资源资源简介：

免费2017年四川中考突破复习题型专项(七)三角形的简单证明与计算中考数学热点考点汇编网题型专项(七)三角形的简单证明与计算类型1与全等三角形有关的证明与计算1．(2014·南充)如图，AD，BC相交于O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB.求证：AB＝CD.证明：∵∠OBD＝∠ODB，∴OB＝OD.在△ABO和△CDO中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，∴△ABO≌△CDO(S)．∴AB＝CD.2．(2016·昆明)如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.求证：AE＝CE.证明：∵FC∥AB，∴∠EAD＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE.在△ADE和△CFE中，∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(A)．∴AE＝CE.3．(2016·乐山)如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.求证：CE＝DF.证明：∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°.又∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝CF.∴△CEB≌△DFC.∴CE＝DF.4．(2016·河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.又AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.5．在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.(1)求证：△ABF≌△ACE；(2)求证：PB＝PC.证明：(1)在△ABF和△ACE中，AF＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABF≌△ACE(S)．(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵△ABF≌△ACE，∴∠ABF＝∠ACE.∴∠PBC＝∠PCB.∴PB＝PC.6．(2014·内江)如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.(1)求证：△ABM≌△BCN；(2)求∠APN的度数．解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C.∵在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(S)．(2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN.∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠APN＝∠CBN＋∠ABP＝∠ABC＝（5－2）×180°5＝108°.类型2与相似三角形有关的证明与计算7．(2016·德阳中江课改监控检测)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4.求线段CD的长．解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.∴ABAC＝ADAB.∵AB＝6，AD＝4，∴AC＝AB2AD＝364＝9.则CD＝AC－AD＝9－4＝5.8．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且ADCD＝CDBD.(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.∵ADCD＝CDBD.∴△ACD∽△CBD.(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.9．(2016·乐山模拟)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是边BC上的任意一点(P与B，C不重合)，作PE⊥AP，交CD于点E.(1)判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由；(2)连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．解：(1)△ABP与△PCE相似，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°.∴∠BAP＋∠BPA＝90°.∵PE⊥AP，∴∠CPE＋∠BPA＝90°.∴∠BAP＝∠CPE.∴Rt△ABP∽Rt△PCE.(2)由(1)得△ABP∽△PCE.∴ABPC＝BPCE，即PCCE＝ABBP.∵PE∥BD，∴CPCB＝CECD，即PCCE＝CBCD.∴ABBP＝CBCD.∵AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∴BP＝AB·CDCB＝43.10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝∠C＝60°，P为BC边上一点(不与B，C重合)，过点P作∠APE＝∠B，PE交CD于E.(1)求证：△APB∽△PEC；(2)若CE＝3，求BP的长．解：(1)证明：∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∴∠APE＋∠EPC＝∠B＋∠BAP.∵∠APE＝∠B，∴∠EPC＝∠BAP.∵∠B＝∠C，∴△APB∽△PEC.(2)过点A作AF∥CD交BC于点F.则四边形ADCF为平行四边形，△ABF为等边三角形．∴CF＝AD＝3，AB＝BF＝7－3＝4.∵△APB∽△PEC，∴BPEC＝ABPC.设BP＝x，则PC＝7－x，又EC＝3，AB＝4，∴x3＝47－x.解得x1＝3，x2＝4.经检验，x1＝3，x2＝4是所列方程的根，∴BP的长为3或4.11．(2016·眉山)如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝42，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F.(1)求证：PCCD＝CECB；(2)连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；(3)设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．解：(1)证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°.∴△BCE∽△DCP.∴PCCD＝CECB.(2)AC∥BD.理由：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD.又∵PCCD＝CECB，∴△PCE∽△DCB.∴∠CBD＝∠CEP＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD.∴AC∥BD.(3)过点P作PM⊥BD交BD延长线于点M.∵AC＝42，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝4.∵△PCE∽△DCB，∴CECB＝PEBD，即442＝xBD.解得BD＝2x.∵∠PBM＝∠CBD－∠CBP＝45°，BP＝BE＋PE＝4＋x，∴PM＝4＋x2.∴S＝12BD·PM＝12·2x·4＋x2＝12x2＋2x.