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免费2017江苏省中考《第23课时：锐角三角函数及其应用》课件+练习中考数学考点要点试卷分类汇编解析网第四章三角形第23课时锐角三角函数及其应用江苏近4年中考真题精选命题点1锐角三角函数(2016年6次，2015年5次，2014年6次，2013年7次)1.(2016无锡7题3分)sin30°的值为()A.12B.32C.22D.332.(2015南通6题3分)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是()A.55B.5C.12D.2第2题图第3题图3.(2013宿迁4题3分)如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是()A.23B.32C.21313D.313134.(2016徐州14题3分)若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为______cm.5.(2016南通14题3分)如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cosA＝________．第5题图6.(2016连云港25题10分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝18.(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1.参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)第6题图命题点2锐角三角函数的实际应用(2016年8次，2015年7次，2014年10次，2013年7次)7.(2015苏州10题3分)如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为()A.4kmB.(2＋2)kmC.22kmD.(4－2)km第7题图8.(2015宿迁22题6分)如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°，已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80)第8题图9.(2014淮安24题8分)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)第9题图10.(2014南京23题8分)如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1m(即BD＝1m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′.求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)第10题图11.(2016淮安24题8分)小华想测量位于池塘两端的A、B两点的距离，他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°，若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．第11题图12.(2013盐城26题10分)如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF，经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且BC＝1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得AD＝1m，请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．第12题图13.(2013南京22题8分)已知不等臂跷跷板AB长4m．如图①，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β.求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH.(用含α、β的式子表示)第13题图14.(2014泰州22题10分)图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1m)．(参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)第14题图15.(2015盐城25题10分)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳(3取1.73)．(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能否晒到太阳？请说明理由．第15题图16.(2014徐州25题8分)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．(1)求点C与点A的距离．(精确到1km)(2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第16题图17.(2014宿迁23题8分)如图是某通道的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，∠AMF＝90°，∠BAM＝30°，AB＝6m，(1)求FM的长；(2)连接AF，若sin∠FAM＝13，求AM的长．第17题图答案1.A【解析】根据特殊角的三角函数值计算即可．sin30°＝12.2.C【解析】令(2，1)为点B，如解图，过点B作BC⊥x轴于点C，tanα＝BCOC＝12.第2题解图3.B【解析】由图可得tan∠AOB＝32.4.23【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝12(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴BC＝2BD＝2AB·cos30°＝23.第4题解图5.34【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，∴AB＝4，∴cosA＝ACAB＝34.6.