资源资源简介：

四边形的证明与计算巩固集训1.(2016永州)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.(1)求证：BE＝CD；(2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．第1题图2．(2017原创)如图①，?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，连接AF，CE，分别交BE、FD于点G、H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图②)中补全他的证明思路，并说明理由．第2题图3.(2016南京校级一模)如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝8，AB＝CB＝6，点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点．(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若DA⊥AB，求四边形EFGH的面积．第3题图4.(2016南京校级二模)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E.(1)求证：△BDC≌△BEC；(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求OE的长．第4题图5.(2017原创)如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长交AB的延长线于点F.连接CF、BD、BE.(1)求证：∠AFD＝∠EBC；(2)若E为△BCD的重心，求∠ACF的度数．第5题图6.(2016南通一模)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，连接CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求AE，BF之间的距离．第6题图7.(2016滨州)如图，BD是∠ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝210，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．第7题图8.(2016济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)已知EO＝2，求正方形ABCD的边长；(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．第8题图答案1.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD；(2)解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4，∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，∴BF＝AB2－AF2＝42－22＝23，∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，在△ADF和△ECF中，∠D＝∠ECF∠DAF＝∠EAF＝EF，∴△ADF≌△ECF(A)，∴S△ADF＝S△ECF，∴S?ABCD＝S△ABE＝12AE·BF＝12×4×23＝43.2.(1)证明：在?ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝12∠ABC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADF＝∠CDF.∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.∴∠AEB＝∠ADF，∴EB∥DF.∵ED∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形；(2)解：补全思路：GF∥EH，AE∥CF.理由如下：∵四边形EBFD是平行四边形，∴BE∥DF，DE＝BF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴GF∥EH，又∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．3.(1)证明：连接AC、BD，交于点O，如解图，第3题解图∵点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点，∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF＝GH＝12BD，EH＝FG＝12AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD＝CD，AB＝CB，∴点D、B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC，∴DB⊥AC，OA＝OC，∵EF∥DB，∴EF⊥AC，∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形；(2)解：∵DA⊥AB，AD＝8，AB＝6，∴DB＝10，∴EF＝12BD＝5.∵S△BAD＝12BA·AD＝12BD·AO，∴AO＝AB·ADBD＝4810＝245，∴AC＝2AO＝485，∴FG＝12AC＝245，∴S矩形EFGH＝FG·EF＝245×5＝24.4.(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠BCD＝∠BCE＝90°，∵AC∥BE，∴四边形ABEC为平行四边形，∴AB＝CE，∴DC＝EC，在△BCD和△BCE中，BC＝BC∠BCD＝∠BCEDC＝EC，∴△BCD≌△BCE(S)；(2)解：如解图，过点O作OF⊥CD于点F，第4题解图由(1)知：四边形ABEC为平行四边形，∴AC＝BE＝BD＝10，∵△BCD≌△BCE，∴CD＝CE＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OB，∠BCD＝90°，∵OF⊥CD，∴OF∥BC，∴CF＝DF＝12CD＝3，∴EF＝EC＋CF＝6＋3＝9，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC＝BE2－CE2＝8，∵OB＝OD，∴OF为△BCD的中位线，∴OF＝12BC＝4.