k满足12≤k≤2时，求抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的"带线"l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．2．(2015长沙25题10分)在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为"中国结"．(1)求函数y＝3x＋2的图象上所有"中国结"的坐标；(2)若函数y＝kx(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个"中国结"，试求出常数k的值与相应"中国结"的坐标；(3)若二次函数y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结"，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个"中国结"？3．(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为"梦之点"．例如点(－1，－1)，(0，0)，(2，2)，…都是"梦之点"，显然，这样的"梦之点"有无数个．(1)若点P(2，m)是反比例函数y＝nx(n为常数，n≠0)的图象上的"梦之点"，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y＝3kx＋s－1(k，s是常数)的图象上存在"梦之点"吗？若存在，请求出"梦之点"的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a>0)的图象上存在两个不同的"梦之点"A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足－2<x1<2，|x1－x2|＝2，令t＝b2－2b＋15748，试求t的取值范围．4．(2013长沙25题10分)设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的"闭函数"．(1)反比例函数y＝2013x是闭区间[1，2013]上的"闭函数"吗？请判断并说明理由；(2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)是闭区间[m，n]上的"闭函数"，求此函数的解析式；(3)若二次函数y＝15x2－45x－75是闭区间[a，b]上的"闭函数"，求实数a，b的值．5.(2017长沙25题10分)若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成"和谐三数组"．(1)实数1，2，3可以构成"和谐三数组"吗？请说明理由；(2)若M(t，y1)，N(t＋1，y2)，R(t＋3，y3)三点均在函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成"和谐三数组"，求实数t的值；(3)若直线y＝2bx＋2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2＋3bx＋3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成"和谐三数组"；②若a>2b>3c，x2＝1，求点P(ca，ba)与原点O的距离OP的取值范围．6．(2011长沙25题10分)使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x－1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x－1的零点．已知函数y＝x2－2mx－2(m＋3)(m为常数)．(1)当m＝0时，求该函数的零点；(2)证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；(3)设函数的两个零点分别为x1和x2，且1x1＋1x2＝－14，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线y＝x－10上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．命题点2二次函数综合题(必考)7.(2016长沙26题10分)如图，直线l：y＝－x＋1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°.(1)求△AOB的周长；(2)设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；(3)当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ＝m.