解：(1)如解图①，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，第6题解图①∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝12AC＝2，CD＝AC×cos30°＝4×32＝23，∵在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝18，∴223＋BC＝18，∴BC＝16－23；(2)如解图②，在CB上截取CE＝CA＝4，则∠CEA＝∠CAE＝12∠ACD＝15°，第6题解图②∴tan15°＝ADDE＝24＋23＝12＋3＝2－3≈0.3.7.B【解析】如解图，过点B作BE⊥AD交AC于点E.则BE＝AB＝2，AE＝22；∠AEB＝∠EBC＋∠ECB，∵∠AEB＝45°，∠EBC＝22.5°，∴∠ECB＝22.5°，∴CE＝BE＝2，所以AC＝22＋2，所以CD＝(2＋2)km.第7题解图8.解：在Rt△ADE中，∵tan22°＝DEAD，∴AD＝DEtan22°≈120.4＝30，在Rt△BCD中，设BC＝x，则CD＝BCtan38.5°≈x0.8＝54x，∵DE∥BC，∴DEBC＝ADAC，∴12x＝3030＋54x，解得x＝24.答：楼房CB的高度约为24米．9.解：如解图，过B点作BD⊥AC于点D.第9题解图∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，∴在Rt△ADB中，AD＝BDtan66.5°，在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD＋CD＝24，∴BDtan66.5°＋BD＝24，解得BD≈17，∴AB＝BDsin66.5°≈18，答：这棵古杉树AB的长度大约为18m．10.解：设梯子的长为xm.在Rt△ABO中，cos∠ABO＝OBAB，∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos60°＝12x，在Rt△CDO中，cos∠CDO＝ODCD，∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos51°18′≈0.625x，∵BD＝OD－OB，∴0.625x－12x＝1，解得x＝8.答：梯子的长约为8m．11.解：如解图，过点A作AG⊥EF于点G，过点B作BH⊥EF于点H，第11题解图由题意可知，CD＝100米，AG＝BH＝60米，∠ACF＝45°，∠BDH＝60°.在Rt△ACG中，AG＝60，∠ACF＝45°，∴CG＝60.在Rt△BDH中，BH＝60，∠BDH＝60°，∴tan60°＝BHDH，∴3＝60DH，∴DH＝203，∴AB＝CD＋DH－CG＝100＋203－60＝40＋203.答：AB两点之间的距离为(40＋203)米．12.解：如解图，过点B作BH⊥EF于点H，第12题解图∴四边形BCFH为矩形，BC＝HF＝1.5m，∠HBA＝∠BAC＝30°，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝1.5m，∴AB＝3m，∵AD＝1m，∴BD＝2m，在Rt△EDB中，∵∠EBD＝60°，∴∠BED＝90°－60°＝30°，∴EB＝2BD＝2×2＝4m，又∵∠HBA＝∠BAC＝30°，∴∠EBH＝∠EBD－∠HBD＝30°，∴EH＝12EB＝2m，∴EF＝EH＋HF＝2＋1.5＝3.5m.答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．13.解：在Rt△AHO中，sinα＝OHOA，∴OA＝OHsinα，在Rt△BHO中，sinβ＝OHOB，∴OB＝OHsinβ，∵AB＝4，∴OA＋OB＝4，即OHsinα＋OHsinβ＝4，∴OH＝4sinαsinβsinα＋sinβm．14.解：如解图，过C点作FG⊥AB于点F，交DE于点G.第14题解图∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD＝80°，∴∠ACF＝∠FCD－∠ACD＝90°＋12°－80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC·sin∠CAF＝0.8·sin68°≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD·sin∠CDE＝1.6·sin12°≈0.336m，∴FG＝FC＋CG≈1.1m.答：跑步机手柄的一端A的高度h约为1.1m．15.解：(1)在Rt△AEB中，∠A＝90°，∠α＝60°，AE＝10，∴AB＝AE·tan60°＝10×3≈17.3.答：楼房的高约为17.3米；(2)当α＝45°时，小猫仍然能晒到太阳．第15题解图理由如下：假设没有台阶，如解图，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为F，与MC的交点为H.∵∠BFA＝∠ABF＝45°，∴BA＝AF，此时影长AF＝BA＝17.3，∴CF＝AF－AC＝17.3－17.2＝0.1＜0.2，∴CH＝CF＝0.1，则大楼影子落在台阶MC这个侧面上．∴小猫仍然能晒到太阳．16.解：(1)如解图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ABC＝75°－15°＝60°，第16题解图在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100km，∴BD＝50km，AD＝503km，∴CD＝BC－BD＝200－50＝150km，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝1003≈173km.答：点C与点A的距离约为173km；(2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(1003)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点C位于点A的南偏东75°方向．17.解：(1)如解图，分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，第17题解图在Rt△ABN中，∵AB＝6m，∠BAM＝30°，∴BN＝AB·sin∠BAN＝6×12＝3m，∵AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，AB＝CD＝EF，同理可得：DG＝FH＝3m，∴FM＝FH＋DG＋BN＝9m．