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免费2017江苏省中考《第25课时：矩形、菱形、正方形》课件+练习中考数学考点要点试卷分类汇编解析网第五章四边形第25课时矩形、菱形、正方形江苏近4年中考真题精选命题点1矩形的性质与判定(2016年9次，2015年12次，2014年8次，2013年6次),1.(2014南京6题3分)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(－2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是()A.(32，3)，(－23，4)B.(32，3)，(－12，4)C.(74，72)，(－23，4)D.(74，72)，(－12，4)第1题图第2题图2.(2016扬州8题3分)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A.6B.3C.2.5D.23.(2015无锡14题3分)如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于________cm.第3题图第4题图4.(2015泰州16题3分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为________．5.(2014苏州17题3分)如图，在矩形ABCD中，ABBC＝35，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·ED＝43，则矩形ABCD的面积为________．第5题图6.(2015淮安21题8分)已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AE＝DF.求证：BF＝CE.第6题图7.(2016南通25题8分)如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F.(1)求证：△BEF≌△CDF；(2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．第7题图8.(2016扬州23题10分)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．第8题图命题点2菱形的性质与判定(2016年8次，2015年7次，2014年9次，2013年9次)9.(2014徐州7题3分)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是()A.矩形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形10.(2015徐州7题3分)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于()A.3.5B.4C.7D.14第10题图第11题图11.(2013扬州7题3分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于()A.50°B.60°C.70°D.80°12.(2013淮安17题3分)若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是________．13.(2014宿迁13题3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．第13题图第14题图14.(2016南京16题3分)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________cm.15.(2015南京24(2)题4分)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.第15题图小明在证明四边形EGFH是矩形后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证?MNQP是菱形，只要证NM＝NQ.由已知条件________，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证______，______，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，______，即可得证．16.(2014淮安21题8分)如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形．第16题图17.(2014镇江20题6分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．第17题图18.(2015徐州23题8分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝________时，四边形BFCE是菱形．第18题图19.(2014连云港21题10分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED为菱形；(2)连接AE、BE.AE与BE相等吗？请说明理由．第19题图20.(2014盐城25题10分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO＝12，求EM∶MF的值．第20题图命题点3正方形的性质与判定(2016年9次，2015年5次，2014年10次，2013年5次)21.(2015连云港5题3分)已知四边形ABCD，下列说法正确的是()A.当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B.当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C.当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D.当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形第22题图第23题图22.(2013连云港8题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A.1B.2C.4－22D.32－423.