若过点A的二次函数y＝ax2＋bx＋c同时满足以下两个条件：①6a＋3b＋2c＝0；②当m≤x≤m＋2时，函数y的最大值等于2m.求二次项系数a的值．第7题图8.(2017长沙26题10分)如图，抛物线y＝mx2－16mx＋48m(m>0)与x轴交于A，B两点(点B在点A左侧)，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E.(1)若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；(2)若对任意m>0，C，E两点总关于原点对称，求点D的坐标(用含m的式子表示)；(3)当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB＝∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P(x0，y0)总有n＋16≥－43my20－123y0－50成立，求实数n的最小值．第8题图9.(2010长沙26题10分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝82cm，OC＝8cm.现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．(1)用含t的式子表示△OPQ的面积S；(2)求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝14x2＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．第9题图10.(2015长沙26题10分)若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．(1)当x1＝c＝2，a＝13时，求x2与b的值；(2)当x1＝2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；(3)当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB、△PAB的面积分别为S1、S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．第10题图11.(2014长沙26题10分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和(a，116)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．(1)求a，b，c的值；(2)求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；(3)设⊙P与x轴相交于M(x1，0)，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．第11题图12.(2009长沙26题10分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(－3，0)，C(0，3)，且当x＝－4和x＝2时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b，c的值；(2)若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．第12题图答案1．(1)解：由题意可知，直线y＝mx＋1与y轴的交点P(0，1)在抛物线y＝x2－2x＋n上，∴n＝1，∴抛物线解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，则顶点Q的坐标为(1，0)，将Q(1，0)代入y＝mx＋1得0＝m＋1，∴m＝－1，∴m＝－1，n＝1；(2分)(2)设"路线"L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点(h，k)在y＝6x和y＝2x－4上，∴k＝6hk＝2h－4，解得h1＝－1k1＝－6或h2＝3k2＝2，∴顶点为(－1，－6)或(3，2)，(3分)∴"路线"L的解析式为y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，(4分)∵"路线"L过(0，－4)，将(0，－4)代入"路线"L的解析式，解得a＝2或a＝－23，∴"路线"L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2；(5分)(3)抛物线L的顶点坐标为Q(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，与y轴的交点为P(0，k)，设"带线"l的