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免费2017人教版中考数学《第二讲方程(组)》复习教案+检测中考数学要点考点试卷分析网第二讲方程（组）于华虎2.1一元一次方程、分式方程及其应用基础盘点1.一元一次方程（1）在一个整式方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做.（2）解一元一次方程的解法：①去分母，化方程的系数为整数；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.2.分式方程（1）分母中含有未知数的方程叫做.（2）解分式方程步骤：①方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；②解这个整式方程；③检验，即将整式方程的解代入最简公分母，看结果是否为0，若是0，则此解为增根，若不是0，则此解为原方程的根；④写出此方程的解.3.一元一次方程及分式方程的应用列方程解应用题的步骤：①审题，设未知数；②找出相等关系列方程；③解方程；④检验：如果是一元一次方程，则需要看方程的根是否符合题意；如果是分式方程，除了要检验方程的根是否是原方程的增根外，还看解出来的根是否符合题意.考点呈现考点1一元一次方程的解法例1（2015o广州）解方程：5x＝3（x－4）.解析：去括号，得5x＝3x－12，移项，合并同类项，得2x＝－12，解得x＝－6.点评：解方程移项时一定要注意符号的变化.考点2一元一次方程的解例2（2015·常州）已知x＝2是关于x的方程a（x＋1）＝a＋x的解，则a的值是_____.解析：把x＝2代入方程a（x＋1）＝a＋x，解得a＝.点评：方程的解即是满足方程的未知数的值，因此将其代入方程可求得方程中字母的值.考点3一元一次方程的应用例3(2015o海南）小明香葱"天猫"某网站购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问：A，B两种型号计算器的单价分别是多少？解析：设A型号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x－10）元，依题意可得方程5x＝7（x－10），解得x＝35.所以35－10＝25（元），故A型号计算器的单价为35元，则B型号计算器的单价是25元.点评：列方程解应用题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程.一般情况下，设未知数的方法不是唯一的，要寻找最简捷的设法.考点4解分式方程例4（2015·嘉兴）小明解方程的过程如图，请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程.解析：小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验.正确的解法为：方程两边乘以x，得1-（x-2）＝x，去括号，得1-x＋2＝x，移项，得-x-x＝-1-2，合并同类项，得-2x＝-3，解得x＝，经检验x＝是分式方程的解，故原分式方程的解为x＝.点评：解分式方程的基本思想是化分式方程为整式方程，转化的方法有两种：一是去分母，二是换元；变形中有可能增大解的范围，因此分式方程有产生增根的可能，所以检验是不可忽视的步骤.考点5分式方程的解例5（2015·荆州）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（）A.m＞-1B.m≥1C.m＞-1且m≠1D.m≥-1且m≠1解析：去分母，得m-1＝2x-2，解得x＝.由题意，得≥0且≠1，解得m≥-1且m≠1.点评：解决此类问题的关键是将方程中的字母看做是已知数字，求出方程的解，容易出现的错误是漏掉隐含条件--最简公分母不为0．考点6增根问题例6（2015·营口）若关于x的分式方式有增根，则m的值是（）A.m=-1B.m=0C.m＝3D.m＝0或m＝3解析：因为方程有增根，所以x-3＝0，解得x＝3.原方程去分母整理得m＝8-3x，将x＝3代入得m＝-1.点评：确定增根时，注意增根所满足的两个条件：①是由分式方程转化成的整式方程的根；②使最简公分母为零.考点7分式方程的实际应用例7（2015·十堰）在我市开展"五城联创"活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？解析：设原来每天改造管道x米，由题意，得，解得x＝30，经检验x＝30是原分式方程的解，（1＋20%）x＝（1＋20%）×30＝36，故引进新设备前工程队每天改造管道36米.点评：列分式方程解决情境应用题时，最后一定不要忘记检验.误区点拨1.解一元一次方程漏括号例1解方程.错解：去分母，得＝，移项，合并同类项，得，系数化为1，得.剖析：显然，本题第一步出错了.去分母时，""没有用括号括起来，忽视了分数线的括号作用.去掉分数线，应该给分子加括号.正解：去分母，得＝，去括号，得＝，移项，合并同类项，得，系数化为1，得.2.解分式方程忘记验根例2解方程－=．错解：方程两边同时乘以（＋1）（－1），得2（＋1）－2（－1）=＋3，解得=1，所以原方程的解是=1．