(2014泰州16题3分)如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点．∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ＝AE，则AP等于________cm.24.(2013南京19题8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．第24题图25.(2015泰州25题12分)如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．第25题图答案1.B【解析】如解图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，并延长交FB的延长线于点M，根据题意可得△AOD≌△BCM,OD＝MC＝2，BM＝AD＝1，点C的纵坐标是4，可得点B的纵坐标为3，再由△AOD∽△OBF得，ADOD＝OFBF，代入数据即可求得OF＝32，CE＝CM－OF＝2－32＝12，故点B的坐标为(32，3)，点C的坐标为(－12，4)．第1题解图第2题解图2.C【解析】所有剪法中剩余部分面积的值最小时，如解图，S△ABG＝12AB·BG＝12×4×4＝8，∵AD＝6，∴AE＝ED＝32，∴EF＝DF＝3，∴S△AED＝12AE·ED＝12×32×32＝9，S△EDF＝12EF·DF＝12×3×3＝4.5，∴S剩余部分＝S矩形ABCD－S△ABG－S△AED－S△EDF＝4×6－8－9－4.5＝2.5.3.16【解析】如解图，连接AC，BD，∵在△ABC中，E、F分别为AB、BC的中点，∴EF＝12AC＝4，同理可得，HG＝12AC＝4，EH＝FG＝12BD＝4，∴四边形EFGH的周长等于16cm.第3题解图4.245【解析】如解图，根据题意得，AP＝EP，∵OD＝OE，∠E＝∠D，∠DOP＝∠EOF，∴△ODP≌△OEF(A)，则OP＝OF，DP＝EF，设OE＝a，OP＝b，∴BF＝8－(6－a－b)＝2＋a＋b，FC＝8－(a＋b)，在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2＝CF2＋BC2，即(2＋a＋b)2＝[8－(a＋b)]2＋62，解得a＋b＝245，∴AP的长为245.第4题解图5.5【解析】如解图，连接BE，则BE＝BC.设AB＝3x，BC＝5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝5x，∠A＝90°，由勾股定理得AE＝4x，则DE＝5x－4x＝x，∵AE·ED＝43，∴4x·x＝43，解得x1＝33，x2＝－33(舍去)，则AB＝3x＝3，BC＝5x＝533，∴矩形ABCD的面积是3×533＝5.第5题解图6.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD,∠A＝∠D＝90°，∵AE＝DF，∴AF＝DE，(5分)∴△ABF≌△DCE(S)，∴BF＝CE.7.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴ABCD∵BE＝AB，BE在AB的延长线上，∴BECD.∴∠BEF＝∠FDC，∠FBE＝∠FCD，∴△BEF≌△CDF(A)．(2)由(1)证得，∴四边形BECD为平行四边形，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FCD＝∠A，∵∠BFD＝∠FCD＋∠FDC，∠BFD＝2∠A，∴∠FDC＝∠A，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC.由(1)知，△BEF≌△CDF，∴BC＝DE.∴四边形BECD是矩形．8.(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA，由折叠的性质知，∠EAC＝12∠BAC,∠FCA＝12∠DCA，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，又∵AD∥BC，∴四边形AECF为平行四边形；(2)解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得，BC＝102－62＝8，由折叠的性质知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，在Rt△CEM中，CM＝AC－AM＝10－6＝4，设CE＝x，则BE＝EM＝8－x，由勾股定理得，ME2＋CM2＝EC2，即(8－x)2＋16＝x2，解得x＝5，∵由(1)得，四边形AECF为平行四边形，∴S四边形AECF＝EC·CD＝5×6＝30.9.C【解析】如解图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C.第9题解图10.A【解析】由于菱形的周长是28，而它的四条边都相等，∴每条边都是7，而菱形的对角线互相垂直，E为AD的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边上的一半可得OE＝12×7＝3.5.11.B【解析】如解图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝12∠BAD＝12×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF，BC＝CD，∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝100°－40°＝60°，∵在△BCF和△DCF中，BC＝DC∠BCF＝∠DCFCF＝CF，∴△BCF≌△DCF(S)，∴∠CDF＝∠CBF＝60°.第11题解图12.3【解析】由题意知S菱形＝12×2×3＝3.13.(5，4)【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝AD2－AO2＝4，∴点C的坐标是(5，4)．