在Rt△OEF中，由勾股定理可得OE＝OF2＋EF2＝42＋92＝97.5.(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE，在△DCE和△BCE中，DC＝BC∠DCE＝∠BCECE＝CE，∴△DCE≌△BCE(S)，∴∠EBC＝∠EDC，又∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠EDC，∴∠AFD＝∠EBC；(2)解：如解图，设DF交BC于点P，AC交BD于点O，第5题解图∵E为△BCD的重心，∴P为BC的中点，∴BP＝CP，在△CPD和△BPF中，∠CDP＝∠BFP∠CPD＝∠BPFPC＝PB，∴△CDP≌△BFP(A)，∴DP＝FP，∴四边形BFCD是平行四边形，∴FC∥BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴∠ACF＝∠AOB＝90°.6.(1)证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠CBD，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：过点A作AM⊥BC于点M，则AM的长就是AE，BF之间的距离，设AC交BD于点O，第6题解图∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝12AC＝12×6＝3，∵AB＝5，∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝4，∴BD＝2BO＝8，∴菱形ABCD的面积为12·AC·BD＝12×6×8＝24，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，∴5×AM＝24，∴AM＝245，即AE，BF之间的距离是245.7.解：(1)四边形EBGD是菱形．理由如下：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，∠EDF＝∠GBFDF＝BF∠EFD＝∠GFB，∴△EFD≌△GFB(A)，∴ED＝GB，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形；(2)如解图，作EM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，连接EC交BD于点H，连接GH，此时HG＋HC的值最小，在Rt△EBM中，∠EBM＝30°，EB＝ED＝210，第7题解图∴EM＝12BE＝10，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，∴四边形EMND为平行四边形，EM＝DN＝10，MN＝DE＝210，在Rt△DNC中，∠DCN＝45°，∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝10，∴MC＝310，在Rt△EMC中，EC＝EM2＋MC2＝（10）2＋（310）2＝10.又∵BD垂直平分EG，∴EH＝HG.∴HG＋HC＝EH＋HC＝EC＝10，∴HG＋HC的最小值为10.8.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴CA＝2BC，∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分线，∴E是AF的中点，∵E、O分别是AF、AC的中点，∴EO∥BC，且EO＝12CF，∴△EOM∽△CBM，∴EOCB＝EMCM，∵CF＝CA＝2CB，∴EOCB＝12×2CBCB＝22，∵EO＝2，∴BC＝2，∴正方形ABCD的边长为2；(2)EM＝12CN.证明：∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEN＝∠CBN＝90°，∵∠ANE＝∠CNB，∴∠BAF＝∠BCN，在△ABF和△CBN中，∠BAF＝∠BCNAB＝CB∠ABF＝∠CBN，∴△ABF≌△CBN(A)，∴AF＝CN，∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，∴∠BAF＝∠OCM，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COM＝∠ABF＝90°，∴△COM∽△ABF，∴CMAF＝OCBA，∴CMCN＝OCAB＝22，即CM＝22CN.由(1)知，EOCB＝EMCM＝22，∴EM＝22CM＝22×22CN＝12CN.第五章四边形第24课时平行四边形与多边形基础过关1.(2016天门)在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是()A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边相等，一组对角相等C.一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D.一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线2.(2016曲靖)如图，AD、BE、CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有()第2题图A.2个B.4个C.6个D.8个3.(2016北京)内角和为540°的多边形是()4.(2016宜昌)设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是()A.a＞bB.a＝bC.a＜bD.b＝a＋180°5.(2016义乌)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是()第5题图A.①，②B.①，④C.③，④D.②，③6.(2016丽水)如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6.则△OBC的周长为()A．13B．17C．20D．26第6题图第7题图7.(2016河北)如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A.66°B.104°C.114°D.124°8.(2016河南)如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．第8题图第9题图9.