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免费2018年浙江省中考数学《第41讲：课本题改编型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析第41讲课本题改编型问题内容特性课本中例题、习题是针对教材内容而设置，具有示范性、典型性和代表性，例题、习题是学业考试试题和模拟试题编制的题源，这种"源于课本，又高于课本"的考题，既立足教材，又迁移了教材中解决问题的基本思想和方法，对教材中问题的适当拓展或延伸，改变题目的原有呈现形式，实现问题的推陈出新.解题策略通过课本中例题、习题的基本解题思路和改编后问题的结构去进一步探索，结合纵向、横向思考，特殊到一般等数学方法.基本思想类比思想、特殊到一般、运动变换思想体现较多.类型一以题改题－情景不变，内容改变例1课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)(2)△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；(3)如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第63页探究活动．问题通过课本题再赋予新的定义，进行了类比探究，丰富问题内含．考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道体现能力的题目．(浙教版教材八上，第86页第16题)1．已知△ABC中，AB＝AC，点E、F分别是直线BC，AC上的点，直线AE、BF相交于点P，且CF＝k·BE，∠BAC＝α.(1)若点E、F分别是边BC，CA上的点．①如图1，k＝1，α＝60°，求∠APF的度数；②如图2，k＝3，α＝120°，求∠APF的度数；(2)如图3，若点E在边BC上，点F在CA的延长线上，k＝3，α＝120°，求∠APF的度数．类型二以题生题－借助习题，拓展问题例2(2015·温州)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋12b－1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a＝4，b＝6，S＝4＋12×6－1＝6.(1)请在图1中画一个格点正方形，使它内部只含有4个格点，并写出它的面积；(2)请在图2中画一个格点三角形，使它的面积为72，且每条边上除顶点外无其他格点．【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八下第103页课题学习．本题是应用与设计作图，关键是理解皮克公式，根据题意求出a、b的值．(浙教版教材八下，第132页第11题)2．(2017·湖州)已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG；(2)如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G.若OE＝OG，①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．类型三借景编题－利用材料，设置问题例3如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________________________________________________________________．【解后感悟】本题的母题在浙教版教材九上第17页探究活动．此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．(浙教版教材九下，第10页第5题)3．(2015·衢州)如图，已知"人字梯"的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα＝52，则"人字梯"的顶端离地面的高度AD是()A．144cmB．180cmC．240cmD．360cm类型四多题联题－利用习题，组合编题例4已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．(1)A比B后出发几个小时？B的速度是多少？(2)在B出发后几小时，两人相遇？【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第166页第2题和第165页例2.本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键．(浙教版教材九上，第149页第5题和第136页第6题)4．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y＞0)，当x＝，公共部分面积y最大，y最大值＝.类型五以题换题－结构不变，情景改变例5(2016·绍兴)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积？(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【解后感悟】本题的母题在浙教版教材九上第24页例1.此题主要通过例题的方法去解决新问题，正确表示出函数解析式是解题关键．(浙教版教材九下，第23页第5题；浙教版教材九上，第148页第2题)5．如图是一只球沿着斜面向下运动的截面图，球的半径为0.24m，接触点为B，BC＝6m，斜面坡角为α＝20°，求球最高点A离地面的距离AH.(精确到0.1m)(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)【课本改变题】教材母题－－浙教版教材八下，第127页第4题提出问题：(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；类比探究：(2)如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：(3)在(2)问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．【方法与对策】本题通过课本题逐步深化，借助课本题模型联系前后知识和方法设置问题，绍兴市中考对该课本题也改编过．本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．这是中考课本题改编题的常用题型．【求最值时，忽视自变量的取值范围】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价(元)x销售量y(件)销售玩具获得利润w(元)(2)在(1)问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元；(3)在(1)问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？