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第五章四边形第二节矩形、菱形、正方形玩转重庆9年中考真题(2008～2016)命题点1矩形的性质及相关计算(9年5考)1.(2014重庆B卷8题4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°第1题图第2题图2.(2015重庆B卷18题4分)如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB＝2，BC＝23，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE＝∠ACF，且CE＝CF时，AE＋AF＝________．3.(2013重庆A卷24题10分)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.(1)求证：OE＝OF；(2)若BC＝23，求AB的长．第3题图【拓展猜押1】如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP＋PQ的最小值为________．拓展猜押1题图命题点2菱形的性质及相关计算(9年7考)4.(2014重庆A卷15题4分)如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为________．第4题图5.(2012重庆24题10分)已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.第5题图【拓展猜押2】如图，在菱形ABCD中，AB＝BD.点E，F分别在BC，CD边上，且CE＝DF，BF与DE交于点G.若BG＝2，DG＝3，则四边形ABGD的面积为________．拓展猜押2题图命题点3正方形的性质及相关计算(9年9考)第6题图第7题图6.(2014重庆B卷18题4分)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE.过点C作CF⊥BE，垂足是F，连接OF，则OF的长为__________．7.(2014重庆B卷18题4分)如图，在边长为62的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH.若BH＝8，则FG＝________．【拓展猜押3】如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．拓展猜押3题图答案命题点1矩形的性质及相关计算1.B【解析】∵四边形ABCD是矩形，AC与BD相交于点O，∴OB＝OC，∵∠ACB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠AOB＝∠ACB＋∠DBC＝60°.第2题解图2.433【解析】如解图，作FG⊥AC于G点，∴∠FGC＝∠B.∵EC＝FC，∠BCE＝∠ACF，∴△BCE≌△GCF(A)，∴BC＝CG＝23.在Rt△ABC中，AB＝2，∴tan∠BAC＝3，∴∠BAC＝60°，∠GAF＝30°，AC＝2AB＝4.∴AG＝4－23.在Rt△AFG中，tan30°＝GFAG，∴GF＝4－233＝BE，∴AF＝2GF＝2（4－23）3，AE＝2－4－233，∴AF＋AE＝2（4－23）3＋2－4－233＝2＋4－233＝43＝433.3.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.……………………………………………………………………(1分)∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC.………………………………………(2分)∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO(A)．……………………………………………………((3分)∴OE＝OF.……………………………………………………………………(4分)第3题解图（2）解：如解图，连接BO.∵OE＝OF，BE＝BF，∴BO⊥EF，且∠EBO＝∠FBO.∴∠BOF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF＝90°.又∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC＋∠EOA，∴∠BAC＝∠EOA，∴AE＝OE.∵AE＝CF，OE＝OF，∴OF＝CF.又∵BF＝BF，∴△BOF≌△BCF(HL)，……………………………………………………(6分)∴∠OBF＝∠CBF，……………………………………………………………(7分)∴∠CBF＝∠FBO＝∠OBE.∵∠ABC＝90°，∴∠OBE＝13∠ABC＝30°，…………………………………………………(8分)∴∠BEO＝60°，∴∠BAC＝30°.………………………………………………………………(9分)∵tan∠BAC＝BCAB，∴tan30°＝，即33＝，∴AB＝6.………………………………………………………………(10分)拓展猜押1题解图【拓展猜押1】33【解析】如解图，延长AE到F，使得EF＝EA，过F作FQ⊥AD于Q，交BD于P，连接AP，此时AP＋PQ＝FP＋PQ＝FQ，使得AP＋PQ为最小值．因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥PF，所以∠BAE＝∠PFE，∠ABE＝∠FPE，因为AE＝EF，所以△AEB≌△FEP，所以BE＝PE，PF＝AB.因为DE＝3BE，所以DP＝BP，所以AP＝BP＝AB，所以△APB是等边三角形，所以∠ABP＝60°.