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目录题型三几何图形综合题 2类型一几何计算(静态) 2类型二折叠问题 4类型三旋转问题 4题型三几何图形综合题类型一几何计算(静态)针对演练1.如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝42，则△CEF的面积是()A.2B.22C.32D.42第1题图第2题图第3题图2.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG＋FH为()A.52B.5102C.31010D.31053.如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM.有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN＝FN；③CN＝2AN；④S△ADN∶S四边形CNFB＝2∶5；⑤∠ADF＝∠BMF.其中正确结论的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个4.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、AD边上，且BE＝AF，连接CE、BF，它们相交于点G，点H为线段BE的中点，连接GH.若∠EHG＝43∠DCE，则∠ABF等于________度．第4题图第5题图第6题图5.如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则PGCG的值为________．6.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、DE，若AE＝2，BE＝15，∠AED＝135°，则正方形ABCD的面积为________．7.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，延长BA到点G，使AG＝CF，连接GF.若BC＝7，DF＝3，tan∠AEB＝3，则GF的长为________．第7题图第8题图第9题图8.(2016重庆一中下期半期考试)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN，点N在正方形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F.若CF＝3，DF＝2，连接BN，则BN的长为________．9.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，菱形ABCD的面积为503，点E、F分别在AB、AD上，且BE＝AF＝2，则△ECF的周长为________．10.在矩形ABCD中，BC＝4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，当点F为AD中点时，AB＝________．第10题图答案类型一几何计算(静态)1.B【解析】∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE＝∠BAE，∴AB＝BE＝6，∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE＝2AG，在Rt△ABG中，∵∠AGB＝90°，AB＝6，BG＝42，∴AG＝AB2－BG2＝2，∴AE＝2AG＝4，∴S△BEA＝12AE·BG＝12×4×42＝82.∵BE＝6，BC＝AD＝9，∴CE＝BC－BE＝9－6＝3，∴BE∶CE＝6∶3＝2∶1.∵AB∥FC，∴△BEA∽△CEF，∴S△BEA∶S△CEF＝(BE∶CE)2＝4∶1，∴S△CEF＝14S△BEA＝22.2.D【解析】如解图所示，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，∠A＝∠D＝90°，∵点E为AD中点，∴AE＝DE＝1，∴BE＝AE2＋AB2＝12＋32＝10，在△ABE和△DCE中，,∴△ABE≌△DCE(S)，∴BE＝CE＝10，∵S△BCE＝S△BEF＋S△CEF，∴12BC·AB＝12BE·FG＋12CE·FH，即BE(FG＋FH)＝BC·AB，即10(FG＋FH)＝2×3，解得：FG＋FH＝3105.3.C【解析】①在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE(A)，故本选项正确；②∵△ADF≌△DCE，∴DE＝AF，∵AE＝DE，∴AE＝AF，在△ANF和△ANE中，∴△ANF≌△ANE(S)，∴NF＝NE，∵NM⊥CE，∴NE>MN，∴NF>MN，故本选项错误；③∵AF∥