14.13【解析】如解图，连接AC，BD交于点O，∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形的对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴OA·OB＝60，∵正方形AECF的面积等于边长的平方，∴AE2＝50,又∵OA2＋OE2＝AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝OA2＋OB2＝52＋122＝13cm.第14题解图15.解：本题答案不唯一，下列答案仅供参考：FG平分∠CFE;GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16.证明：设EF与AD交于点O，如解图．第16题解图∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO，由折叠性质可知AO＝DO，EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°，在△AEO和△AFO中，∠EAO＝∠FAOAO＝AO∠AOE＝∠AOF，∴△AEO≌△AFO(A)，∴EO＝FO，即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．17.(1)证明：在△ABC与△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠1＝∠2；(2)解：如解图，连接BE、DE，四边形BCDE为菱形，理由如下：第17题解图∵BC＝DC，∠1＝∠2，OC＝OC，∴△COD≌△COB(S)，∴OD＝OB，OC⊥BD，又∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．18.(1)证明：∵AB＝DC，∴AC＝DB，在△AEC和△DFB中，AC＝DB∠A＝∠DAE＝DF，∴△AEC≌△DFB(S)，∴BF＝CE，∠ACE＝∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；(2)解：4.【解法提示】当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，∵AD＝10，DC＝3，AB＝CD＝3，∴BC＝10－3－3＝4，∵∠EBD＝60°，∴△EBC为等边三角形，BE＝BC＝4，∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形．19.(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵在矩形ABCD中，AC＝BD，且AC、BD互相平分，∴OC＝12AC＝12BD＝OD，∴平行四边形OCED是菱形；(2)解：相等．理由如下：在菱形OCED中，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，又∵在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠EDC＝∠BCD＋∠ECD，∴∠ADE＝∠BCE，在△ADE和△BCE中，AD＝BC∠ADE＝∠BCEDE＝CE，∴△ADE≌△BCE(S)，∴AE＝BE.20.(1)证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO中，∠AEO＝∠CFO∠AOE＝∠COFOA＝OC，∴△AEO≌△CFO(A)，∴OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)解：设OM＝x，∵EF⊥AB，tan∠MBO＝12，∴BM＝2x，又∵AC⊥BD，∴△AOM∽△OBM，∴AMOM＝OMBM，∴AM＝OM2BM＝12x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM∶MF＝AM∶BM＝12x∶2x＝1∶4.21.B【解析】本题考查平行四边形、矩形、正方形的判定，逐项分析如下：选项逐项分析正误A一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形×B两组对边分别相等的四边形是平行四边形√C只有两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形×D只有两条对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形×22.C【解析】在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD－DE＝42－4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝22BE＝22×(42－4)＝4－22.23.1或2【解析】根据题意画出图形，过点P作PN⊥BC交BC于点N，如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝DEAD，∴DE＝3cm，根据勾股定理得AE＝32＋（3）2＝23cm，∵M为AE的中点，∴AM＝12AE＝3cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，AD＝PNAE＝PQ，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PFA＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝AMAP，∴AP＝AMcos30°＝332＝2cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1cm.综上，AP等于1cm或2cm.第23题解图24.证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(S)．∴∠ADB＝∠CDB；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．由(1)知，∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形．25.