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免费2017届云南中考数学题型专项（九）圆的证明与计算中考数学考点要点汇编网题型专项(九)圆的证明与计算圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算、证明的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质与判定，利用圆的性质求线段长、角度或阴影部分的面积等，都是考查的重点．类型1与圆的基本性质有关的计算与证明1．(2015·安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．解：(1)连接OQ.∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB.在Rt△OBP中，∵tanB＝OPOB，∴OP＝3tan30°＝3.在Rt△OPQ中，∵OP＝3，OQ＝3，∴PQ＝OQ2－OP2＝6.(2)连接OQ.在Rt△OPQ中，PQ＝OQ2－OP2＝9－OP2，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝12OB＝32，∴PQ长的最大值为9－（32）2＝332.2．(2013·玉溪)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F.(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．(结果保留π)解：(1)OF∥BC，OF＝12BC.理由：由垂径定理得AF＝CF.∵AO＝BO，∴OF是△ABC的中位线．∴OF∥BC，OF＝12BC.(2)连接OC.由(1)知OF＝12.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠D＝30°，∴∠A＝30°.∴AB＝2BC＝2.∴AC＝3.∴S△AOC＝12×AC·OF＝34.∵∠AOC＝120°，OA＝1，∴S扇形AOC＝120×π×OA2360＝π3.∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝π3－34.类型2与圆的切线有关的计算与证明3．(2016·云南模拟)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC＝∠PCE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．解：(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°.∴∠PCE＋∠P＝90°.∵∠POC＝∠PCE，∴∠POC＋∠P＝90°，即∠OCP＝90°.∴PC是⊙O的切线．(2)∵∠POC＝∠PCE，∠P＝∠P，∴△CEP∽△OCP.∴CPOP＝EPCP.设半径为R，则OE＝R3，EA＝2R3.∴CP2＝OP·EP.∴(R＋6)2－R2＝(6＋R)·(2R3＋6)．解得R＝3(R＝0舍去)．∴⊙O的半径为3.4．(2016·永州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．解：(1)证明：连接OC.∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°.∵E是BD中点，∴CE＝12BD＝BE.∴∠BCE＝∠CBE＝∠A.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.∴∠ACO＝∠BCE.∴∠BCE＋∠BCO＝90°，即∠OCE＝90°，CE⊥OC.∴CE是⊙O的切线．(2)∵∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝42＋22＝25.∵tanA＝BDAB＝BCAC＝24＝12，∴BD＝12AB＝5.∴CE＝12BD＝52.5．(2016·云南模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若∠A＝30°，AC＝23，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠BCO＝90°.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.∵∠A＝∠BCD，∴∠ACO＝∠BCD.∴∠BCD＋∠BCO＝90°.∴DC是⊙O的切线．(2)过点O作OE⊥AC于点E.∵AC＝23，∴AE＝3.∵∠A＝30°，∴OE＝1，AO＝2，∠AOC＝120°.∴S扇AOC＝120×π×4360＝4π3，S△AOC＝12×23×1＝3.∴S阴影＝4π3－3.6．(2016·昆明模拟)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°.∴∠BAC＋∠ABD＝90°.∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DBC＋∠ABD＝90°.∴AB⊥BC.∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O切线．(2)连接OD，过O作OM⊥BD于点M.∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形．∴OB＝BD＝OD＝2.∴BM＝DM＝1.由勾股定理得：OM＝3.∴S△DOB＝12×2×3＝3.∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB－S△DOB＝60π×22360－3＝23π－3.7．(2016·红河模拟)如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF︵＝FC︵＝CB︵，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD＝23，求⊙O的半径．解：(1)证明：连接OC.∵FC︵＝BC︵，∴∠FAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∴∠FAC＝∠OCA.∴OC∥AF.∵CD⊥AF，∴OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．(2)连接BC.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵AF︵＝FC︵＝CB︵，∴∠BOC＝13×180°＝60°.∴∠BAC＝30°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ADC中，CD＝23，∴AC＝2CD＝43.在Rt△ACB中，BC＝33AC＝33×43＝4，∴AB＝2BC＝8.∴⊙O的半径为4.8．(2016·普洱模拟)如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，以AB为直径的⊙O交CB于点D，点E是AC的中点，连接OE、DE.