因为AD＝6，所以AB＝＝23，所以PQ＝12AB＝3，所以FQ＝33，即AP＋PQ的最小值为33.命题点2菱形的性质及相关计算4.28【解析】∵菱形的四条边都相等，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，则△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝7，则菱形ABCD的周长为4×7＝28.5.(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，………………………………………………………………(1分)∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD，…………………………………………………………………(2分)∵ME⊥CD，∴CD＝2CE，…………………………………………………………………(3分)∵CE＝1，∴CD＝2，………………………………………………………………………(4分)∴BC＝CD＝2.…………………………………………………………………(5分)(2)证明：∵F为边BC的中点，∴BF＝CF＝12BC，∴CF＝CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，……………………………………………………………(6分)在△CEM和△CFM中，,∴△CEM≌△CFM(S)，∴ME＝MF，…………………………………………………………………(7分)如解图，延长AB交DF的延长线于点G，第5题解图∵AB∥CD，∴∠G＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝MG，…………………………………………………………………(8分)在△CDF和△BGF中，，∴△CDF≌△BGF(A)，∴GF＝DF，…………………………………………………………………(9分)∵GM＝GF＋MF，∴AM＝DF＋ME.……………………………………………………………(10分)拓展猜押2题解图【拓展猜押2】2543【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵AB＝BD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴△DBC是等边三角形．∵CE＝DF，∠C＝∠BDF，DC＝BD，∴△DEC≌△BFD(S)，∴∠EDC＝∠DBF，∴∠BGE＝∠BDG＋∠DBG＝∠BDG＋∠GDF＝60°.如解图，过点D作DM⊥BF于M，∵∠BGE＝60°，∴∠DGM＝60°，∵DG＝3，∴DM＝DG·sin60°＝332，GM＝DG·cos60°＝32.∴S△BGD＝12BG·DM＝12×2×332＝332.∵BD＝＝19，∴S△ABD＝＝1934，∴S四边形ABGD＝S△ABD＋S△BGD＝1934＋332＝2534.命题点3正方形的性质及相关计算第6题解图6.655【解析】如解图，过点O作OG⊥OF，交BF于点G，∵AC与BD是正方形ABCD的对角线，∴∠BOC＝90°，则∠BOG＝∠FOC，又∵OB＝OC，∠BGO＝90°＋∠OFG，∠OFC＝90°＋∠OFG，∴∠BGO＝∠OFC，∴△OBG≌△OCF，∴OG＝OF，BG＝CF，∵CD＝6，DE＝2CE，解得CE＝2，在Rt△BEC中，由勾股定理得，BE＝＝210，∵∠ECB＝∠CFE＝90°，∠OBG＝∠FCO，∠OBC＝∠DCO＝45°，∴∠EBC＝∠FCE，∴△CEF∽△BEC，则CEBE＝EFCE，即CE2＝EF·BE，则EF＝105，∴BF＝9105，在Rt△FEC中，利用勾股定理可得，CF＝＝22－（105）2＝3105，故GF＝BF－BG＝9105－3105＝6105，在等腰Rt△OGF中，OF＝GF·sin45°＝6105×22＝655.第7题解图7.52【解析】如解图所示，连接CG，在△CGD与△CEB中，，∴△CGD≌△CEB(S)，∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB，∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形．又∵CH⊥GE，∴CH＝EH＝GH.过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°，又∵∠EHC＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠HEM＝∠HCN.在△HEM与△HCN中，，∴△HEM≌△HCN(A)，∴HM＝HN，∴四边形MBNH为正方形．∵BH＝8，∴BN＝HN＝42，∴CN＝BC－BN＝62－42＝22.在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝＝（22）2＋（42）2＝210，∴GH＝CH＝210.∵HM∥AG，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.又∵∠HNC＝∠GHF＝90°，∴Rt△HCN∽Rt△GFH.∴CHFG＝HNGH，即＝42210，∴FG＝52.【拓展猜押3】55【解析】∵正方形ABCD的边长为22，∴AC＝BD＝4，且AC和BD相互垂直平分，∴OA＝OB＝OC＝2，∵AM⊥BE,∴∠EAM＋∠AEM＝90°，∵∠OBE＋∠AEM＝90°，∴∠OBE＝∠EAM，∵OA＝OB，∠AOB＝∠BOE＝90°，∴△AOF≌△BOE,∴OF＝OE＝12OC＝1，∴BF＝OB－OF＝1，在Rt△BOE中，BE＝＝5.∵∠OBE＝∠MBF，∠BOE＝∠BMF＝90°，∴△BMF∽△BOE，∴BFBE＝FMOE，即15＝，解得FM＝55.