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∵AE＝DH＝CG，∴AH＝DG，∵∠A＝∠D，∴△AHE≌△DGH(S)，∴EH＝HG，∠AHE＝∠DGH，∵∠DGH＋∠DHG＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，同理，EH＝EF＝FG，则EH＝GH＝GF＝FE，∴四边形EFGH是正方形；(2)解：是，直线EG经过正方形ABCD的中心．理由如下：如解图，连接BD，EG，DE，BG，第25题解图∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BGDE是平行四边形，∴OB＝OD，OE＝OG，∴点O为正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)解：设正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2，而正方形EFGH的面积＝EH2，∴y＝x2＋(8－x)2＝2(x－4)2＋32，∴当x＝4时，y有最小值为32.即四边形EFGH面积的最小值是32cm2.第五章四边形第25课时矩形、菱形、正方形基础过关1.(2016遵义)如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是()第1题图A.AB＝ADB.AC⊥BDC.AC＝BDD.∠BAC＝∠DAC2.(2016河北)关于?ABCD的叙述，正确的是()A.若AB⊥BC，则?ABCD是菱形B.若AC⊥BD，则?ABCD是正方形C.若AC＝BD，则?ABCD是矩形D.若AB＝AD，则?ABCD是正方形3.(2016黔东南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为()A.2B.3C.3D.23第3题图第4题图4.(2016荆门)如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是()A.△AFD≌△DCEB.AF＝12ADC.AB＝AFD.BE＝AD－DF5.(2016广东)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A.2B.22C.2＋1D.22＋1第5题图第6题图6.(2016郴州)如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()A.7B.8C.72D.737.(2016宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A.4.8B.5C.6D.7.2第7题图第8题图8.(2016青海)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝________．9.(2016成都)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．第9题图第10题图10.(2016包头)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E.若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝________度．11.(2016漳州)如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．第11题图第12题图12.(2016张家界)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上E处，EQ与BC相交于F，若AD＝8cm，AB＝6cm，AE＝4cm，则△EBF的周长是________cm.13.(2016黄冈)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP＝________．第13题图第14题图14.(2016哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E、F分别在边AB、BC上．△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上.若EG⊥AC，AB＝6，则FG的长为________．15.(2016襄阳)如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．第15题图第16题图16.(2016赤峰)如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.17.(2016云南)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．第17题图18.(2016青岛)已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．第18题图19.(2016杭州)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求线段AH的长．第19题图满分冲关1.(2016呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF＝62，则小正方形的周长为()A.568B.566C.562D.1063第1题图第2题图2.(2016咸宁)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝45，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)．当CP＋DP最短时，点P的坐标为()A.(0，0)B.(1，12)C.(65，35)D.(107，57)3.(2016泸州)如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为()A.225B.9220C.324D.425第3题图第4题图4.(2016雅安)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，点P、Q分别在BD、AD上，则AP＋PQ的最小值为()A.22B.2C.23D.335.(2016淄博)如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为()A.835B.22C.145D.10－52第5题图第6题图6.