(2016南昌)如图所示，在?ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为________．10.(2016衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)．若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝________．11.(2016武汉)如图，在?ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．第11题图第12题图12.(2016东营)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．13.(2016陕西)如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE.求证：AF∥CE.第13题图14.(2016长春)如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G.(1)求证：BD∥EF；(2)若DGGC＝23，BE＝4，求EC的长．第14题图满分冲关1.(2016十堰)如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是()第1题图A.140米B.150米C.160米D.240米2.(2016广安)若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是()A.7B.10C.35D.703.(2016宁波)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间相互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为()第3题图A.4S1B.4S2C.4S2＋S3D.3S1＋4S34.(2016南充)如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD、BE、CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N.给出下列结论：①∠AME＝108°；②AN2＝AM·AD；③MN＝3－5；④S△EBC＝25－1.其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个第4题图第5题图5.(2015河北)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝________°.6.(2016新疆)如图，在?ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是________．第6题图第7题图7.(2016泉州)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC＝5，EF＝3.(1)若AB＝DC，则四边形ABCD的面积S＝______；(2)若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′________S(用"＞"或"＝"或"＜"填空)．8.(2016梅州)如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.(1)求证：BO＝DO;(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．第8题图答案基础过关1.C【解析】一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，故A错误；一组对边相等，一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，故B错误；一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线能判断四边形是平行四边形，故C正确；一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线不能判断四边形是平行四边形，故D错误．2.C【解析】设对角线交点为O，如解图，根据"正多边形"定义容易得出△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA均为等边三角形，因此，图中平行四边形共有6个，分别是?ABCO、?BCDO、?CDEO、?DEFO、?EFAO、?FABO，故选C.第2题解图3.C【解析】设一个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式得：180(n－2)＝540，解得n＝5.4.B【解析】∵四边形的内角和为360°，五边形的外角和为360°，∴a＝b.5.D【解析】本题在解答时，可对选项逐一排除得到结果．确定方法即为将四个选项表示的玻璃碎片拼在一起，延长各边，判断构成的四边形是否为唯一的平行四边形，如果选项中的两碎片玻璃拼在一起能构成唯一的一个平行四边形，即为答案，根据实际操作可知选D.6.B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，AD＝BC.∵AD＝8，BD＝12，AC＝6，∴BC＝8，BO＝12BD＝6，OC＝12AC＝3，∴△BOC的周长为8＋6＋3＝17.7.C【解析】设DC、AB′交于点E，如解图，∠ACD＝x，∠B＝y，由∠DCB＋∠B＝180°可知，x＋y＋44°＝180°，∵∠B′CA＝∠2＝44°，∴∠B′CD＝44°－x，又∵∠B′＝∠B，在△B′EC中，180°－∠B′－∠B′CD＝∠B′EC，则可列方程组，解得y＝114°.第7题解图8.110°【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE⊥AB交对角线AC于点E，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠CAB＋∠ABE＝20°＋90°＝110°.9.50°【解析】在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠FBA＝∠C＝40°，∵FD⊥AD，∴∠ADF＝90°，∵AD∥BC，∴∠F＝∠ADF＝90°，∴∠BEF＝180°－90°－40°＝50°.10.4或－2【解析】根据题意画草图如解图，因为平行四边形中有3个点已经确定，且C点纵坐标确定，因此分两类情况讨论：①以AB为对角线时，如解图，则OA＝BC1＝3，又∵B(1，1)，∴C1(4，1)，即x＝4；②以OB为对角线时，如解图，则OA＝BC2＝3，又∵B(1，1)，∴C2(－2，1)，即x＝－2，综上所述，x＝4或－2.