CD，∴∠CDN＝∠NFA，∠DCN＝∠NAF，∴△DCN∽△FAN，又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，∴AF＝12AB＝12DC，∴CNAN＝CDAF＝2，∴CN＝2AN，故本选项正确；④如解图①，连接CF，设S△ANF＝1，则S△ADF＝S△ACF＝3，∴S△ADN＝2，∴S△ACB＝6，∴S四边形CNFB＝S△ACB－S△ANF＝5，∴S△ADN∶S四边形CNFB＝2∶5，故本选项正确；⑤如解图②，延长DF与CB的延长线交于G，则∠ADF＝∠G，根据③的结论F为AB中点，即AF＝BF，在△DAF与△GBF中，,∴△DAF≌△GBF(A)，∴BG＝AD，又AD＝BC，∴BC＝BG，又∵∠ADF＝∠DCE，∠ADF＋∠CDM＝90°，∴∠DCE＋∠CDM＝90°，∴∠DMC＝∠CMG＝90°，∴△CMG是直角三角形，∴MB＝BG＝BC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠G＝∠BMF，∴∠ADF＝∠BMF，故本选项正确．∴正确的有①③④⑤共4个．故选C.图①图②第3题解图4.36【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC，在△ABF和△BCE中，∵△ABF≌△BCE(S)，∴∠ABF＝∠BCE，∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠CBG＋∠BCE＝90°，∴∠BGC＝90°，∴∠BGE＝90°，∵点H为线段BE的中点，∴GH＝12BE＝EH＝BH，∴∠GEH＝∠HGE，∠HBG＝∠HGB，∵∠EHG＝43∠DCE，设∠DCE＝3x，则∠EHG＝4x，∵AB∥CD，∴∠HEG＝∠DCE＝3x，∴∠HGE＝3x，∠ABF＝2x，∵在△HGE中，3x＋4x＋3x＝180°，解得：x＝18°，∴∠ABF＝36°.5.32【解析】如解图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，由题意可知DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP，在△GFP和△HDP中，，∴△GFP≌△HDP(A)，∴GP＝HP，GF＝HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CG＝CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC(三线合一)，又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，∴∠GCP＝60°，∴PGCG＝sin60°＝32.6.11＋214【解析】如解图，把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，则E′B＝DE，AE＝AE′，∵旋转角是90°，连接EE′，∴∠EAE′＝90°，∴△EAE′是等腰直角三角形，∴EE′＝2·AE＝22，∠AE′E＝45°，∵∠AED＝135°，∴∠AE′B＝∠AED＝135°，∴∠EE′B＝135°－45°＝90°，在Rt△EE′B中，由勾股定理得，BE′＝DE＝BE2－EE′2＝7，过点A作BE′的垂线，交BE′的延长线于点G，可求出Rt△AGB的AG和BG的长，分别为2、2＋7，在△ABG中，由勾股定理可知AB2＝2＋(2＋7)2，∴正方形ABCD的面积＝AB2＝11＋214.7.32【解析】如解图所示，延长AE、DC相交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC.∵AB∥DM，∴∠M＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠CEM＝∠DAM，而∠BAE＝∠DAM，∴∠M＝∠CEM＝∠DAM，∴CE＝CM，DM＝AD＝7.∵∠M＋∠MFE＝90°＝∠CEM＋∠CEF，∴∠MFE＝∠CEF，∴CF＝CE＝CM＝12FM＝12(MD－DF)＝2,∴AB＝DC＝DF＋CF＝5,BE＝BC－CE＝5.设EH＝x，由AHEH＝tan∠AEB＝3，可得：AH＝3x，在Rt△ABH中，AB2＝AH2＋BH2，则52＝(3x)2＋(5－x)2，解得x＝1，则EH＝1，AH＝3，故CH＝CE＋EH＝3,∴AC＝AH2＋CH2＝32.又∵四边形ACFG是平行四边形，∴FG＝AC＝32.8.257【解析】如解图，连接MN交CD于G，∵四边形CMEN是正方形，∴MN⊥CE，且MG＝CG＝GN＝GE，∵四边形ABCD是正方形，且CF＝3，DF＝2，∴AD＝5，∠D＝90°.