剖析：解分式方程验根是必要的步骤，这样才能够排除增根，防止扩大解的范围．正解：（解的过程同上）检验：当=1时，2－1=0，所以=1是原方程的增根，所以原方程无解．3.解分式方程"去分母"漏乘某些项例3解方程=2－．错解：方程两边同时乘以（2－1），得=2＋3，即=5.检验：当=5时，2－1=9≠0，所以=5是方程的解．剖析：去分母时，应该用最简公分母同时乘以方程两边的各个项，不能够遗漏某些项．正解：方程两边同时乘以（2－1），得=2（2－1）＋3，解得=－．检验：当=－时，2－1=－1≠0，所以=－是方程的解．跟踪训练1.（2015o杭州）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分改造成林地，使旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（）A.B.C.D.2.关于的方程的解为正实数，则的取值范围是（）A.≥2   B.≤2  C.＞2 D.＜23.已知关于x的分式方程=1有增根，则a=____.4.（2015·毕节）关于x的方程x-4x＋3＝0与有一个解相同，则a＝_____.5.（2015·扬州）扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？2.2二元一次方程组及其应用基础盘点1.二元一次方程组的解法：①代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.②加减消元法：通过将方程组中两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.2.二元一次方程组的应用：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：①设出题中的两个未知数；②找出题中的两个等量关系；③根据等量关系列出方程，并组成方程组；④解这个方程组，求出未知数的值；⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.考点呈现考点1二元一次方程（组）的解例1（2015·南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是_____.解析：因为方程组的解x，y互为相反数，所以x＋y＝0，所以可得方程组，解得，代入方程2x＋3y＝k中可得k＝-1.点评：本题比较常规的解法是解已知方程组，得，再由方程组的解互为相反数得3＋2k-2-k＝0，解得k＝-1.因为已知方程组中有字母k，导致求解方程组比较麻烦，易于出现错误，所以对于此类问题我们提倡使用上面的求解思路.考点2构造二元一次方程组解题例2（2015·绵阳）若，则＝（）A.-1B.1C.D.-解析：因为≥0，≥0，而二者的和为0，所以＝0，＝0，于是可得方程组，解得，所以＝＝-1.例3（2015·巴中）若单项式与是同类项，则a，b的值分别为（）A.a＝3，b＝1B.a＝-3，b＝1C.a＝3，b＝-1D.a＝-3，b＝-1解析：因为同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数相等，所以可得方程组，解得，故选A.点评：构造二元一次方程组解决的依据很多，比如例1的构造依据是"两个非负数的和为0，则每一个数均为0"，这需要大家熟练掌握二次根式、绝对值或完全平方式等的非负性；例2的构造依据是同类项的定义，即相同字母的指数相等.考点3二元一次方程组的解法例4(2015·河北)利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A.要消去y，可以将①×5＋②×2B.要消去x，可以将①×3＋②×（-5）C.要消去y，可以将①×5＋②×3D.要消去x，可以将①×（-5）＋②×2解析：观察已知方程组，不难发现：若要消去x，可以将①×（-5）＋②×2，故选项D正确，B错误；若要消去y，可以将①×3＋②×5，故选项A、C均错误.应选D.例5（2015·重庆）解二元一次方程组思路点拨：观察已知方程组，不难发现未知数x的系数相同，因此可采用加减消元法求解.解法一：由②-①得5y＝5，解得y＝1，代入方程①得x＝3，∴原方程组的解为.解法二：方程①变形为x＝2y＋1③，将方程③代入方程②得2y＋1＋3y＝6，解得y＝1，代入方程③得x＝3，所以原方程组的解为.点评：解二元一次方程组有代入消元法和加减消元法.一般情况下，当可以较容易地把一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来的时候，用代入消元法；否则，用加减消元法.考点5二元一次方程（组）的实际应用例7（2015·齐齐哈尔）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（）A.1种B.2种C.3种D.4种解析：设购买毽子x个，跳绳y条，依题意可得方程3x＋5y＝35.因为x，y均为正整数，所以方程的解可能为或，所以购买方案有2种，故选B.点评：本题是借助不定方程的整数解来解决实际问题，求解思路通常是：确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值，一般情况下，这类问题的答案不唯一.