(2016丽水)如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E、F，延长BD至G，使得DG＝BD，连接EG、FG.若AE＝DE，则EGAB＝________．7.(2016温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为"东方魔板"．小明利用七巧板(如图①所示)中各块板的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图②所示)，则该凸六边形的周长是________cm.第7题图8.(2016玉林)如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF＝45°，AE＝AF，则有下列结论：①∠1＝∠2＝22.5°；②点C到EF的距离是2－1；③△ECF的周长为2;④BE＋DF＞EF.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．第8题图第9题图9.(2016安徽)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝32S△FGH；④AG＋DF＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)10.(2016德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD.点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)第10题图答案基础过关1.C【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由∠BAC＝∠DAC可得AB＝AD，即邻边相等，所以D正确．2.C【解析】选项逐项分析正误A有一个角是直角的平行四边形是矩形×B对角线互相垂直的平行四边形是菱形×C对角线相等的平行四边形是矩形√D有一组邻边相等的平行四边形是菱形×3.D【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝12AC＝1，∴BO＝AB2－AO2＝3，∴BD＝2OB＝23.4.B【解析】选项逐项分析正误A∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°＝∠AFD，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CED，∵AD＝DE，∴△AFD≌△DCE(A)√B只有当∠ADF＝30°时，才有AF＝12AD成立×C由△AFD≌△DCE可知AF＝DC，∵矩形ABCD中，AB＝DC，∴AB＝AF√D∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，又∵△AFD≌△DCE，∴DF＝CE，∴BE＝BC－CE＝AD－DF√5.B【解析】∵正方形ABCD的面积为1，∴BC＝CD＝1，∵E、F是边BC，DC的中点，∴CE＝CF＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH的周长为4×22＝22.6.C【解析】设AE的延长线交DF于点H，CF的延长线交BE于点G，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵AB＝CD，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，∴∠ABE＝∠CDF，∵AB∥CD，∴BE∥DF，∵∠BEA＝∠DFC＝90°，∴∠AHF＝∠CGE＝90°，∴四边形FGEH是矩形，∴∠BCG＋∠DCF＝∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠BCG＝∠CDF，又∵BC＝CD，∴△CBG≌△DCF，∴CG＝DF＝12，CF＝BG＝5，∴EG＝FG＝CG－CF＝7，∴矩形EGFH为正方形，∴EF＝72.第6题解图第7题解图7.A【解析】如解图，过点P作PE⊥AC交AC于点E,PF⊥BD交BD于点F，连接PO，∵AB＝6BC＝8，∴AC＝AB2＋BC2＝62＋82＝10，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OD＝12×AC＝12×10＝5，又∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP,∴12×12×6×8＝12·AO·PE＋12·DO·PF，∴12＝12×5×PE＋12×5×PF，∴PE＋PF＝4.8.8.4.8【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝12AC＝4，BO＝12BD＝3，∴AB＝42＋32＝5，∵S菱形ABCD＝12AC·BD＝AB·DH，∴12×8×6＝5DH，∴DH＝4.8.9.33【解析】∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝2AO＝6，在Rt△BAD中，AD＝BD2－AB2＝62－32＝33.10.22.5【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝12AC，OB＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAC＝2∠CAD＝2∠ODA，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAC＋∠CAD＋∠ODA＝90°，∴4∠ODA＝90°，∴∠ODA＝22.5°，∴∠BAE＝90°－∠EAD＝90°－3∠ODA＝22.5°.11.(3＋2，1)【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于点G，DF⊥x轴于点F，∵菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DF＝CG＝12BC＝1，CF＝DG＝3，∴OF＝3＋2，∴D点坐标为(3＋2，1)．第11题解图12.8【解析】∵∠HEQ＝∠A＝∠B＝90°，易知△AHE∽△BEF，∴AHAE＝BEBF.