解析式为y＝px＋k(p≠0)，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，∴y＝3k2－2k＋12x＋k，(6分)令y＝0，解得x＝－－2k3k2－2k＋1，∴"带线"l交x轴于(－－2k3k2－2k＋1，0)，∵12≤k≤2，3k2－2k＋1＝3(k－13)2＋23＞0，∴"带线"l与坐标轴围成的三角形面积为S＝12·2k3k2－2k＋1·k＝k23k2－2k＋1＝11k2－2·1k＋3，(8分)令t＝1k，∵12≤k≤2，∴12≤t≤2，∴S＝1t2－2t＋3，∴1S＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2，∵12≤t≤2，1＞0，∴当t＝2，即k＝12时，S的最大值为3，此时1S的最小值为13；当t＝1时，即k＝1时，1S的最小值为2，此时S的最大值为12，∴13≤S≤12.故三角形面积的取值范围为13≤S≤12.(10分)2．解：(1)∵x的系数是无理数，∴只有当x＝0时，y才能取得整数，即当x＝0时，y＝2，此时坐标为(0，2)，∴函数y＝3x＋2的图象上所有"中国结"的坐标是(0，2)；(2分)(2)①当k＝1时，xy＝1，显然反比例函数的图象上有且只有两个"中国结"，其坐标分别为(1，1)、(－1，－1)；(3分)②当k＝－1时，xy＝－1，同理反比例函数的图象上有且只有两个"中国结"，其坐标分别为(－1，1)、(1，－1)；(3分)③当k≠±1时，如k＝2时，则图象上的"中国结"个数超过两个，有(2，1)、(－2，－1)、(1，2)、(－1，－2)，类似的当k≠±1时，中国结个数必将多于两个．∴只有当k值取±1时，反比例函数图象上有且只有两个"中国结"，∴当k＝1时，其相应"中国结"的坐标分别是(1，1)、(－1，－1)；当k＝－1时，其相应"中国结"的坐标分别是(－1，1)、(1，－1)．(6分)(3)由题意得(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0，解得x1＝－kk－1，x2＝－k－1k－2，∵交点都是"中国结"，∴当k≠1且k≠2时，关于x的二次方程有两个不相等的整数根x1、x2，由x1＝－kk－1，可得k＝x1x1＋1，同理，由x2＝－k－1k－2，可得k＝2x2＋1x2＋1，∴x1x1＋1＝2x2＋1x2＋1，化简得x1x2＋2x2＝－1，即x2(x1＋2)＝－1，∵x1，x2是整数，∴得到关于x1，x2的方程组：x2＝1x1＋2＝－1或x2＝－1x1＋2＝1，解得x1＝－3x2＝1或x1＝－1x2＝－1(舍去)，(7分)当x1＝－3x2＝1时，k＝x1x1＋1＝32，此时二次函数解析式是y＝－14x2－12x＋34＝－14(x＋3)(x－1)＝1－14(x＋1)2，(8分)∴由其图象可以得到，二次函数图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含6个"中国结"，分别为(－3，0)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(1，0)．(10分)3．(1)解：∵点P(2，m)是一个"梦之点"，且"梦之点"横、纵坐标相等，∴m＝2，即点P坐标是(2，2)，又∵点P在反比例函数y＝nx的图象上，∴n＝xy＝4，∴反比例函数的解析式是y＝4x；(2分)(2)解：假设函数y＝3kx＋s－1图象上存在"梦之点"，则y＝x，∴x＝3kx＋s－1，整理得(1－3k)x＝s－1，分类讨论如下：①当k＝13且s＝1时，x有无数个解，因此有无数个"梦之点"；(3分)②当k＝13且s≠1时，方程无解，图象上所有的点都不是"梦之点"；(4分)③当k≠13时，图象上仅有一个"梦之点"(1－s3k－1，1－s3k－1)；(5分)(3)解：根据"梦之点"的定义得x＝ax2＋bx＋1有两个不相等的实数根，即ax2＋(b－1)x＋1＝0(a＞0，a、b都是常数)，∴方程的根是－（b－1）±2a2a，∵|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝（b－1）2a2－4a＝4，∴(b－1)2＝4a2＋4a，又∵Δ＝(b－1)2－4a＝4a2＞0，a＞0，∴(b－1)＝±2a2＋a，分类讨论如下：①当(b－1)＝2a2＋a时，方程的根是－2a2＋a±2a2a＝－a2＋a±aa＝－1＋1a±1，∵－2<x1<2，且0<x2<4，则－1＋1a－1不符合题意，取x＝－1＋1a＋1，显然x1＝－1＋1a＋1；(6分)②当(b－1)＝－2a2＋a时，方程的根是2a2＋a±2a2a＝a2＋a±aa＝1＋1a±1，∵－2<x1<2，且0<x2<4，∴x1＝1＋1a－1，x2＝1＋1a＋1，根据题意，b2－2b＋15748＝t，整理得(b－1)2＝t－10948，∵(b－1)2＝4a2＋4a，∴4a2＋4a＋1＝(2a＋1)2＝t－10948＋1＝t－6148，a＞0，2a＋1＞1＞0，(7分)①的情况下：－2＜－1＋1a＋1＜2，化简得－3＜－1＋1a＜1，∴1＋1a＜3，1＋1a＜9，∴a＋1＜9a，则a＞18，t－6148＝(2a＋1)2＞(54)2，故t＞176；(8分)②的情况下：－2＜1＋1a－1＜2，－2＋1＜1＋1a－1＋1＜2＋1，－1＜1＋1a＜3，∴1＋1a＜3，1＋1a＜9，∴a＋1＜9a，则a＞18，t－6148＝(2a＋1)2＞(54)2，∴t＞176，(9分)综上所述，t的取值范围是t＞176.