(1)判断ED与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若tanC＝52，DE＝2，求BD的长．解：(1)结论：ED与⊙O相切．理由如下：连接OD.∵点E是AC的中点，点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线．∴OE∥BC.∴∠EOA＝∠B，∠EOD＝∠ODB.又∵OD＝OB，∠ODB＝∠B，∴∠EOA＝∠EOD.又∵OA＝OD，OE＝OE，∴△AOE≌△DOE(SAS)．∴∠EAO＝∠EDO.又∵∠EAO＝90°，∴∠EDO＝90°.∴OD⊥ED.∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．(2)连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°.在Rt△ADC中，∵点E是斜边AC的中点，∴AC＝2ED＝4.∵tanC＝ADCD＝52，∴设AD＝5x，CD＝2x.∵AD2＋DC2＝AC2，∴(5x)2＋(2x)2＝42.解得x＝±43(负根不合题意，舍去)．∴AD＝5x＝435.在Rt△ADC中，∠C＋∠CAD＝90°，又∵∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠C.∴tan∠BAD＝tanC＝52.又在Rt△ADB中，∵tan∠BAD＝BDAD，∴BD＝AD·tan∠BAD＝435×52＝103.9．(2016·曲靖模拟)已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：PD2＝PB·PA；(3)若PD＝4，tan∠CDB＝12，求直径AB的长．解：(1)证明：连接OC、OD.设AB与CD交于点E.∵CP为⊙O的切线，∴OC⊥CP.∴∠OCP＝90°.∵OD＝OC，AB⊥CD，∴∠ODE＋∠DOE＝∠OCE＋∠COE＝90°.又∵∠ODE＝∠OCE，∴∠DOE＝∠COE.又∵OD＝OC，OP＝OP，∴△ODP≌△OCP(SAS)．∴∠ODP＝∠OCP＝90°.∴PD是⊙O的切线．(2)证明：∵∠PDB＋∠ODB＝∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠PDB＝∠ADO.又∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.∴∠PDB＝∠A.又∵∠DPB＝∠APD，∴△PBD∽△PDA.∴PDPA＝PBPD，即PD2＝PB·PA.(3)设BE＝x，则DE＝2x，BD＝5x.∵∠CDB＋∠ADC＝∠A＋∠ADC＝90°，∴∠A＝∠CDB.∴tanA＝12.∴AE＝2DE＝4x，AB＝AE＋BE＝5x，AD＝25x.由(2)知△PBD∽△PDA.∴PDPA＝BDDA.∴45x＋PB＝5x25x.得PB＝8－5x.又∵PD2＝PB·PA，∴16＝(8－5x)(5x＋8－5x)．得x＝65.∴AB＝5x＝6.10．(2016·红河模拟)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；(2)若AC＝210，CE∶EB＝1∶4，求CE，AF的长．解：(1)证明：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°.∴∠CAF＝∠ABD.∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD.∴∠ABC＝2∠CAF.(2)连接AE.∵AB是⊙O直径，∴∠AEB＝90°.设CE＝x，∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x.在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2.即(210)2＝x2＋(3x)2.∴x＝2(x＝－2舍去)．∴CE＝2.∴EB＝8，BA＝BC＝10，AE＝6.∵tan∠ABF＝AEEB＝AFBA，∴68＝AF10.∴AF＝152.11．(2016·昆明模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF.(1)若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；(结果保留π)(2)求证：OD＝OE；(3)求证：PF是⊙O的切线．解：(1)∵AC＝12，∴CO＝6.∴lPC︵＝60×π×6180＝2π.(2)证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∴∠PEA＝∠ADO＝90°.在△ADO和△PEO中，∠ADO＝∠PEO，∠AOD＝∠POE，OA＝OP，∴△POE≌△AOD(AAS)．∴OD＝OE.(3)证明：连接AP，PC.∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA.由(2)得OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED.又∵∠AOP＝∠EOD，∴∠OPA＝∠ODE.∴AP∥DF.∵AC是直径，∴∠APC＝90°.∴∠PQE＝90°，即PC⊥EF.又∵DP∥BF，∴∠ODE＝∠EFC.∵∠OED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠EFC.∴CE＝CF.∵PC为EF的中垂线，∴∠EPQ＝∠QPF.∵△CEP∽△CPA，∴∠EPQ＝∠EAP.∴∠QPF＝∠EAP.∴∠QPF＝∠OPA.∵∠OPA＋∠OPC＝90°，∴∠QPF＋∠OPC＝90°.∴OP⊥PF.∴PF是⊙O的切线．12．(2016·德州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF；(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．解：(1)直线l与⊙O相切．理由：连接OE、OB、OC.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∴BE︵＝CE︵.∴∠BOE＝∠COE.又∵OB＝OC，∴OE⊥BC.∵l∥BC，∴OE⊥l.∴直线l与⊙O相切．(2)∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF.又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF.又∵∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，∴∠EBF＝∠EFB.∴BE＝EF.(3)由(2)得BE＝EF＝DE＋DF＝7.∵∠DBE＝∠BAE，∠DEB＝∠BEA，∴△BED∽△AEB.∴DEBE＝BEAE，即47＝7AE，解得AE＝494.∴AF＝AE－EF＝494－7＝214.