(2)在Rt△FAM中，∵FM＝9m，sin∠FAM＝13，∴AF＝FMsin∠FAM＝27m，∴AM＝AF2－FM2＝182m.即AM的长为182m．第四章三角形第23课时锐角三角函数及其应用基础过关1.(2016永州)下列式子错误的是()A.cos40°＝sin50°B.tan15°·tan75°＝1C.sin225°＋cos225°＝1D.sin60°＝2sin30°2.(2016安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是()A.2B.255C.55D.12第2题图第3题图3.(2016乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是()A.sinB＝ADABB.sinB＝ACBCC.sinB＝ADACD.sinB＝CDAC4.(2016福州)如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB︵上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是()A.(sinα，sinα)B.(cosα，cosα)C.(cosα，sinα)D.(sinα，cosα)第4题图第5题图5.(2016义乌)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312B.36C.33D.326.(2016巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是()第6题图A.斜坡AB的坡度是10°B.斜坡AB的坡度是tan10°C.AC＝1.2tan10°米D.AB＝1.2cos10°米7.(2016金华)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()A.4sinθ米2B.4cosθ米2C.(4＋4tanθ)米2D.(4＋4tanθ)米2第7题图第8题图8.(2016重庆A卷)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动．如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)()A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米9.(2016泰安)如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°＝0.9272，sin46°＝0.7193，sin22°＝0.3746，sin44°＝0.6947)()A.22.48B.41.68C.43.16D.55.63第9题图第10题图10.(2016南通一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N.若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为________．11.(2016遂宁)已知：如图①，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，sin∠B＝ADc，则AD＝csin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝______，则AD＝______．所以csin∠B＝bsin∠C，即bsinB＝csinC，进一步即得正弦定理：.(此定理适合任意锐角三角形)．图①图②第11题图参照利用正弦定理解答下题：如图②，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．12.(2016包头)如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinA＝45，求AD的长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)第12题图13.(2016河南)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处．若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第13题图14.(2016天津)小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB.如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．(结果保留小数点后一位)参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2取1.414.第14题图15.(2016黄冈)"一号龙卷风"给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C，B，A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O.已知，OA⊥AD，∠ODA＝15°，∠OCA＝30°，∠OBA＝45°，CD＝20km.若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同；参考数据：2≈1.4，3≈1.7)第15题图满分冲关1.(2016淄博)如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是()A.12B.1C.3D.2第1题图第2题图2.(2016重庆B卷)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶3，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)()A.30.6B.32.1C.37.9D.39.43.小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为332米，钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3米，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，则浮漂B与河堤下端C之间的距离是________．