第41讲课本题改编型问题【例题精析】例1(1)如图2作图．(2)如图3①、②作△ABC.①当AD＝AE时，∵2x＋x＝30＋30，∴x＝20.②当AD＝DE时，∵30＋30＋2x＋x＝180，∴x＝40.(3)如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x∶y＝2∶3，∵△ACD∽△ABC，∴2∶x＝(x＋y)∶2，所以联立得方程组x∶y＝2∶3，2∶x＝（x＋y）∶2，解得x＝2510，y＝3510，即三分线长分别是2510和3510.例2(1)画法不唯一，如答图1或2.(2)画法不唯一，如答图3或4.例3由题意可得出：y＝a(x＋6)2＋4，将(－12，0)代入得出，0＝a(－12＋6)2＋4，解得：a＝－19，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝－19(x＋6)2＋4.故答案为：y＝－19(x＋6)2＋4.例4(1)由图可知，A比B后出发1小时；B的速度：60÷3＝20(km/h)；(2)由图可知点D(1，0)，C(3，60)，E(3，90)，设OC的解析式为s＝kt，则3k＝60，解得k＝20，所以s＝20t，设DE的解析式为s＝mt＋n，则m＋n＝0，3m＋n＝90，解得m＝45，n＝－45，所以s＝45t－45，由题意得s＝20t，s＝45t－45，解得t＝95，s＝36，所以，B出发95小时后两人相遇．例5(1)由已知可得：AD＝6－1－1－1－122＝54m，则S＝1×54＝54m2，(2)设AB＝xm，则AD＝3－74xm，∵3－74x>0，∴0<x<127，设窗户面积为S，由已知得：S＝AB·AD＝x3－74x＝－74x2＋3x＝－74x－672＋97，当x＝67m时，且x＝67m在0<x<127的范围内，S最大值＝97m2>1.05m2，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．【变式拓展】1．(1)①∵AB＝AC，α＝60°，∴△ABC为等边三角形．∵k＝1，∴CF＝BE，∵BC＝AB，∠BCF＝∠ABE，CF＝BE，∴△ABE≌△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠APF＝∠BAE＋∠ABP＝∠CBF＋∠ABP＝60°；②∵CF＝3·BE，∴CFBE＝3，∵AB＝AC，α＝120°，∴BCAB＝3.∵CFBE＝BCAB，∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠APF＝∠BAE＋∠ABP＝∠CBF＋∠ABP＝30°.(2)∵CFBE＝BCAB，∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CFB＝∠AEB，又∵∠CAE＝∠FAP，∴∠APF＝∠C＝30°.2.(1)如题图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，∴△DOG≌△COE(A)，∴OE＝OG.(2)①证明：如题图2中，∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，OD＝OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE.②设CH＝x，∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH＝1－x，∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH，∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴EHHC＝HCCD，∴HC2＝EH·CD，∴x2＝(1－x)·1，解得x＝5－12或－5－12(负值舍弃)，∴HC＝5－12.3.B4.365.过点B作BE⊥AH，BF⊥CH，在Rt△OBE中，cos20°＝OEOB＝OE0.24，∴OE＝0.24×cos20°≈0.23.在Rt△BCF中，sin20°＝BFBC＝BF6，∴BF＝6×sin20°≈2.04，∴AH＝AO＋OE＋EH＝0.24＋0.23＋2.04＝2.51≈2.5m.【热点题型】【分析与解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH.∴∠HAO＋∠OAD＝90°.∵AE⊥DH，∴∠ADO＋∠OAD＝90°.∴∠HAO＝∠ADO.∴△ABE≌△DAH(A)，∴AE＝DH.(2)EF＝GH.将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF.将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH.∵EF⊥GH，∴AM⊥DN，根据(1)的结论得AM＝DN，所以EF＝GH；(3)∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠AHO＝∠CGO，∵FH∥EG，∴∠FHO＝∠EGO，∴∠AHF＝∠CGE，∵∠A＝∠C＝90°，∴△AHF∽△CGE，∴AFCE＝FHEG＝FOOE＝12，∵EC＝2，∴AF＝1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF＝17，∵FH∥EG，∴FOFE＝HOHG，根据(2)知EF＝GH，∴FO＝HO.∴S△FOH＝12FO2＝12×(13EF)2＝1718，S△EOG＝12EO2＝12×(23EF)2＝6818，∴阴影部分面积为8518.【错误警示】(1)销售量y(件)：1000－10x；销售玩具获得利润w(元)：－10x2＋1300x－30000；(2)－10x2＋1300x－30000＝10000，解之得：x1＝50，x2＝80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．(3)根据题意得1000－10x≥540，x≥44，解之得：44≤x≤46，w＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250，∵a＝－10＜0，对称轴x＝65，∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x＝46时，W最大值＝8640(元)．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．