∵MG∥AD，∴△MGF∽△ADF，∴MGAD＝FGDF，设MG＝x，则FG＝CF－CG＝3－x，∴，解得x＝157.过N作NH⊥BC于H，易得四边形NHCG是正方形，∴NH＝HC＝157，∴BH＝BC－CH＝5－157＝207.在Rt△BHN中，由勾股定理得BN＝BH2＋HN2＝（207）2＋（157）2＝257.9.621【解析】如解图，过点C作CH⊥AB于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，又∠B＝60°，∴△ABC、△ADC都为等边三角形，∴∠BCA＝60°，∠DAC＝60°，AC＝BC，在△BCE和△ACF中，∴△BCE≌△ACF(S)，∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，又∠BCE＋∠ACE＝60°，∴∠ACF＋∠ACE＝60°，即∠ECF＝60°，∴△ECF为等边三角形．设BH＝x，在Rt△BCH中，BC＝2x，CH＝3x，∴2x·3x＝503，解得x＝5，即BH＝5，∴CH＝，HE＝BH－BE＝5－2＝3，在Rt△CHE中，CE＝CH2＋HE2＝（53）2＋32＝221，∴△ECF的周长＝3×221＝621.10.22【解析】∵点F为AD中点，四边形ABCD是矩形，∴AF＝12AD＝2，AD＝BC＝4，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAF＝∠ECB，∠AFE＝∠CBE，∴△AEF∽△CEB，∴AECE＝FEBE＝AFCB＝24＝12，∴CE＝2AE，BE＝2FE，∴AC＝3AE，BF＝3FE，∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAF＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，设AB＝x，分别由勾股定理得：AC2＝AB2＋BC2，BF2＝AF2＋AB2，即(3AE)2＝x2＋42，(3FE)2＝22＋x2，两式相加，得9(AE2＋FE2)＝2x2＋20，又∵AC⊥BG，∴在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2＋FE2＝AF2＝4，∴36＝2x2＋20，解得：x＝22或x＝－22(舍去)，∴x＝22，即AB＝22.类型二折叠问题针对演练1.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，则BG＝________．第1题图第2题图2.(2016重庆八中强化训练三)在矩形ABCD中，E为AB边上的中点，将△BDE沿DE翻折，B的对应点记为B′，已知AD＝4，AB＝6，F为线段DE上一动点，当∠DAF＝∠BAB′时，则DF＋BB′＝________．3.(2016重庆实验外国语学校一诊)如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝BF＝1，连接BE、CF交于点G，在线段EG上取一点H使HG＝BG，连接DH，把△EDH沿AD边翻折得到△EDH′，则点H到边DH′的距离是________．第3题图第4题图第5题图4.(2016重庆巴蜀中学三诊)如图，在边长为3的正方形ABCD中，E为BC上的一点，且EC＝13BC，过E作EF⊥AE交CD于F，连接AF，把△AEF沿AF翻折得到△AGF，使E点落在G处，连接DG，则DG＝________．5.(2016重庆八中开学考试)如图，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝26，以AB为边在△ABE的同侧作正方形ABCD，点O为AC与BD的交点，连接OE，OE＝22，点P为边AB上一点，将△APE沿直线PE翻折得到△GPE，若PG⊥BE于点F，则BF＝________．6.如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点(不与A，F重合)，点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长为________．答案类型二折叠问题1.2【解析】在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴BG＝FG，设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x，∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，∴BG＝22.8【解析】在矩形ABCD中，E为AB边上的中点，AD＝4，AB＝6，∴AE＝12AB＝3，∴DE＝AD2＋AE2＝5，BD＝AD2＋BA2＝213，∵将△BDE翻折，B的对应点记为B′，∴BE＝B′E，BD＝B′D，∴B′E＝12AB，∴∠AB′B＝90°，∵∠DAF＝∠BAB′，∴∠B′AF＝∠DAB＝90°，∴AF∥BB′，延长DE交BB′于H，∴DH垂直平分BB′，设BH＝x，EH＝y，∴∴BB′＝245，∵AF∥BB′，∴AF⊥DH，∴DF＝AD2DE＝165，∴DF＋BB′＝165＋245＝8.3.