第10题解图11.36°【解析】由平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，得∠D＝∠B＝52°，由三角形的外角性质，得∠AEF＝∠DAE＋∠D＝20°＋52°＝72°，由三角形内角和定理，得∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝108°，再由折叠的性质得，∠AED′＝∠AED＝108°，∴∠FED′＝∠AED′－∠AEF＝108°－72°＝36°.12.4【解析】∵四边形AECD是平行四边形，∴CO＝AO，DO＝OE，当DO⊥BC时，DO最小，即DE最小．当DO⊥BC时，易知△CDO∽△CBA，∴DOAB＝COAC＝12，∴DO＝12AB＝2，∴DE＝4.13.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠1＝∠2.又∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD.∴DF＝BE.∴△ADF≌△CBE(S)．∴∠AFD＝∠CEB.∴AF∥CE.14.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，∴DF∥BE，又∵DF＝BE，∴四边形DFEB为平行四边形，∴BD∥EF；(2)解：如解图，∵DF∥BC，第14题解图∴∠F＝∠1，又∵∠2＝∠3，∴△DFG∽△CEG，∴DFEC＝DGGC＝23，又∵BE＝DF＝4，∴4EC＝23，∴EC＝6.满分冲关1.B【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴小明一共走了：15×10＝150米．2.C【解析】根据n边形内角和公式：(n－2)×180，得方程(n－2)×180＝144n，解得n＝10；根据n边形的对角线公式：，可得这个正n边形的所有对角线的条数为（10－3）×102＝35.3.A【解析】如解图，设等腰直角△ABC的腰长为a，正方形AFGH的边长为b，则HE＝a－b，BH＝a＋b，由面积公式得S1＝12a2，S2＝12(a＋b)(a－b)＝12a2－12b2，S3＝b2，于是平行四边形的面积＝2S1＋2S2＋S3＝a2＋a2－b2＋b2＝2a2＝4S1.第3题解图4.C【解析】在正五边形ABCDE中，∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝∠ABC＝∠BAE＝（5－2）×180°5＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝180°－∠BAE2＝180°－108°2＝36°，同理，∠MAE＝36°，在△MEA中，∠AME＝180°－∠MAE－∠AEB＝180°－36°－36°＝108°，∴①正确；在△AME和△ADE中，∠MEA＝∠EAD∠AME＝∠AED，∴△AME∽△AED，∴AMAE＝AEAD，即AE2＝AM·AD，∵∠AEM＝∠DEN＝36°，∠AED＝108°，∴∠AEN＝72°，∠ANE＝180°－∠AEN－∠MAE＝72°，∴∠AEN＝∠ANE，∴AN＝AE，∴AN2＝AM·AD，∴②正确；设MN＝x，则AM＝2－x，AD＝4－x，∵AN2＝AM·AD，∴22＝(2－x)(4－x)，∴x1＝3－5，x2＝3＋5(不合题意，舍去)，第4题解图∴③正确；如解图，过点E作EQ⊥BC于点Q，∵AD＝4－x＝4－(3－5)＝1＋5，∴EC＝AD＝5＋1，∵EB＝EC，EQ⊥BC于点Q，∴CQ＝12BC＝12×2＝1，根据勾股定理得EQ＝EC2－CQ2＝（5＋1）2－12＝5＋25，S△EBC＝12BC·EQ＝12×2×5＋25＝5＋25，∴④错误；因此正确的结论个数为3个．5.24【解析】∵正六边形的每个内角为120°，正五边形的每个内角为108°，正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，∴∠1＝120°－108°＝12°，∠2＝108°－90°＝18°，∠3＝90°－60°＝30°，∴∠3＋∠1－∠2＝30°＋12°－18°＝24°.6.24【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAB＋∠CBA＝180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB＋∠PBA＝12(∠DAB＋∠CBA)＝90°，在△APB中，∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠DPA，∴∠DAP＝∠DPA，∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝5，同理：PC＝CB＝5，即AB＝DC＝DP＋PC＝10，在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，∴BP＝AB2－AP2＝102－82＝6，∴△APB的周长＝6＋8＋10＝24.7.(1)15；【解法提示】∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴S＝BC·EF＝15.(2)＝.【解法提示】如解图，连接BE并延长交CD的延长线于点G，过点G作GH⊥BC交BC的延长线于点H，第7题解图∵AB∥CG，∴∠1＝∠2，又∵∠3＝∠4，AE＝DE，∴△ABE≌△DGE(A)，∴S△ABE＝S△DGE，BE＝EG，∵EF⊥BC，GH⊥BC，∴EF∥GH，∴GH＝2EF＝6，∴S△BCG＝12BC·GH＝12×5×6＝15，∴四边形ABCD的面积S′＝15，∴S′＝S.8.(1)证明：如解图，连接DE与BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥BE，又∵BE＝DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴BO＝DO.;第8题解图(2)解：已知EF⊥AB于点E，且EF交AD的延长线于点G，FG＝1，又∵∠A＝45°，∴AE＝GE，∵AD⊥BD，∴∠ABD＝45°，∠ODG＝90°，则∠FDO＝∠ABD＝45°，而DF⊥GO，易得△DFG≌△DFO，∴FO＝GF＝1，∴OE＝OF＝1，∴GE＝GF＋OF＋OE＝3，∴AE＝GE＝3.