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免费2017年中考总复习：与三角形有关的计算与证明中考数学考点分类汇编滚动小专题(六)与三角形有关的计算与证明1．(2016·泉州)如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴CE＝CD，BC＝AC.∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE.∴∠ECB＝∠DCA.在△CDA与△CEB中，AC＝BC，∠DCA＝∠ECB，DC＝EC，∴△CDA≌△CEB.2．(2016·河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.又AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.3．(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AD＝23，∴AC＝ADcos30°＝4.4．(2016·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．解：(1)证明：在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，∴MN∥AD且MN＝12AD.在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝12AC.又∵AC＝AD，∴MN＝BM.(2)∵∠BAD＝60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°.由(1)知，BM＝12AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°.∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.∴BN2＝BM2＋MN2.而由(1)知，MN＝BM＝12AC＝12×2＝1，∴BN＝2.5．(2016·泰州)如图，△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.(1)求证：AD∥BC；(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF＝4，求BC的长．解：(1)证明：∵AD平分∠CAE，∴∠DAG＝12∠CAG.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠CAG＝∠B＋∠ACB，∴∠B＝12∠CAG.∴∠B＝∠DAG.∴AD∥BC.(2)∵CG⊥AD，∴∠AFC＝∠AFG＝90°.在△AFC和△AFG中，∠CAF＝∠GAF，AF＝AF，∠AFC＝∠AFG，∴△AFC≌△AFG(A)．∴CF＝GF.∵AD∥BC，∴△AGF∽△BGC.∴GF∶GC＝AF∶BC＝1∶2.∴BC＝2AF＝2×4＝8.6．(2015·菏泽)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.(1)如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．解：(1)△CDF是等腰直角三角形．理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC.在△FAD与△DBC中，AD＝BC，∠FAD＝∠DBC，AF＝BD，∴△FAD≌△DBC(S)．∴FD＝DC.∴△CDF是等腰三角形．∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB.∵∠BDC＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，即∠CDF＝90°.∴△CDF是等腰直角三角形．(2)∠APD的度数是固定值．作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连接DF，CF.∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC，AF∥CE.在△FAD与△DBC中，AD＝BC，∠FAD＝∠DBC，AF＝BD，∴△FAD≌△DBC(S)．∴FD＝DC.∴△CDF是等腰三角形．∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB.∵∠BDC＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°.∴△CDF是等腰直角三角形．∴∠FCD＝45°.∵AF∥CE，且AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形．∴AE∥CF.∴∠APD＝∠FCD＝45°.7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM为△ABC的角平分线，将线段BM绕点B顺时针方向旋转使点M刚好落在AM的延长线上的点N处，此时作ND⊥BC于点D.(1)求证：∠ABN＝90°；(2)求证：CM＝BD；(3)若BD＝32DM，AB＝10，求线段BN的长．解：(1)证明：∵线段BM绕点B旋转后得线段BN，∴BM＝BN.∴∠CMA＝∠BMN＝∠BNM.又∵AM平分∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM.∴△ACM∽△ABN.∴∠ABN＝∠C＝90°.(2)证明：过点M作ME⊥AB于点E.∵AM平分∠BAC，∠C＝90°，ME⊥AB，∴ME＝CM.∵ND⊥BC，∴∠MEB＝∠BDN＝∠ABN＝90°.∴∠MBE＋∠MBN＝∠MBN＋∠BND＝90°.∴∠MBE＝∠BND.∵∠MEB＝∠BDN，∠MBE＝∠BND，BM＝BN，∴△MEB≌△BDN.∴ME＝BD.∴CM＝BD.(3)设DM＝2x，则CM＝BD＝3x，BN＝BM＝BD＋DM＝5x.在Rt△BDN中，DN＝BN2－BD2＝4x.在Rt△MDN中，tan∠MND＝DMDN＝2x4x＝12.∵∠C＝∠NDM＝90°，∴AC∥DN.∴∠BAM＝∠CAM＝∠MND.∴tan∠BAM＝tan∠MND＝12.在Rt△ABN中，BN＝AB·tan∠BAM＝10×12＝5.