【解析】如解图，连接HH′，由折叠知H′D＝HD，∠H′DE＝∠HDE，∴AD⊥HH′于点Q，在△ABE和△BCF中，,∴△ABE≌△BCF(S)，∴∠ABE＝∠BCF，∵∠FBG＋∠GBC＝90°，∴∠BCF＋∠GBC＝90°，∴∠BGC＝90°，根据勾股定理得CF＝BF2＋BC2＝12＋32＝10，根据面积公式得12CF·BG＝12BC·BF，∴BG＝BC·BFCF＝3×110＝31010，∴HG＝BG＝31010，∵BE＝CF＝10，∴EH＝2510，∵∠HQD＝∠A＝90°，∴QH∥AB，∴QHAB＝EHEB＝EQAE，即＝251010＝，∴QH＝65，EQ＝25，∴DQ＝25＋2＝125，∴DH＝QH2＋QD2＝（65）2＋（125）2＝655，∴DH′＝DH＝655，设△DHH′的DH′边上的高为h，则12DH′·h＝12QH·DQ×2，∴h＝2×65×125655＝24255.∴点H到边DH′的距离是24255.4.2105【解析】如解图，过点A作AM⊥DG，交GD的延长线于点M.∵∠ADF＝∠AGF＝90°，∴点A、D、G、F四点共圆，∴∠AGD＝∠AFD.∵BC＝3，∴EC＝13BC＝1，∴BE＝2，∴AE＝AG＝AB2＋BE2＝13.∵∠AEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴ABCE＝BEFC，即31＝，∴FC＝23，∴DF＝DC－FC＝3－23＝73，EF＝EC2＋FC2＝133，∵tan∠AGM＝tan∠AFD，∴AMGM＝ADDF＝373＝97.∵∠ADF＝90°，∴∠FDG＝∠MAD＝∠FAG，∴∠ADM＝∠AFG，∴tan∠ADM＝tan∠AFG＝tan∠AFE＝AEEF＝3.设AM＝9x，则DM＝3x，则AD＝，解得x＝1010.又∵AMGM＝97，∴GM＝7x，∴DG＝GM－DM＝4x＝4×1010＝2105.5.5－52626【解析】如解图，在BE上截取BM＝AE，连接OM，AC与BE交于点K，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝OB，∴∠AEM＝∠AOB＝90°，∴∠EAK＋∠AKE＝90°，∠BKO＋∠OBM＝90°，∵∠BKO＝∠AKE，∴∠EAO＝∠OBM，在△OAE和△OBM中，∴△OAE≌△OBM(S)，∴OE＝OM，∠AOE＝∠BOM，∴∠EOM＝∠AOB＝90°，∴EM＝2OE＝4，设AE＝BM＝a，在Rt△ABE中，∵AB2＝AE2＋BE2，∴26＝a2＋(a＋4)2，∵a>0，∴a＝1，∵△PEG是由△PEA翻折而得到的，∴PA＝PG，∠APE＝∠GPE，∵PG⊥EB，AE⊥EB，∴AE∥PG，∴∠AEP＝∠GPE＝∠APE，∴AP＝AE＝1，PB＝26－1，∴PBAB＝BFBE，∴26－126＝，∴BF＝5－52626.6.24－833【解析】如解图，根据翻折的性质可知：△ABE≌△AFE，∵AF＝AB＝8，EF＝BE，∠2＝∠3，由已知得：DC＝AB＝8，BC＝AD，∵F是DC的中点，DF＝CF＝12DC＝4，∴BC＝AD＝AF2－DF2＝82－42＝43，∵∠D＝90°，AF＝2DF，∴∠1＝30°，∴∠BAF＝60°，∴∠1＝∠2＝30°，设BE＝x，则EF＝x，CE＝43－x，在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2，即x2＝(43－x)2＋16，解得：BE＝x＝833，∵矩形沿GH翻折，点A落在线段BH上点A′处，∴AG＝A′G，AH＝A′H，∵∠BAF＝60°，∴△AGA′为等边三角形，∴AG＝AA′，在△AGE与△AA′E中，，∴△AGE≌△AA′E(S)，∴GE＝A′E，∴当△A′GE为直角三角形时，只能∠A′EG＝90°，∴△A′EG是等腰直角三角形，设AH＝y，则AA′＝A′G＝2y，A′B＝AB－AA′＝8－2y，在等腰直角三角形A′GE中，A′E＝22A′G＝2y，在直角三角形A′BE中，A′E＝A′B2＋BE2＝，2y2＝(8－2y)2＋(833)2，解得：y1＝24－833，y2＝24＋833(不合题意舍去)，∴AH＝24－833.类型三旋转问题针对演练1.如图，矩形ABCD中，E为BC边上一点，且AE⊥DE，将线段AE绕A点逆时针旋转90°，得到线段AF，连接EF，交AD于点M，连接DF，若BE＝1，EF＝25，则点M到DF的距离为________．第1题图第2题图第3题图2.