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免费2017江苏省中考《第21课时：全等三角形》课件+练习中考数学考点要点试卷分类汇编解析网第四章三角形第21课时全等三角形江苏近4年中考真题精选命题点全等三角形的性质与判定(2016年11次，2015年11次，2014年8次，2013年7次)1.(2015泰州6题3分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()A.1对B.2对C.3对D.4对第1题图第2题图2.(2015盐城13题3分)如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB.在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是____________．3.(2016南京14题3分)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是________．第3题图4.(2014无锡21题6分)如图，已知：△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点．D、E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE，求证：MD＝ME.第4题图5.(2015无锡21题8分)已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE＝DE.第5题图求证：(1)∠AEC＝∠BED；(2)AC＝BD.6.(2016常州23题8分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．第6题图7.(2014苏州23题6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．第7题图8.(2014南京27题11分)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即"S"，"A"，"A"，"SSS")和直角三角形全等的判定方法(即"HL")后，我们继续对"两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为"∠B是直角、钝角、锐角"三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.(1)如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.第8题图①第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.(2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF.第8题图②第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．(3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)第8题图③(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接填写结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF.答案1.D【解析】由等腰三角形的"三线合一"可知，△ACD≌△ABD、△ACO≌△ABO、△OCD≌△OBD、△AEO≌△CEO.2.DC＝BC(答案不唯一)【解析】∵△ABC和△ADC中，AD＝AB，AC＝AC，要使△ABC≌△ADC，可以添加的条件有：DC＝BC或∠DAC＝∠BAC.3.①②③【解析】∵△ABO≌△ADO，∴AB＝AD，∠AOB＝∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴①正确；∵△ABO≌△ADO，∴BO＝OD，又∵由①知AC⊥BD，∴AC是BD的中垂线，∴CB＝CD，∴②正确；∵△ABO≌△ADO，∴AB＝AD，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴③正确；∵DA和DC不一定相等，∴④不正确．4.【思维教练】根据等腰三角形的性质可证∠DBM＝∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD＝ME，即可求得．证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠DBM＝∠ECM，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BDM和△CEM中，BD＝CE∠DBM＝∠ECMBM＝CM，∴△BDM≌△CEM(S)，∴MD＝ME.5.证明：(1)∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∠BED＝∠EDC.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠EDC.∴∠AEC＝∠BED；(2)∵E是AB的中点，∴AE＝BE.在△AEC和△BED中，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，EC＝ED，∴△AEC≌△BED(S)．∴AC＝BD.6.(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，即∠EBC＝∠DCB，又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，同理∠CDB＝90°，在△BEC和△CDB中：∠BEC＝∠CDB∠EBC＝∠DCBBC＝CB，∴△BEC≌△CDB(A)，∴∠ECB＝∠DBC，∴OB＝OC；(2)解：由题知，∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°－50°－50°＝80°，又∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝10°.又∵∠BOC为Rt△BEO的外角，∴∠BOC＝∠BEO＋∠ABD＝90°＋10°＝100°.7.(1)证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD和△FCE中，CB＝CF∠BCD＝∠FCECD＝CE，∴△BCD≌△FCE(S)；(2)解：由(1)可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC＝∠E，∵EF∥CD，∠DCE＝90°，∴∠E＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC＝90°.8.(1)解：HL；【解法提示】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为"HL."(2)证明：如解图①，分别过点C、F作对边AB、DH上的高CG、FH，其中G、H为垂足．第8题解图①∵∠ABC、∠DEF都是钝角，∴G、H分别在AB、DE的延长线上，∵CG⊥AG，FH⊥DH.∴∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF.∴∠CBG＝∠FEH.在△BCG和△EFH中，∠CGB＝∠FHE∠CBG＝∠FEHBC＝EF，∴△BCG≌△EFH(A)．∴CG＝FH.又∵AC＝DF，∠CGB＝∠FHE＝90°，∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠A＝∠D.