误区点拨化简方程过程疏忽导致错误例解方程组错解1：由①×4得2（）－（）＝－1.剖析：去分母时漏乘了不含分母的项.错解2：由①×4得2（）－＝－4.剖析：去分母时忽视了分数线括号的作用.错解3：由②得＝8.剖析：用乘法分配律去括号时，符号判断错误.正解：由①×4得2（）－（）＝－4，化简得，整理得③；由②得，整理得④.由③＋④得，把代入③得，故原方程组的解是跟踪训练1.二元一次方程组的解是（）A.B.C.D.2.若方程组的解x、y相等，则k的值为（）A.2B.-2C.D.-3.（2015·黑龙江）为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（）A.4B.3C.2D.17.(2015·天门)清明节期间，七（1）班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈.若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有____名同学.8.已知二元一次方程：（1）x+y=4，（2）2x-y=2，（3）x-2y=1．请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解．2.3一元二次方程及其应用基础盘点1.主要概念⑴只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做.⑵如果一个数能使一元二次方程的左右两边相等，那么这个数就称为这个方程的根（解）.2.重要结论（1）如果方程能化成或（≥0）的形式，则可用直接开平方法解此方程，得＝，或＝.（2）一元二次方程（≠0）的求根公式为：＝.（3）对于一元二次方程（≠0），①当＞0时，方程有两个不相等的实数根，，＝；②当＝0时，方程有两个相等的实数根，；③当＜0时，方程没有实数根.（4）如果一元二次方程（≠0）的两个实数根为、，那么＋＝，＝.考点呈现考点1一元二次方程的解例1（2015·柳州）若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则m的值为____.解析：依题意将x＝1代入方程，得1＋2＋m＝0，解得m＝-3.点评：此类试题的基本解法就是将根代入方程，同时要注意一元二次方程的二次项系数不为0.考点2一元二次方程的解法例2（1）（2015·泉州）方程x2＝2的解是________.解析：因为（±）2＝2，所以方程x2＝2的解是x1＝或x2＝-.（2）（2015·滨州）用配方法解一元二次方程x2-6x-10＝0时，下列变形正确的是（）A.（x＋3）2＝1B.（x-3）2＝1C.（x＋3）2＝19D.（x-3）2＝19解析：移项，原方程变形为x2-6x＝10，方程两边加上9得x2-6x＋9＝19，即（x-3）2＝19.（3）（2015o盘锦）方程（x＋2）（x－3）＝x＋2的解是__________.解析：移项，得（x＋2）（x－3）－（x＋2）＝0，提公因式，得（x＋2）（x－4）＝0，所以x＋2＝0或x－4＝0，解得＝－2，＝4.（4）(2015o大连）解方程：.解析：因为a＝1，b＝－6，c＝－4，所以＝52，代入求根公式可得＝，所以，.点评：根据已知方程特点选择正确的方法解方程，注意在利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含有未知数的因式时，不能随便约去这个因式，会导致方程失根，出现错误，要通过移项，提取公因式的方法来求解.考点3根的判别式例3(2015o福州）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值.解析：因为有两个相等的实数根，所以△＝＝0，解得，.点评：利用根的判别式可以来确定一元二次方程中未知数的系数或取值范围.考点4根与系数的关系例4（2015o大庆）已知实数a，b是方程的两根，求的值.解析：因为实数a，b是方程的两根，所以a＋b＝1，ab＝－1，所以＝＝－3.点评：使用根与系数的关系解题之前要保证方程的根的判别式大于等于零，即方程的根存在.考点5一元二次方程的应用例5（2015·连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元.（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.解析：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据题意，得，解得x＝400.经检验x＝400是原方程的根，故每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意，得400（1-y）2＝324，解得y1＝0.1，y2＝1.9（不合题意，舍去），故平均每次降价10%.点评：此类问题属于平均增长率问题，其解答模型为.误区点拨1.忽视方程同解原理，造成漏解例1方程（x－1）（x－2）＝2（x－2）的根是____________.错解：由原方程，得x－1＝2，解得x＝3.剖析：错解错在方程两边同时除以（x－2），违背了方程的同解原理，从而产生了漏解.正解：由原方程得（x－1）（x－2）－2（x－2）＝0，整理得（x－2）（x－3）＝0，所以方程的解是＝－2，＝3.2.