在Rt△AHE中，AE2＋AH2＝HE2，又∵HE＝HD，AE＝4，∴AH＋HE＝AD＝8，42＋AH2＝(8－AH)2，∴AH＝3，BF＝AE·BEAH＝83；在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴EF＝103，∵BE＝6－AE＝2，∴△EBF的周长为：EB＋BF＋FE＝2＋83＋103＝8.13.23a【解析】如解图，过点F作FG⊥AD于点G，由题意知DE＝a，PE＝CE＝2a，∴∠DPE＝30°，∠GPF＝60°，又∵四边形FGDC是矩形，∴FG＝3a，∴FP＝GFsin60°＝233×3a＝23a.第13题解图14.33【解析】由题意可知，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，又∵AB＝BC，∴∠B＝60°，∵EG⊥AC，可得△AEG为等腰三角形，∴∠AEG＝∠AGE＝30°，又∵△BEF与△GEF关于直线EF对称，∴∠BEF＝∠GEF＝180°－30°2＝75°，又∵∠B＝60°，∴∠BFE＝180°－75°－60°＝45°，∴∠BFE＋∠GFE＝90°，∴GF⊥BC，即GF为AD、BC的公垂线，如解图，过点A作BC的垂线，垂足为点H，则AH＝FG，在Rt△AHB中，∠B＝60°，AB＝6，则AH＝33，∴FG＝AH＝33.第14题解图15.55【解析】∵正方形ABCD的边长为22，∴AC＝BD＝4，且AC和BD相互垂直平分，∴OA＝OB＝OC＝2，∵AM⊥BE，∴∠EAM＋∠AEM＝90°，∵∠OBE＋∠AEM＝90°，∴∠OBE＝∠EAM，∵OA＝OB，∠AOB＝∠BOE＝90°，∴△AOF≌△BOE(A)，∴OF＝OE＝12OC＝1，∴BF＝OB－OF＝1，∴在Rt△BOE中，BE＝OB2＋OE2＝22＋12＝5.∵∠OBE＝∠MBF，∠BOE＝∠BMF＝90°，∴△BMF∽△BOE，∴BFBE＝FMOE即15＝FM1，解得FM＝55.16.233或33【解析】根据题意画出图形如解图，过点N作NG⊥AB，交AB于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝NG＝3cm，在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，AB＝3cm，∴BE＝1cm，AE＝2cm，∵点F为AE的中点，∴AF＝12AE＝1cm，在Rt△ABE和Rt△NGM中，AB＝NGAE＝NM，∴Rt△ABE≌Rt△NGM(HL)，∴BE＝GM，∠BAE＝∠MNG＝30°，∠AEB＝∠NMG＝60°，∴∠AFM＝90°，即MN⊥AE，在Rt△AMF中，∠FAM＝30°，AF＝1cm，∴AM＝AFcos30°＝132＝233cm；由对称性得AM′＝BM＝AB－AM＝3－233＝33cm；综上，AM的长等于233或33cm.第16题解图17.(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝12∠ABC，∠ABC＋∠BAD＝180°，又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°，∴tan∠DBC＝tan30°＝33；(2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵∠BOC＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形．18.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(S)；(2)解：四边形BEDF是菱形．理由：如解图，连接DG，∵△ABE≌△CDF，第18题解图∴BE＝DF，∠ABE＝∠CDF，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，BO＝OD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠EBO＝∠FDO.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(A)，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵DG＝BG，∴△BDG是等腰三角形．又∵BO＝DO，∴GO⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形．19.解：(1)由题意易求，EC＝2，AE＝10，如解图，过点E作EM⊥AC于点M，第19题解图∴∠EMC＝90°，又∵∠ACD＝45°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴EM＝2，∴sin∠EAC＝EMAE＝210＝55；(2)在△GDC与△EDA中，DG＝DE∠GDC＝∠EDADC＝DA，∴△GDC≌△EDA(S)，∴∠GCD＝∠EAD，又∵∠HEC＝∠DEA，∴∠EHC＝∠EDA＝90°，∴AH⊥GC，∵S△AGC＝12AG·DC＝12GC·AH，∴12×4×3＝12×10·AH，∴AH＝6510.满分冲关1.C【解析】∵S正方形ABCD＝24，∴BC＝CD＝26，∴CF＝BC－BF＝362，∴DF＝CF2＋CD2＝562，∵∠EFG＝90°，∴∠EFB＋∠DFC＝90°，∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠DFC＝∠BEF，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴EFDF＝BFDC，∴EF＝568，∴正方形EFGH的周长＝4EF＝562.2.D【解析】同侧两点求最短路径时，作其中一点关于点P所在直线的对称点，连接另一点与对称点，即最短路径．如解图，连接CA、AD，CA与OB相交于点E，过点E作EF⊥OA交OA于点F.点C的对称点是点A，AD与BO的交点即为点P.根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE∽△EOF，∴COEO＝EOOF，∵OC＝OA＝5，EO＝12OB＝25，∴OF＝4，根据勾股定理可得EF＝2，点E的坐标为(4，2)，∴直线OE的函数解析式为y＝12x，又∵D(0，1)，∴直线AD的函数解析式是y＝－15x＋1，联立两函数方程y＝12xy＝－15x＋1，解得x＝107y＝57，∴点P的坐标为(107，57)．