第3题图4.(2016盐城校级一模)如图，已知斜坡AB长60m，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡的中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE(结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.732)．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，则平台DE的长最多为________m；(2)一座建筑物GH距离坡角A点27m远(即AG＝27m)，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？第4题图答案基础过关1.D【解析】A.∵cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50°，∴此选项正确；B.∵tan15°·tan75°＝1tan75°·tan75°＝1，∴此选项正确；C.∵sin2A＋cos2A＝1，∴此选项正确；D.∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴此选项不正确．故选D.2.D【解析】如解图，连接AC，由题意得，AC＝2，AB＝22，BC＝10，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠CAB＝90°，∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ACAB＝222＝12.第2题解图3.C【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析 正误A 在Rt△ABD中，sinB＝ADAB√B 在Rt△ABC中，sinB＝ACBC√C 在Rt△ABD中，sinB＝ADAB×D 在Rt△DAC中，sinB＝sin∠DAC＝CDAC√4.C【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．第4题解图5.B【解析】根据题意作图，如解图，不妨设BC＝2a，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝23a.由作图知，AB＝AE＝DE＝23a，△ADE为等腰三角形，过点E作EF⊥AD于点F，则F为AD的中点，∴AF＝a，则cos∠EAD＝AFAE＝＝36.第5题解图6.B【解析】斜坡AB的坡角是10°不是坡度，选项A错误；坡度＝坡比＝坡角的正切，选项B正确；AC＝1.2tan10°米，选项C错误．AB＝1.2sin10°米，选项D错误．综上，只有选项B是正确的．7.D【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝θ，CA＝4米，∴BC＝CA·tanθ＝4tanθ.地毯长为(4＋4tanθ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tanθ)×1＝(4＋4tanθ)米2.8.A【解析】过点B作BF⊥AE于点F，∵iAB＝BFAF＝12.4，不妨设BF＝x米，则AF＝2.4x米，根据勾股定理得，BF2＋AF2＝AB2，即x2＋(2.4x)2＝132，解得x＝5，则BF＝5，AF＝2.4x＝12，∵FE＝BD＝6，∴AE＝12＋6＝18，在Rt△AEC中，∠CAE＝36°，∵tan36°＝CEAE，∴CE＝AE·tan36°≈18×0.73＝13.14，∴CD＝CE－DE＝13.14－5≈8.1(米)．第8题解图第9题解图9.B【解析】由题意知MN＝60，∠AMP＝68°，∠BNP＝46°，∴∠PMN＝22°，∠PNC＝44°.如解图，过点P作PC⊥MN于点C，PC就是轮船与灯塔的最近距离．∵∠PMN＝22°，∠PNC＝44°，∴∠MPN＝22°，∴PN＝MN＝60.∵sin∠PNC＝PCPN，∴PC＝PN·sin∠PNC＝60×sin44°＝60×0.6947＝41.68(海里)．10.23【解析】∵∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，∴AB＝2CM＝6，∴∠B＝∠MCB，∵AN⊥CM，∴∠CAN＋∠CNA＝90°，∠MCB＋∠CNA＝90°，∴∠MCB＝∠CAN，∴∠B＝∠CAN，∴△CAN∽△CBA，∴CNCA＝ANBA＝46＝23，∴tan∠CAN＝CNAC＝23.11.解：ADb，bsinC；由正弦定理得：BCsinA＝ABsinC，∵∠B＝75°，∠C＝45°，∴∠A＝60°，∴2sin60°＝ABsin45°，∴AB＝2×22÷32＝263.12.解：(1)在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，∠A＝60°，AB＝6，又∵tanA＝BEAB，∴BE＝6·tan60°＝63.在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∴∠E＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴CE＝2CD＝8，∴BC＝BE－CE＝63－8；(2)在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，sinA＝45，∴BEAE＝45，设BE＝4x，则AE＝5x，∵AE2－BE2＝AB2，AB＝6，∴(5x)2－(4x)2＝62.∴x＝2，∴BE＝8，AE＝10.在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝4，tanE＝CDED，而在Rt△ABE中，tanE＝34，∴CDED＝34，∴ED＝43CD＝163，∴AD＝AE－ED＝143.13.【信息梳理】原题信息 整理后的信息 结论在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45° 过点C作CD⊥AB，垂足为D DB＝9米，∠BCD＝45°，CD＝DBtan45°，∠ACD＝37°，AD＝CD·tan37°，AB＝AD＋DB国旗上端悬挂在距地面2.25米处，国旗在国歌播放45秒结束后到达旗杆顶端 国旗45秒上升高度为AB－2.25 国旗应以多少米/秒的速度匀速上升 求国旗匀速上升速度 上升速度＝(AB－2.25)÷45第13题解图解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则DB＝9.