如图，矩形ABCD中，点B与原点重合，点D(8，6)，AE⊥BD，△AEB沿着y轴翻折得到△AFB，将△AFB绕着点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△BF′A′，直线F′A′与线段AB、AE分别交于点M、N，当MN＝MA时，△BF′A′与△AEB重叠部分的面积为________．3.(2015重庆南开九下半期考试)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将△ACD沿对角线AC翻折得到△ACE.AE交BC于点F，将△CEF绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜180°)得到△CE′F′，点E、F的对应点分别为E′、F′，旋转过程中直线CF′、E′F′分别交直线AE的延长线于点M、N，当△F′NM是等腰三角形且MN＝MF′时，则MN＝________．4.(2015重庆南开阶段测试三)如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，以A为一个顶点的等边三角形ADE绕点A在∠BAC内旋转，AD、AE所在的直线与BC边分别交于点F、G，点B关于直线AD的对称点为B′，当△FGB′是以点G为直角顶点的直角三角形时，BF的长为________．5.(2016南岸区一模)如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝7.5，点E是AD上一点，把△ABE沿BE翻折至△FBE，EF与DC相交于点G，且DG＝FG，再把△FBE绕点E顺时针旋转一定的角度α(0°<α<90°)后得到△F′EB′，EF′的延长线交BF于点M，EB′交AB于点N，当ME＝MB时，AN的长度是________．第4题图第5题图6.(2016重庆八中第一次全真模拟)如图所示，正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ACD绕点C逆时针旋转一定角度得到△A′CD′，连接AA′，连接DD′并延长交AA′于点E，若A′E＝12AC＝2，则ED′＝________．第6题图第7题图7.(2016重庆南开阶段测试一)如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE＝∠DAB＝90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE的延长线于点C，已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H.连接FH交DM与点N，若AC＝23，则MN的值为________．答案类型三旋转问题1.342【解析】如解图，∵将线段AE绕A点逆时针旋转90°，得到线段AF，∴AE＝AF，∠FAE＝90°，∵EF＝25，∴AE＝AF＝10，∵BE＝1，∴AB＝3，∵AE⊥DE，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠DEC，又∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECD，∴BEDC＝ABEC，即13＝，∴EC＝9，则DE＝310，BC＝10，∵AF∥DE，∴AFDE＝AMDM＝13，∴DM＝152，过点F作FN⊥AD，过点M作MH⊥DF，垂足为N、H，在△FAN和△ABE中，，∴△FAN≌△EBA(A)，∴FN＝BE＝1，AN＝AB＝3，则DN＝7，∴DF＝72＋12＝52，∴12DM·FN＝12DF·MH，即12×152×1＝12×52×MH，∴MH＝342，∴点M到DF的距离为342.第1题解图2.10825【解析】在矩形ABCD中，点D(8，6)，∴AD＝8，AB＝6，∴DO＝AB2＋AD2＝10，∵AE⊥OD，∴12AO·AD＝12·OD·AE，∴AE＝245，∴OE＝OF′＝AO2－AE2＝185，∵AM＝MN，∴∠MAN＝∠ANM，∵∠ENG＋∠NGE＝90°，∠ANM＝∠ENG，∴∠AOE＝∠OGF′，∵∠AEO＝∠OF′G＝90°，∴△AEO∽△OF′G，∴AEOF′＝AOOG，∴OG＝92，∴F′G＝OG2－OF′2＝2710，EG＝OG－OE＝92－185＝910，由△NEG∽△AEO，得NEAE＝EGEO，∴NE＝65，∴S重合＝S△OGF′－S△NEG＝12×185×2710－12×910×65＝10825.第2题解图3.27556【解析】当MF′＝MN时，∠MNF′＝∠MF′N＝∠E′F′C＝∠EFC，∴E′F′∥BC，设BF＝x，则AF＝FC＝8－x，则在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，即62＋x2＝(8－x)2，解得x＝74，∴CF＝254.