∵∠ABC＝∠DEF，AC＝DF.∴△ABC≌△DEF(A)；(3)解：如解图②，△DEF就是所求作的三角形；第8题解图②【解法提示】以点C为圆心，AC为半径作弧，交AB于点D，故根据圆的性质可知AC＝CD，如解图满足AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，而△ABC为锐角三角形，△DEF为钝角三角形，故两个三角形不全等．(4)解：∠B≥∠A.第8题解图③【解法提示】只要保证以C为圆心，AC长为半径的圆弧与直线AB的另一个交点在三角形外部如解图③，AC＝CD则∠CAD＝∠CDA，而∠CBA＝∠BCD＋∠CDB，所以∠CBA＞∠CAB；当∠CAB＝∠ABC时，△ABC为等腰三角形，利用等边对等角可推导有一组对应角相等，从而由"A"证明△ABC≌△DEF.第四章三角形第21课时全等三角形1.(2016厦门)如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DEC全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DEC＝()A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB第1题图第2题图2.(2016黔西南州)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A.AB＝DEB.AC＝DFC.∠A＝∠DD.BF＝EC3.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去第3题图第4题图4.(2016陕西)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对5.(2016泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°第5题图第6题图6.(2015绍兴)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()A.SB.AC.AD.SSS7.(2015宜昌)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有()A.1个B.2个C.3个D.4个第7题图8.(2016六盘水)我们知道："两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等"．但是，小亮发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等，除小亮的发现之外，当这两个三角形都是__________时，它们也会全等；当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形，另一个是________时，它们一定不全等．9.(2016贺州)如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________．第9题图10.(2016济宁)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E.AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：______________，使△AEH≌△CEB.第10题图第11题图11.(2016南京一模)两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有________(将正确结论的序号填在横线上)．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC＝90°；⑤筝形ABCD的面积为12AC·BD.12.(2016昆明)如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝CE.第12题图13.(2016泉州)如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.第13题图14.(2017原创)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AC到点D，使CD＝CE.求证：(1)△ACE≌△BCD；(2)AE⊥BD.第14题图15.(2016宜昌)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC、BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D.已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．第15题图16.(2016襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．第16题图17.(2016盐城射阳校级月考)如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是BC、CA延长线上的点，且CD＝AE，DA的延长线交BE于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．第17题图18.(2016呼和浩特)已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.第18题图19.(2017原创)已知，如图△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.求证：第19题图(1)BF＝AC；(2)CE＝12BF.20.(2016常德)己知四边形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F.(1)如图①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；(2)如图②，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．图①图②第20题图答案1.D【解析】根据全等三角形的对应角相等，找准对应角便可．由于∠DEC的对应角是∠AFB，则∠DEC＝∠AFB，故选D.2.C【解析】∵AB∥ED，AC∥FD.∴会得到∠B＝∠E，∠BCA＝∠EFD，已经有两个角对应相等，因此只要添加一组对应边相等即可．若再添加一组对应角相等，则不能证明三角形全等，故选C.3.C【解析】A.带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；B.带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；C.带③去，不但保留了原三角形的两个角，还保留了其中一个边，符合A判定，故C选项正确；D.带①和②去，仅仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．4.C【解析】由题意可知：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠A＝∠C，DA＝DC，∴△ABD≌△CBD(S)；(2)∵四边形ABCD是正方形，O是BD的中点，∴∠MNO＝M′N′O，∠MON＝∠M′ON′，ON＝ON′，∴△MON≌△M′ON′(A)；(3)∵四边形ABCD是正方形，O是BD的中点，∴∠DON＝∠BON′，∠DNO＝∠BN′O，OB＝OD，∴△DON≌△BON′(A)；(4)∵四边形ABCD是正方形，O是BD的中点，∴∠DOM＝∠BOM′，∠MDO＝∠M′BO，OD＝OB，∴△DOM≌△BOM′(A)．故图中的全等三角形共有4对．