在Rt△CBD中，∠BCD＝45°，∴CD＝DBtan45°＝9，在Rt△ACD中，∠ACD＝37°，∴AD＝CD·tan37°≈9×0.75＝6.75，∴AB＝AD＋DB≈6.75＋9＝15.75，∴(15.75－2.25)÷45＝0.3(米/秒)，∴国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升．14.解：如解图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，第14题解图在Rt△ACD中，tanA＝CDAD，sinA＝CDAC，∠A＝45°，∴AD＝CDtan45°＝CD，AC＝CDsin45°＝2CD，在Rt△BCD中，tanB＝CDBD，sinB＝CDCB，∠B＝37°，∴BD＝CDtan37°，CB＝CDsin37°，∵AD＋BD＝AB，AB＝63，∴CD＋CDtan37°＝63，解得CD＝63·tan37°1＋tan37°≈63×0.751＋0.75＝27.00，∴AC＝2CD≈1.414×27.00＝38.178≈38.2m，CB＝CDsin37°≈27.000.60＝45.0m，答：AC的长约等于38.2m，CB的长约等于45.0m.15.解：∵∠DOC＝∠OCA－∠ODA＝30°－15°＝15°，∴∠DOC＝∠ODA，∴CO＝CD＝20km，又∵OA⊥AD，∴OA＝12CO＝10km，CA＝OAtan∠OCA＝1033＝103km.∵△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝10km，OB＝2OA＝102km,DB＝DA－AB＝20＋103－10＝(10＋103)km.运到C码头时所花时间为2050＋2025＝1.2小时；运到B码头时所花时间为10＋10350＋10225≈1.1小时；运到A码头时所花时间为20＋10350＋1025≈1.14小时．∴这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O.满分冲关1.D【解析】如解图，将AB平移到PE位置，连接QE,PQ＝210，PE＝22，QE＝42，∵PQ2＝PE2＋QE2，∴∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB＝tan∠P＝QEPE＝2.第1题解图第2题解图2.D【解析】过点E作EF⊥AB于点F，过点B作BG⊥CD于点G，在Rt△BCG中，BC＝12，iBC＝BGCG＝1∶3，∴BG＝6，CG＝63，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝63＋20，∴AB＝AF＋BF＝20＋63＋9≈39.4(米)．3.1.5米【解析】延长OA交BC于点D，如解图，∵OA的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°.∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝332×33＝32，∴CD＝2AD＝3米．又∵∠O＝60°.∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋32＝4.5米．∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5米．第3题解图4.解：(1)11.0；【解法提示】∵修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，∴∠BEF最大为45°，当∠BEF＝45°时，EF最短，此时ED最长，∵∠BDF＝∠DAC＝30°，AD＝BD＝30，∴BF＝EF＝12BD＝15，DF＝153，∴DE＝DF－EF＝15(3－1)≈11.0(米)．(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P，第4题解图在Rt△DPA中，DP＝12AD＝12×30＝15，PA＝AD·cos30°＝32×30＝153.在矩形DPGM中，MG＝DP＝15，DM＝PG＝153＋27，在Rt△DMH中，HM＝DM·tan30°＝33×(153＋27)＝15＋93，GH＝HM＋MG＝15＋93＋15≈45.6，答：建筑物GH高约为45.6米．锐角三角函数的实际应用巩固集训1.(2014盐城)盐城电视塔是我市标志性建筑之一，如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，求电视塔的高度AB.(3取1.73.结果精确到0.1m)第1题图2.(2017原创)如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m．求窗外遮阳篷外端一点D到教室窗户上端的距离AD.(参考数据：3≈1.73，结果精确0.1m)第2题图3.(2015河南)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．(结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73)第3题图4.(2015义乌)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m)．备用数据：3≈1.7，2≈1.4.第4题图5.(2016遵义)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m(踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的"安全高度"为hm，成人的"安全高度"为2m．(计算结果精确到0.1m)(1)当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h＝________m.(2)某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°.问此人是否安全？