如解图，作MH∥BC交DC延长线于点H，则△CMH∽△CF′E′，又∵△CF′E′≌△CFE≌△AFB，∴△CMH∽△AFB，∴MH∶CH∶CM＝BF∶AB∶AF＝7∶24∶25，作MI⊥CF于点I，则I为CF的中点，又MH＝CI，∴MH＝12FC＝258，MC＝257MH＝62556，∴MN＝MF′＝62556－254＝27556.第3题解图4.43－4【解析】如解图，连接AB′，过点A作AH⊥BC于点H.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵∠DAE＝60°，∴∠BAF＋∠CAE＝60°.由对称性知∠B＝∠AB′F＝30°，∠BAF＝∠B′AF，BF＝B′F，AB＝AB′.∵∠BAF＋∠CAE＝60°，∠B′AF＋∠B′AE＝60°，∴∠CAE＝∠B′AE，又∵AG＝AG，AB′＝AC，∴△ACG≌△AB′G(S)，∴∠C＝∠AB′G＝30°，CG＝B′G，∴∠FB′G＝30°＋30°＝60°.∵∠FGB′＝90°，∴△FGB′为直角三角形，B′G∶FG∶B′F＝1∶3∶2.设B′G＝x，则FG＝3x，FB′＝2x，∵B′G＋FG＋B′F＝BF＋FG＋GC＝BC，又∵BC＝2BH＝2AB·cos∠B＝2×4×cos30°＝43，∴x＋3x＋2x＝43，解得x＝23－2，∴BF＝2x＝43－4.5.185【解析】如解图，设BF交CD于点H，设AE＝EF＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝7.5，∠A＝∠D＝∠C＝90°，在△DGE和△FGH中，，∴△DGE≌△FGH(A)，∴EG＝GH，DE＝FH，∴DH＝EF＝x，DE＝FH＝7.5－x，BH＝10－FH＝2.5＋x，CH＝10－x，在Rt△BCH中，∵BH2＝CH2＋BC2，∴(2.5＋x)2＝(10－x)2＋7.52，∴x＝6，∴AE＝6，∵EM＝MB，∴∠MEB＝∠MBE＝∠EBA＝∠AEN，∵∠EAN＝∠EAB＝90°，∴△EAN∽△BAE，∴AEAB＝ANAE，∴610＝，∴AN＝185.第5题解图6.6－2【解析】如解图，过点D′作D′F⊥AA′于点F，设A′D′与AB交于点G，由旋转知CA＝CA′，∴∠CAA′＝∠CA′A，∵∠CAB＝∠CA′D′＝45°，∴∠GAA′＝∠GA′A，∴∠GAA′＝∠GA′A＝180°－∠AGA′2，∵∠AGA′＝∠BGD′＝360°－∠B－∠GD′C－∠BCD′＝360°－90°－90°－∠BCD′＝180°－∠BCD′，∴∠GAA′＝∠GA′A＝180°－∠AGA′2＝12∠BCD′，∵CD＝CD′，∠DCD′＝90°－∠BCD′，∴∠CD′D＝∠CDD′＝180°－∠DCD′2＝180°－90°＋∠BCD′2＝45°＋12∠BCD′，∴∠ED′A′＝180°－∠A′D′C－∠CD′D＝180°－90°－(45°＋12∠BCD′)＝45°－12∠BCD′，∴∠D′EF＝∠EA′D′＋∠ED′A′＝12∠BCD′＋45°－12∠BCD′＝45°，∵D′F⊥AA′，∴EF＝D′F，不妨设EF＝D′F＝x，则A′F＝2＋x，又∵A′D′＝AD＝AC·sin45°＝4×22＝22，由勾股定理得A′F2＋D′F2＝A′D′2，即(x＋2)2＋x2＝(22)2，解得x＝3－1或x＝－3－1(舍去)，∴ED′＝EF2＋D′F2＝2x＝6－2.7.【解析】如解图，分别过点M、F作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，∵等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，∴∠GAD＝∠CAB＝60°，∵∠GAE＝∠DAB＝90°，AG＝AE＝AD＝AB，∴∠DAC＝30°，∠G＝∠AEG＝45°，∵AF平分∠GAD，∴∠GAF＝∠FAT＝30°，在△AGF和△AEM中，，∴△AGF≌△AEM(A)，∴AF＝AM，在△AFT和△AMK中，，∴△AFT≌△AMK(A)，∴AT＝AK，∵AD＝AE，∴DT＝EK，∵∠KME＝∠KEM＝45°，∴MK＝EK＝DT＝FT，设MK＝KE＝x，则AK＝3x，∵AC＝23，DC∥AB，∠DAC＝30°，∴∠CDA＝90°，DC＝3，AD＝3，∴AE＝AD＝3，∴x＋3x＝3，解得x＝3（3－1）2，∴DT＝FT＝MK＝EK＝3（3－1）2，AM＝3(3－1)，EC＝23－3，在Rt△HEC中，∵∠C＝60°，EC＝23－3，∴HC＝2EC＝43－6，DH＝DC－HC＝3－(43－6)＝6－33，设DN＝y，∵DH∥FT，∴DHFT＝DNNT，∴6－333（3－1）2＝，∴y＝23－3，∴MN＝AD－AM－DN＝3－3(3－1)－(23－3)＝9－53.