(10分)4．解：(1)是．理由如下：根据"闭区间"和"闭函数"的规定，∵反比例函数y＝2013x在第一象限，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝2013，当x＝2013时，y＝1，当1≤x≤2013时，12013≤1x≤1，1≤2013x≤2013，即1≤y≤2013，∴反比例函数y＝2013x是闭区间[1，2013]上的"闭函数"；(2分)(2)分两种情况讨论，k＞0和k＜0，①当k＞0时，一次函数y随x的增大而增大，根据闭函数的定义有km＋b＝m①kn＋b＝n②，①－②得k＝1，代入①得b＝0，∴此时一次函数的解析式为y＝x；(4分)②当k＜0时，此一次函数y随x的增大反而减小，根据闭函数的定义有km＋b＝n①kn＋b＝m②，①－②得k＝－1，代入①得b＝m＋n，∴此时一次函数的解析式为y＝－x＋m＋n；(6分)(3)已知二次函数y＝15(x－2)2－115，可知二次函数开口向上，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，－115)，分三种情况讨论如下：①当a＜b≤2时，y随x增大而减小，当a≤x≤b时，15b2－45b－75≤y≤15a2－45a－75，由闭函数的定义可得15a2－45a－75＝b①15b2－45b－75＝a②，①－②得15(a＋b)＝－15，由于a≠b，得a＋b＝－1，a＝－b－1，代入方程②得b2＋b－2＝0，解得b＝－2(不符合题意，舍去)或b＝1，由于a＜b，b＝1，a＝－2，故a＝－2b＝1；(7分)②当a＜2＜b时，函数的最小值为－115，根据闭函数的定义，当a≤x≤b时，－115≤y≤15a2－45a－75或－115≤y≤15b2－45b－75，于是a＝－11515a2－45a－75＝b或a＝－11515b2－45b－75＝b，解得a＝－115b＝166125＜2(舍去)或a＝－115b＝9＋1092＞2或a＝－115b＝9－1092＜2(舍去)；(8分)③当2≤a＜b时，y随x增大而增大，当a≤x≤b时，15a2－45a－75≤y≤15b2－45b－75，根据闭函数的定义有，15a2－45a－75＝a，15b2－45b－75＝b，即a、b是15s2－95s－75＝0的两个根，s＝9±1092，其中9－1092(不符合题意，舍去)，(9分)综上所述，a、b的值为a＝－2b＝1或a＝－115b＝9＋1092.(10分)5.解：(1)不能．理由如下：∵1的倒数为1，2的倒数为12，3的倒数为13，∴1＞12＞13，∵12＋13＝56≠1，∴1，2，3不能构成"和谐三数组"；(3分)(2)∵M(t，y1)，N(t＋1，y2)，R(t＋3，y3)三点均在反比例函数y＝kx的图象上，∴y1＝kt，y2＝kt＋1，y3＝kt＋3，∴1y1＝tk，1y2＝t＋1k，1y3＝t＋3k，∵y1，y2，y3构成"和谐三数组"，∴(i)1y1＋1y2＝1y3，即tk＋t＋1k＝t＋3k，解得t＝2；(ii)1y1＋1y3＝1y2，即tk＋t＋3k＝t＋1k，解得t＝－2；(iii)1y2＋1y3＝1y1，即t＋1k＋t＋3k＝tk，解得t＝－4.综上所述，t的值为－4或－2或2；(6分)(3)①直线y＝2bx＋2c，令y＝0，得x1＝－cb，联立抛物线与直线得y＝ax2＋3bx＋3cy＝2bx＋2c，整理得ax2＋bx＋c＝0，∵直线与抛物线交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点，∴x2＋x3＝－ba，x2·x3＝ca，∴1x2＋1x3＝x2＋x3x2·x3＝－baca＝－bc＝1x1，∴A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3能构成"和谐三数组"；(8分)②∵x2＝1，则B点坐标为(1，2b＋2c)，将点B代入抛物线y＝ax2＋3bx＋3c中，得a＋3b＋3c＝2b＋2c，即b＝－a－c，又∵a＞2b＞3c，∴a＞－2a－2c＞3c，即－32＜ca＜－25，∵bc≠0，∴b≠0，∴－a－c≠0，即ca≠－1，∵P(ca，ba)，且P到原点O的距离为非负数，∴OP＝b2＋c2a2＝（a＋c）2＋c2a2＝1＋2ca＋2（ca）2＝2（ca＋12）2＋12，∴当ca＝－12时，OPmin＝22，当ca＝－32时，OPmax＝102，当ca＝－1时，OP＝1，∴22≤OP＜102且OP≠1.