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免费2017届云南中考数学题型专项（四）解直角三角形的实际应用中考数学考点要点汇编网题型专项(四)解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用历年来在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现，主要有两种类型：一是利用视角测量长度(高度)，二是利用方向角测量距离．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答(回归实际问题)．预计2017年一定会有考查，复习时应加强训练．类型1利用视角测量长度(高度)1．(2016·昆明市十县模拟)如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度．(结果保留整数，3≈1.7，2≈1.4)解：根据题意得AB＝18，DE＝18，∠A＝30°，∠EBC＝60°.在Rt△ADE中，AE＝DEtan30°＝1833＝183，∴BE＝AE－AB＝183－18.在Rt△BCE中，CE＝BE·tan60°＝(183－18)×3＝54－183，∴CD＝CE－DE＝54－183－18≈5(米)．2．(2015·红河模拟)某中学九年级学生在学习"直角三角形的边角关系"时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB的高度(如图)，站在②号楼的C处，测得①号楼顶部A处的仰角α＝30°，底部B处的俯角β＝45°，已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度．(结果保留根号)解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四边形CDBE是矩形．∴CE＝BD＝18.在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18.在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝AECE，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝63.∴AB＝AE＋EB＝18＋63(米)．答：①号楼AB的高度为(18＋63)米．3．(2016·昆明西山区二模)如图，某新电视塔塔高AB为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，求大楼的高度CD.(结果精确到1米，参考数据：sin39°＝cos51°≈0.629，cos39°＝sin51°≈0.777，tan39°≈0.810，tan51°≈1.235)解：∵∠ACB＝45°，∠A＝90°，∴AC＝AB＝600米．延长DE交AB于点F，则DF⊥AB，四边形DFAC为矩形．∴DF＝AC＝600米．在Rt△BDF中，tan∠BDF＝BFDF，∴BF＝DF·tan39°.∵CD＝AF，∴CD＝AB－DF·tan39°＝600－600×tan39°≈114(米)．答：大楼的高度CD约为114米．类型2方位角问题4．(2016·云南考试说明)如图，A，B两城市相距100km，现计划在这两座城市之间修建一条高速公路(即线段AB)．经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°，在B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点P作PC⊥AB，C为垂足，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°.∴AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝100.∴(33＋1)PC＝100.∴PC＝50(3－3)≈63.4>50.∴森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，因此计划修建的这条高速公路不会穿越保护区．5．(2016·楚雄模拟)如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．(1)求∠BAO与∠ABO的度数；(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．(参考数据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，2≈1.41，6≈2.45)解：(1)作OC⊥AB于C，由题意得，∠AOC＝45°，∠BOC＝75°，∵∠ACO＝∠BCO＝90°，∴∠BAO＝90°－∠AOC＝90°－45°＝45°，∠ABO＝90°－∠BOC＝90°－75°＝15°.(2)若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．理由如下：∵在Rt△OAC中，∠ACO＝90°，∠AOC＝45°，OA＝8海里，∴AC＝OC＝22OA≈4×1.41＝5.64(海里)．∵在Rt△OBC中，∠BCO＝90°，∠BOC＝75°，OC＝42海里，∴BC＝OC·tan∠BOC≈5.64×3.73＝21.0372(海里)．∴AB＝AC＋BC≈5.64＋21.0372＝26.6772(海里)．∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，∴中国渔政船所需时间为26.6772÷28≈0.953(小时)＜1小时．故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．类型3其他问题6．(2016·昆明模拟)如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)解：在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200m，∴BD＝12AB＝100m.在Rt△CEB中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200m，∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134(m)．∴BD＋CE≈100＋134＝234(m)．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m.