(参考数据：2≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)第5题图6.(2016广安)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶，已知台阶总高1.5米，为了安全现要做一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D、C)，且∠DAB＝66.5°.(参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92)(1)求点D与点C的高度差DH；(2)求所有不锈钢材料的总长度(即AD＋AB＋BC的长，结果精确到0.1米)．第6题图7.(2016济宁)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶3.(1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．第7题图8.(2016南京校级二模)如图，两棵大树AB、CD，它们根部的距离AC＝4m，小强沿着正对这两棵树的方向前进．如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，小强在P处时测得B的仰角为20.3°，当小强前进5m达到Q处时，视线恰好经过两棵树的顶端B和D，此时仰角为36.42°.(1)求大树AB的高度；(2)求大树CD的高度．(参考数据：sin20.3°≈0.35，cos20.3°≈0.94，tan20.3°≈0.37；sin36.42°≈0.59，cos36.42°≈0.80，tan36.42°≈0.74)第8题图9.(2016徐州模拟)如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量，B位于A的北偏东75°方向，C位于B的正北方向，C位于A的北偏东30°方向，AB＝8km.(1)求景点B与C的距离；(2)为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．(本题结果保留根号)第9题图10.(2016江西)如图①是一副创意卡通圆规，图②是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出图．已知OA＝OB＝10cm.(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01cm)(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01cm)(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器)第10题图11.(2017原创)小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．(1)如图①，已知旗杆PQ的高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，在A处测得旗杆顶点P的仰角为45°，求A，B之间的距离；(2)如图②，在(1)的条件下，在A处测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC的长．第11题图12.(2016徐州校级二模)如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是32千米．(注：结果有根号的保留根号)(1)求A，B两观测站之间的距离；第12题图(2)小船从点P处沿射线AP的方向以3千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．13.(2016铜仁)阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβtan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－1×33＝2＋3.根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：(1)计算sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为3米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．第13题图答案1.解：设AG＝x，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝AGFG，∴FG＝＝，在Rt△ACG中，tan∠ACG＝AGCG，∴CG＝＝3x，又∵CG－FG＝CF＝DE，∴3x－＝224，解得x≈193.8.则AB＝193.8＋1.5＝195.3(米)．答：电视塔的高度AB约为195.3米．2.解：如解图，过点E作EG∥AC，交BP于点G，第2题解图∵EF∥DP，∴四边形BFEG是平行四边形，在Rt△PEG中，PE＝3.5m，∠P＝30°，tan∠EPG＝EGEP，∴EG＝EP·tan∠P＝3.5×tan30°＝3.5×33≈2.02m，又∵四边形BFEG是平行四边形，∴BF＝EG＝2.02m，∴AB＝AF－BF＝2.5－2.02＝0.48m，又∵AD∥PE，∴∠BDA＝∠P＝30°，在Rt△BAD中，tan30°＝ABAD，∴AD＝ABtan30°＝0.48×3≈0.8m.答：窗外遮阳篷外端一点D到教室窗户上端的距离AD为0.8m.3.解：如解图，过点D作DG⊥BC于点G，DH⊥CE于点H，第3题解图则四边形DHCG为矩形，故DG＝CH，CG＝DH，在Rt△AHD中，∠DAH＝30°，AD＝6，∴DH＝3，AH＝33，∴CG＝3，设BC为x，在Rt△ABC中，AC＝BCtan∠BAC≈x1.11，∴DG＝AH＋AC＝33＋x1.11，BG＝x－3，在Rt△BDG中，BG＝DG·tan30，∴x－3＝(33＋)·33，解得x≈12，∴大树的高度为12米．4.解：(1)延长PQ交直线AB于点E，则∠PEB＝90°，第4题解图∴∠BPQ＝90°－60°＝30°；(2)设PE＝xm.在Rt△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝xm；在Rt△BPE中，BEPE＝tan30°，∴BE＝33PE＝33xm，∵AB＝AE－BE＝6m，则x－33x＝6，解得x＝9＋33.则BE＝(33＋3)m.