(10分)6．(1)解：当m＝0时，y＝x2－6，(1分)令y＝0，x2－6＝0，解得x＝6或x＝－6，即当m＝0时，该函数的零点为6、－6；(2分)(2)证明：令y＝0，则x2－2mx－2(m＋3)＝0，∴Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4×1×[－2(m＋3)]＝4m2＋8m＋24＝4(m2＋2m＋1－1)＋24＝4(m＋1)2＋20，∵无论m为何值，4(m＋1)2≥0，即4(m＋1)2＋20>0，∴一元二次方程x2－2mx－2(m＋3)＝0一定有两个不相等的实数根，(3分)∴无论m取何值，函数y＝x2－2mx－2(m＋3)(m为常数)总有两个零点；(4分)(3)解：设函数的两个零点分别为x1和x2，则x1和x2是一元二次方程x2－2mx－2(m＋3)＝0的两个根，∴x1＋x2＝2m,x1·x2＝－2(m＋3)，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2m－2（m＋3）＝－mm＋3，(5分)又∵1x1＋1x2＝－14，∴mm＋3＝14，解得m＝1，经检验，m＝1是mm＋3＝14的解，∴二次函数解析式为y＝x2－2x－8.(6分)令y＝0，即x2－2x－8＝(x－4)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝4，此函数与x轴的交点坐标为A(－2，0)，B(4，0)，设直线y＝x－10与x轴交于点D(10，0)，与y轴交于点F(0，－10)，如解图过点A作直线y＝x－10的垂线，垂足为点E，延长AE到点A′，使AE＝A′E，连接A′B，交y＝x－10于点M，则此时MA＋MB最小，连接A′D，(7分)第6题解图∵OF＝OD＝10，∴∠ODF＝45°，在△ADA′中，DE是AA′的垂直平分线，∴∠ADA′＝2∠ADE＝90°，∴AD＝DA′，(8分)则点A′的坐标为(10，－12)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，将点A′、点B坐标分别代入得4k＋b＝010k＋b＝－12，解得k＝－2b＝8，∴直线A′B的解析式为y＝－2x＋8，设M点的坐标为(x，y)，则y＝x－10y＝－2x＋8，解得x＝6y＝－4，则点M的坐标为(6，－4)，(9分)设直线AM的解析式为y＝kx＋b，将点A、点M的坐标分别代入得－2k＋b＝06k＋b＝－4，解得k＝－12b＝－1，则直线AM的解析式为y＝－12x－1.(10分)7.解：(1)由题意得，直线P的解析式为y＝－x＋1，令x＝0，则y＝1，∴B(0，1)，令y＝0，则x＝1，∴A(1，0)，则OA＝1，OB＝1，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝OA2＋OB2＝2，∴△AOB的周长为1＋1＋2＝2＋2；(3分)(2)∵OA＝OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠PBO＝∠QAO＝135°，设∠POB＝x，则∠OPB＝∠ABO－∠POB＝45°－x，∠AOQ＝∠POQ－∠AOB－∠POB＝135°－90°－x＝45°－x，∴∠OPB＝∠AOQ，在△PBO和△OAQ中，∠PBO＝∠QAO∠OPB＝∠AOQ，∴△PBO∽△OAQ，∴PBOA＝OBQA，∴PB·QA＝OA·OB＝1，∵QA＝t>0，∴PB＝1t.(4分)第7题解图如解图，过P作PH⊥OB于点H，∵∠PBH＝∠ABO＝45°，∴△PHB为等腰直角三角形，∵PB＝1t，∴PH＝HB＝PB·sin45°＝22t，∵点P在第二象限，∴P(－22t，1＋22t)；(6分)(3)由(2)知△PBO∽△OAQ，若其周长相等，则相似比为1，即△PBO≌△OAQ，∴t＝AQ＝BO＝1，易得Q(1＋22，－22)，∴m＝tan∠AOQ＝|22|1＋22＝2－1.又∵m≤x≤m＋2，∴2－1≤x≤2＋1，∵二次函数过点A(1，0)，联立a＋b＋c＝06a＋3b＋2c＝0，解得b＝－4a，c＝3a，∴可设二次函数的解析式为y＝ax2－4ax＋3a，∴抛物线的对称轴为x＝2，取值范围为2－1≤x≤2＋1，(i)若a＞0，则抛物线的开口向上，当x＝2－1时，y最大＝2m＝22＋2，即(2－1)2a－4(2－1)a＋3a＝22＋2，解得a＝11＋827；(ii)若a＜0，则抛物线的开口向下，当x＝2时，y最大＝2m＝22＋2，即4a－4×2a＋3a＝22＋2，解得a＝－22－2.综上所述，二次项系数a的值为11＋827或－22－2.(10分)8.