第2题解图3.B【解析】如解图，延长DE与CB的延长线交于点G，由四边形ABCD是矩形可得AD∥BC且AD＝BC＝3，又∵BF＝2FC，∴BF＝2，FC＝1，由勾股定理可得AF＝AB2＋BF2＝22＋22＝22.由△ADN∽△FBN可得ANNF＝ADBF＝32，∴AN＝32NF＝35AF＝625，再由△ADM∽△FGM得ADGF＝AMMF，又∵点E为BA的中点，可证△ADE≌△BGE，∴GB＝AD＝3.∴GF＝5，∴AMMF＝35，可得AM＝38AF＝324.∴MN＝AN－AM＝625－324＝9220.第3题解图4.D【解析】如解图，延长AE到点F，使得EF＝EA，过点F作FQ⊥AD于点Q，交BD于点P，连接AP，此时AP＋PQ＝FP＋PQ＝FQ，即FQ是AP＋PQ的最小值．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥PF，∵∠BAE＝∠PFE，∠ABE＝∠FPE，∵AE＝EF，∴△AEB≌△FEP(A)，∴BE＝PE，PF＝AB.∵DE＝3BE，∴DP＝BP，∴AP＝BP＝AB，∴△APB是等边三角形，∴∠ABP＝60°.∵AD＝6，∴AB＝ADtan∠ABD＝23，∴PQ＝12AP＝12AB＝3，∴FQ＝33，即AP＋PQ的最小值为33.第4题解图5.B【解析】如解图，延长DH交AG于点E.∵DH＝6，CH＝8，CD＝10，∴DH2＋CH2＝CD2，∴CH⊥DH，同理AG⊥BG.∵∠ADE＋∠DAE＝∠BAE＋∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠BAE，∵∠AGB＝∠AED＝90°，AD＝AB，∴△AED≌△BGA(A)，∴DE＝AG＝8，AE＝BG＝6，∴EG＝2，同理HE＝2，∴HG＝22.第5题解图6.72【解析】如解图，延长BE到点H，使得EH＝BE，连接GH，∵DG＝BD，∴DE＝12GH且DE∥GH，∵BE⊥AD，∴BH⊥GH.设DE＝x，∵AE＝DE，BE⊥AD，∴AB＝BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BD＝2x，∴△ABD为等边三角形．∴∠DBE＝30°.∴GH＝2x，EH＝BE＝3x，∴EG＝GH2＋HE2＝＝7x，∴EGAB＝＝72.第6题解图7.322＋16【解析】如解图，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴BD＝162＋162＝162，∴OB＝OD＝82，∴BG＝OG＝OP＝PD＝42，BF＝（42）2＋（42）2＝8,CF＝8.将解图①和解图②对比，可知每一条线段的长，∴该凸六边形的周长为：82＋82＋8＋42×4＋8＝(322＋16)cm.第7题解图8.①②③【解析】序号逐个分析正误①∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，又∵AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠1＝∠2＝12×(90°－∠EAF)＝12×45°＝22.5°√②如解图，过点A作AM⊥EF交EF于点M，连接CM，由于AE＝AF，易得ME＝MF，显然AF是∠DAM的平分线，所以DF＝MF＝ME，易得△EFC是等腰直角三角形，所以EF＝2FC，则DF＝22FC，点C到EF的距离是Rt△EFC斜边EF上的中线，所以这个距离是CM＝12EF＝12×2FC，即FC＝2CM，∴DF＝CM，而DF＋FC＝1，则2CM＋DF＝1，所以(2＋1)CM＝1，解得CM＝2－1，即点C到EF的距离是2－1第8题解图√③△EFC周长是2FC＋EF＝22CM＋2CM＝2(2＋1)(2－1)＝2√④∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴BE＝DF，又∵EF＝2DF，∴BE＋DF＝EF×综合所述，正确的结论是①②③.9.①③④【解析】由折叠的性质得，∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∴∠EBG＝∠FBE＋∠FBG＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF＝BC＝10，BA＝BH＝6，∴HF＝BF－BH＝4，∴AF＝BF2－BA2＝8，设GH＝x，则GF＝8－x，在Rt△GHF中，x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3，∴GF＝5，AG＝3，同理在Rt△FDE中，由FD2＝EF2－ED2得ED＝83，EF＝103，∴EDFD＝43≠ABAG＝2，∴△DEF与△ABG不相似，故②不正确；S△ABG＝12×3×6＝9，S△FGH＝12×3×4＝6，S△ABGS△FGH＝96＝32，故③正确；∵AG＝3，DF＝AD－AF＝2，FG＝5，∴AG＋DF＝FG＝5，故④正确．10.(1)证明：如解图①，连接BD.第10题解图①∵点E，H分别为边AB，AD的中点，∴EH∥BD，EH＝12BD，同理得FG∥BD，FG＝12BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴中点四边形EFGH是平行四边形；(2)猜想：四边形EFGH是菱形．证明：如解图②，连接AC，BD.∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠APC＝∠BPD，第10题解图②又∵PA＝PB，PC＝PD，∴△APC≌△BPD(S)，∴AC＝BD.∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝12AC，FG＝12BD，∴EF＝FG，又∵中点四边形EFGH是平行四边形，∴中点四边形EFGH是菱形；(3)解：当∠APB＝∠CPD＝90°时，中点四边形EFGH是正方形．【解法提示】如解图②，设AC与BD交于点O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP，∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，∵中点四边形EFGH是菱形，∴中点四边形EFGH是正方形．