5.D【解析】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，∵AM＝BK，AK＝BN，∴△AMK≌△BKN(S)，∴∠BKN＝∠AMK，∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠AMK＋∠A，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝180°－2∠A＝92°.6.D【解析】在△ADC和△ABC中，AD＝ABDC＝BCAC＝AC，∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE.7.C【解析】要使△ABP和△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P2，P4三个．8.直角三角形钝角三角形(其他符合题意的结论也可以)【解析】当两个三角形都是直角三角形，利用HL即可得证；当两个三角形中一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，则一定不全等，因为他们有一组角无法对应相等．9.120°【解析】如解图，设AC与BD交于点H，∵△ACD和△ECB都为等边三角形，∴AC＝DC，CE＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB，即∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中，AC＝DC∠ACE＝∠DCBCE＝BC，∴△ACE≌△DCB(S)，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°.第9题解图10.AH＝CB(只要符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD＝∠AHE，∴∠EAH＝∠BCE，所以根据A添加AH＝CB或EH＝EB；根据A添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.11.①③⑤【解析】在△ABC和△ADC中，AB＝ADBC＝DCAC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)．则∠BCA＝∠DCA，即AC平分∠BCD，∴③正确．在△BOC和△DOC中，BC＝DC∠BCA＝∠DCAOC＝OC，∴△BOC≌△DOC(S)．∴∠BOC＝∠DOC，又∵∠BOC＋∠DOC＝180°，∴∠BOC＝∠DOC＝90°，即AC⊥BD.∴①正确．S筝形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AO·BD＋12CO·BD＝12AC·BD.∴⑤正确．由题中已知条件无法判别②④.综上，正确的有①③⑤.12.证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ACF，在△ADE和△CFE中，∠A＝∠ACF∠AED＝∠CEFDE＝FE，∴ADE≌CFE(A)，∴AE＝CE.13.证明：∵△ABC、△CDE都是等腰三角形，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，又∵BC＝AC，EC＝DC，∴△CDA≌△CEB(S)．第13题解图14.证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°，在△BCD和△ACE中，BC＝AC∠BCD＝∠ACE＝90°CD＝CE，∴△BCD≌△ACE(S)；(2)如解图，延长AE交BD于点O，∵△BCD≌△ACE，∴∠DBC＝∠EAC，∵∠DBC＋∠D＝90°，∴∠D＋∠EAC＝90°，∴∠AOD＝90°，即AE⊥BD.第14题解图15.解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，又∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB＝OD.在△ABO与△CDO中，∠ABO＝∠CDOOB＝OD∠AOB＝∠COD，∴△ABO≌△CDO(A)．∴CD＝AB＝20(米)．16.(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)解：∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，又∵BD＝CD，∴D为BC的中点，∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AD＝23，∴AC＝ADcos30°＝4.17.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝AB，∴∠EAB＝∠ACD＝120°，在△CAD和△ABE中，CA＝AB∠ACD＝∠BAECD＝AE，∴△ABE≌△CAD(S)；(2)解：∵△ABE≌△CAD，∴∠E＝∠D，∵∠D＋∠CAD＝∠ACB＝60°，∴∠BFD＝∠E＋∠EAF＝∠D＋∠CAD＝60°.18.证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，EC＝DC∠ACE＝∠BCDAC＝BC，∴△ACE≌△BCD(S)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝90°，在Rt△EAD中，ED2＝AD2＋AE2，∴ED2＝AD2＋BD2，又∵ED2＝EC2＋CD2＝2CD2，∴2CD2＝AD2＋DB2.19.证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠A＋∠ABE＝90°，∠ABE＋∠DFB＝90°，∴∠A＝∠DFB，∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°－45°＝45°＝∠DBC；∴BD＝DC，在△BDF和△CDA中，∵∠BDF＝∠CDA∠A＝∠DFBBD＝DC，∴△BDF≌△CDA(A)，∴BF＝AC；(2)∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，在△AEB和△CEB中，∵∠AEB＝∠CEBBE＝BE∠ABE＝∠CBE，∴△AEB≌△CEB(A)，∴AE＝CE，即CE＝12AC，∵由(1)知AC＝BF，∴CE＝12BF.20.(1)证明：①∵AB⊥AD，AE⊥AC，∴∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD－∠CAD＝∠CAE－∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE(S)；②∵AH⊥CD，AE＝AC，∴AH是等腰△ACE的中垂线，∴∠ACD＝∠AED＝45°，CH＝EH，又∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝45°＋45°＝90°，∴BC∥AH，即FH是△BCE中位线，∴点F是BE的中点，即BF＝EF；(2)解：成立．证明：如解图，过点B作BG∥AE，交AH于点G，第20题解图∵AE∥BG，∴∠AGB＝∠GAE，∵∠ACH＋∠CAH＝90°，∠GAE＋∠CAH＝90°，∴∠ACH＝∠GAE，∴∠AGB＝∠ACD，∵∠BAG＋∠DAH＝90°，∠ADC＋∠DAH＝90°，∴∠BAG＝∠ADH，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△DAC(A)，∴BG＝AC，∵AC＝AE，∴BG＝AE，∵BG∥AE，∴∠AEF＝∠GBF，∠BGA＝∠EAG，∴△BFG≌△EFA(A)，∴BF＝EF.