解：(1)∵y＝mx2－16mx＋48m＝m(x2－16x＋48)＝m(x－4)(x－12)，∴令y＝0，即m(x－4)(x－12)＝0，解得x1＝4，x2＝12，∴OB＝4，OA＝12，∵△OAC是等腰直角三角形，∠AOC＝90°，∴OC＝OA＝12，∴点C的坐标为(0，12)，∵点C在抛物线上，∴m(0－4)(0－12)＝12，解得m＝14；(3分)(2)由抛物线y＝mx2－16mx＋48m，可知点C的坐标为(0，48m)，∵点E与点C关于原点O对称，∴点E的坐标为(0，－48m)，∵点A的坐标为(12，0)，∴设直线AE的解析式为y＝k(x－12)，将点E代入得k＝4m，即直线AE的解析式为y＝4mx－48m，与抛物线联立，得y＝mx2－16mx＋48my＝4mx－48m，解得x1＝8y1＝－16m或x2＝12y2＝0(舍去)，∴点D的坐标为(8，－16m)；(6分)(3)∵点D为AE的中点，且A、E的横坐标分别为12，0，∴点D的横坐标为6，将x＝6代入抛物线y＝mx2－16mx＋48m，得y＝－12m，∴点D的坐标为(6，－12m)．∵∠ODB＝∠OAD，∠DOB＝∠AOD，∴△OBD∽△ODA，∴ODOA＝OBOD，∴OD2＝OA·OB，即62＋(－12m)2＝4×12，解得m＝36或m＝－36(负值舍去)，∴抛物线解析式为y＝36x2－833x＋83，即y＝36(x－8)2－833，∵点P是抛物线上任意一点，∴y0≥－833，令t＝－43my20－123y0－50，则t＝－2(y0＋33)2＋4，∵－2＜0，－833＞－33，∴在对称轴的右侧即y0＞－33时，t随着y0的增大而减小，∴tmax＝－2(－833＋33)2＋4＝103，∵n＋16≥－43my20－123y0－50对于任意一点P恒成立，∴n＋16≥tmax，即n＋16≥103，则n≥196，∴实数n的最小值为196.(10分)9.(1)解：由题意知CQ＝t，OP＝2t，OC＝8，∴OQ＝8－t，∴S△OPQ＝12(8－t)·2t＝－22t2＋42t(0＜t＜8)；(3分)(2)证明：∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCO－S△CBQ－S△PAB＝8×82－12×82t－12×8×(82－2t)＝322cm2，(5分)∴四边形OPBQ的面积是一个定值，且等于322cm2；(6分)(3)解：当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°.又∵BQ与AO不平行，∴∠QPO≠∠PQB，∠APB≠∠PBQ，∴相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，∴OQAP＝OPAB，即8－t82－2t＝2t8，解得t1＝4，t2＝8(舍去)．经检验：t＝4是方程的解，∴QO＝4，∴直线QB的解析式为y＝24x＋4，此时P(42，0)．∵抛物线y1＝14x2＋bx＋c经过B(82，8)、P(42，0)两点，将点P代入抛物线得，14×（82）2＋82b＋c＝814×（42）2＋42b＋c＝0，解得b＝－22c＝8，∴抛物线解析式为y1＝14x2－22x＋8，易得直线BP函数关系式为y2＝2x－8.(8分)设M(m，2m－8)，N(m，14m2－22m＋8)，∵点M在BP上运动，∴42≤m≤82.∵y1＝14x2－22x＋8与y2＝2x－8交于P、B两点，且抛物线的顶点是P，∴当42≤m≤82时，y1＜y2，(9分)∴|MN|＝|y1－y2|＝|14m2－22m＋8－(2m－8)|＝－14(m－62)2＋2，∴当m＝62时，MN的最大值是2.∴如解图，设MN与BQ交于H点，则M(62，4)，H(62，7)，第9题解图∴S△BHM＝12×3×22＝32，∴S△BHM∶S五边形QOPMH＝32∶(322－32)＝3∶29，∴当MN取最大值时，两部分面积之比是3∶29.(10分)10.解：(1)∵a＝13，x1＝c＝2，∴二次函数解析式是y＝13x2＋bx＋2，把x1＝2，y＝0代入解析式，得13×22＋2b＋2＝0，解得b＝－53，∴二次函数解析式是y＝13x2－53x＋2，∴该二次函数的对称轴为x＝－b2a＝52，根据二次函数的对称性，可求得x2的值为3；(3分)(2)△ABM不能为等边三角形．