在Rt△BEQ中，QE＝BE·tan∠QBE＝33BE＝33×(33＋3)＝(3＋3)m.∴PQ＝PE－QE＝9＋33－(3＋3)＝6＋23≈9(m)．答：电线杆PQ的高度约为9m.5.解：(1)1.5；【解法提示】如解图，由题意得，OD＝OB＋BD＝3＋0.6＝3．6m，∵AF⊥OB，∠AOF＝45°，OA＝3，∴OF＝OA·cos45°＝3×22＝322m，∴h＝OD－OF＝3.6－322≈3．6－32×1.41≈1.5m.第5题解图(2)如解图，过点C作CE⊥OB于点E，在Rt△OEC中，OEOC＝cos55°，∴OE＝OC·cos55°，∴ED＝OB－OE＋BD≈3－3×0.57＋0.6≈1.9m，∵1.9<2，∴此人安全．6.解：(1)DH＝1.5×45＝1.2(米)，故点D与点C的高度差DH为1.2米．(2)过点B作BM⊥AH，垂足为M，如解图．第6题解图在矩形BMHC中，HM＝BC＝1米，∴AM＝DH＋AD－BC＝1．2米，在Rt△ABM中，cosA＝AMAB，∴AB＝AMcosA≈1.20.40＝3.00米．总长度＝AD＋AB＋BC≈1＋3.00＋1＝5.0米．答：总长度为5.0米．7.解：(1)∵新坡面AC的坡度为1∶3，∴tanα＝13＝33，∴α＝30°；答：新坡面的坡角α的度数为30°；(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．理由如下：如解图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，第7题解图∵坡面BC的坡度为1∶1，∴BD＝CD＝6米，∵新坡面AC的坡度为1∶3，∴CD∶AD＝1∶3，∴AD＝63，∴AB＝AD－BD＝(63－6)米＜PB＝8米，答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．8.解：(1)在Rt△BEG中，BG＝EG·tan∠BEG，在Rt△BFG中，BG＝FG·tan∠BFG，设FG＝x米，则(x＋5)×0.37＝0.74x，解得x＝5，BG＝FG·tan∠BFG＝0.74×5＝3.7，AB＝AG＋BG＝1.6＋3.7＝5.3米，答：大树AB的高度为5.3米；(2)在Rt△DFH中，DH＝FH·tan∠DFG＝(5＋4)×0.74＝6.66米，CD＝DH＋HC＝6.66＋1.6＝8.26米，答：大树CD的高度为8.26米．9.解：(1)如解图，过点B作BD⊥AC于点D，第9题解图在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝75°－30°＝45°，∴sin45°＝BD8＝22，∴BD＝42，在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，∴sin30°＝42BC＝12.∴BC＝82km，∴景点B与C的距离为82km；(2)如解图，过点C作CE⊥AB于点E，在(1)中可求出AD＝42，CD＝46，则AC＝42＋46，在Rt△CAE中，sin∠CAE＝CEAC＝22，∴CE＝(4＋43)km.∴这条公路的长为(4＋43)km.10.解：(1)如解图，过点O作OC⊥AB于点C.第10题解图则AB＝2BC，∠BOC＝12∠AOB＝9°，∴在Rt△OBC中，BC＝OB·sin9°≈10×0.1564＝1.564，∴AB＝2BC＝2×1.564＝3.128≈3.13.答：所作圆的半径为3.13cm；(2)∵∠OBA＝12(180°－∠AOB)＝81°，∴∠OBA<90°，故可在BO上找到一点D，使得AD＝AB，此时所作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等．如解图，过A作AH⊥OB于点H，则BD＝2BH.在Rt△AOH中，OH＝AO·cos18°＝10×0.9511＝9.511，∴BH＝10－9.511＝0.489，∴BD＝2×0.489＝0.978≈0.98.答：铅笔芯折断部分的长度为0.98cm.11.解：(1)在Rt△BPQ中，PQ＝10米，∠B＝30°，则BQ＝PQtan30°＝103，又在Rt△APQ中，∠PAB＝∠APQ＝45°，第11题解图则AQ＝PQ＝10，即AB＝(103＋10)米，∴A，B之间的距离为(103＋10)米；(2)过A作AE⊥BC于点E，如解图，在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝103＋10，∴AE＝sin30°×AB＝12(103＋10)＝(53＋5)米，∵∠CAD＝75°，∠B＝30°，∴∠C＝45°，在Rt△CAE中，sin45°＝AEAC，∴AC＝AEsin45°＝53＋522＝(56＋52)米．∴绳子AC的长为(56＋52)米．12.解：(1)如解图，过点P作PD⊥AB于点D，第12题解图在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝PBsin∠PBD＝3千米，在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝3PD＝33千米，PA＝6千米，∴AB＝BD＋AD＝(3＋33)千米，∴A，B两观测站之间的距离为(3＋33)千米；(2)如解图，过点B作BF⊥AC于点F，根据题意得：∠ABC＝105°，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝12AB＝3＋332(千米)，AF＝32AB＝9＋332千米，在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°，在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴CF＝BF＝3＋332千米，∴PC＝AF＋CF－AP＝33千米．33÷3＝3小时故小船沿途考察的时间为3小时．13.解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.(2)解：在Rt△BDE中，∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，tan∠BDE＝BEDE，即：tan75°＝BE7＝2＋3，∴BE＝14＋73，又∵AE＝DC＝3，∴AB＝BE＋AE＝14＋73＋3＝14＋83米，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．