证明：当x1＝2c时，∵x1x2＝ca，∴x2＝cax1＝12a，又∵x1＋x2＝－ba，∴b＝－a(x1＋x2)＝－a(2c＋12a)＝－2ac－12，∴4ac＝－2b－1，∵抛物线的顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)，当△ABM是等边三角形时，点M到x轴的距离h满足h＝AB·sin60°＝32AB＝|4ac－b24a|，即|4ac－b24a|＝32(x2－x1)，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，又∵a＞0，∴|4ac－b24a|＝32(x2－x1)可化为：b2－4ac4a＝32×(12a－2c)，则b2－（－2b－1）4a＝32×1－4ac2a，∴b2＋2b＋14a＝3（1＋2b＋1）4a，∴(b＋1)2＝23(b＋1)，解得b＝－1或b＝23－1，(5分)又∵－b2a>0，a>0，∴b<0，∴b＝－1，b＝23－1(舍去)，当b＝－1时，4ac＝－2b－1＝1，则b2－4ac＝0，∴点A与点B重合，∴△ABM不可能是等边三角形；(6分)(3)∵△MAB与△PAB面积相等，∴AB·OP·12＝AB·h·12，即c＝|4ac－b24a|，∴b2－4ac4a＝c，∴b2＝8ac①，又∵△BPO∽△PAO，∴OPOA＝OBOP，即cx1＝x2c，∴c2＝x1x2，∵x1x2＝ca，∴c2＝ca，∵c≠0，∴ac＝1，代入①中得，b2＝8，解得b＝－22或b＝22(舍去)，∴二次函数解析式是y＝1cx2－22x＋c，(8分)令1cx2－22x＋c＝0，解得x1＝22－（－22）2－4·1c·c2·1c＝(2－1)c，∵x1＝mc，∴mc＝(2－1)c，∴m＝2－1.(10分)11.(1)解：根据题意，可知抛物线的顶点为原点，∴c＝0，(1分)∵抛物线的对称轴是y轴，∴b＝0，∴抛物线的解析式为y＝ax2代入点(a，116)，得a·(a)2＝116，解得a＝14或a＝－14，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴a＝14；(2分)(2)证明：如解图①，连接AP，第11题解图①根据题意，设点P的坐标是(m，14m2)．(3分)∵以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)，∴AP的长度为m2＋（14m2－2）2＝116m4＋4，(4分)又∵点P到x轴的距离为14m2，且116m4＋4>116m4＝14m2，∴点P到x轴的距离始终小于圆的半径，∴在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；(5分)(3)解：如解图②，作PH⊥MN于H，连接AP、PM、PN，第11题解图②设P(a，14a2)，∵PA＝116a4＋4，∴PM＝PN＝116a4＋4，又∵PH＝14a2，在Rt△MPH和Rt△NPH中，根据勾股定理得，MH＝NH＝116a4＋4－（14a2）2＝2，∴MN＝4，∴M(a－2，0)，N(a＋2，0)，又∵A(0，2)，∴AM＝（a－2）2＋4，AN＝（a＋2）2＋4.(6分)当AM＝AN时，（a－2）2＋4＝（a＋2）2＋4，解得a＝0，则14a2＝0，(7分)当AM＝MN时，（a－2）2＋4＝4，解得a＝2±23，则14a2＝4±23，(8分)当AN＝MN时，（a＋2）2＋4＝4，解得a＝－2±23，则14a2＝4±23，(9分)综上所述，圆心P的纵坐标为0或4＋23或4－23.(10分)12.解：(1)由题意得9a－3b＋c＝016a－4b＋c＝4a＋2b＋cc＝3，解得a＝－33b＝－233c＝3；(3分)(2)由(1)得，抛物线解析式为y＝－33x2－233x＋3＝－33(x＋1)2＋433，令y＝0，解得x1＝－3或x2＝1，∴B(1，0)，又∵A(－3，0)，C(0，3)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝3，AC＝23，BC＝2，AB＝4，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∵tan∠CAB＝223＝33，∴∠CAB＝30°，∠ABC＝60°.又由BM＝BN＝PN＝PM知四边形PMBN为菱形，∴PN∥AB，∴PNAB＝CNCB，即t4＝2－t2，解得t＝43，(5分)如解图，过点P作PE⊥AB交AB于点E，第12题解图∵在Rt△PEM中，∠PME＝∠ABC＝60°，PM＝43，∴PE＝PM·sin60°＝43×32＝233，ME＝PM·cos60°＝43×12＝23，又∵OM＝BM－OB＝43－1＝13，∴OE＝ME＋OM＝23＋13＝1，∴P(－1，233)；(7分)(3)存在．理由如下：由(1)、(2)知，抛物线y＝－33x2－233x＋3的对称轴为直线x＝－1，且∠ACB＝90°.①若∠BQN＝90°，∵BN的中点到对称轴的距离大于1，而12BM＝23＜1，∴以BN为直径的圆不与对称轴相交，∴∠BQN≠90°，即此时不存在符合条件的Q点；②若∠BNQ＝90°，当∠NBQ＝60°时，则Q、E重合，此时∠BNQ≠90°；当∠NBQ＝30°时，则Q、P重合，此时∠BNQ≠90°，即此时不存在符合条件的Q点；③若∠QBN＝90°，如解图，延长NM交对称轴于点Q，此时，∠NQB＝30°，点Q为点P关于x轴的对称点．∴Q(－1，－233)．(10分)