忽视检验，导致错误例2当k取何正整数时，方程和方程有一整数公共根.错解：设方程公共根为m，则有①和②，因为①×2－（2）得（k－3）m＝6，m、k为整数，所以（k－3）必为6的约数，所以k－3＝±1、±2、±3、±6，解得k＝－3、0、1、2、4、5、6、9.因为k是正整数，所以k＝1、2、4、5、6、9.剖析：结论看似合理，但经检验当k＝1、2、4时，方程无解，不符合要求；当k＝9时，方程无整数根，所以k只有取5、6时符合要求.3.忽视分类讨论例3m为何值时关于x的方程有实数根.错解：由方程有实数根可知△＝≥0，解得≤，即当≤且m≠0时，方程有实数根.剖析：由于题设条件未对方程次数做任何规定，所以原方程可以是一元二次方程也可以是一元一次方程，所以错解忽视了对方程次数的分类讨论.正解：（1）当方程为一元二次方程时，解法同错解；（2）当方程为一元一次方程时，m＝0，此时方程为x＋2＝0，即方程有实数根.综上所述，当≤时，方程有实数根.跟踪训练1.（2015·金华）一元二次方程x2＋4x-3=0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是（）A.4B.-4C.3D.-32.（2015·佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A.7mB.8mC.9mD.10m第2题图第5题图3.（2015·日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m＝3，n2-n＝3，那么代数式2n2-mn＋2m＋2015＝______.4.（2015·台州）关于x的方程mx＋x-m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）.5.（2015·湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?参考答案2.1一元一次方程、分式方程及其应用1.B2.C3.14.15.解：设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1＋20%），由题意,得-＝2，解得x＝100，经检验x＝100是原分式方程的解，且符合题意，故原计划每天种树100棵.2.2二元一次方程组及其应用1.B2.C3.D4.595.解：答案不唯一，如将（1）、（2）组合可得方程组，解得.2.3一元二次方程及其应用1.D2.A3.20264.①③5.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x＋1）m.由题意，得x（25-2x＋1）＝80，化简，得x2-13x＋40＝0，解得x1＝5，x2＝8.当x＝5时，26-2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26-2x＝10＜12，故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.方程（组）综合测试题于华虎（时间：满分：120分）（班级：姓名：得分：）一、选择题（每小题3分，共30分）1.要使代数式与的值互为相反数，则的值是（）A.0B.C.D.2.用代入消元法解方程组时，代入消元正确的是（）A.由①得，代入②得B.由①得，代入②得C.由①得，代入②得D.由②得，代入①得3.若是一元二次方程的一个解，则代数式的值（）A.2013B.2014C.2015D.20164.若关于x的方程＝2的解为正数，则实数a的取值范围是（）A.a＜B.a＞C.a＜且a≠D.a＞且a≠25.根据下图提供的信息可知，一副春联的价格是（）A.5元B.10元C.15元D.20元15元40元6.有一列数，，，，…，，，其中＝5×2＋1，＝5×3＋2，＝5×4＋3，＝5×5＋4，＝5×6＋5，…，当＝2015时，的值等于（）A.2016B.2014C.401D.3357.若关于x的分式方程=3+有增根，则m的值是（）A.－2B.2C.4D.－48.如果关于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m=0只有一个实数根，那么方程mx2-（m+2）x+（4-m）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根9.某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时"……"，设实际每天铺设管道x米，则可得方程?＝15，根据此情景，题中用"……"表示的缺失的条件应补为（）A.每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B.每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C.每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D.每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成10.关于x的一元二次方程-mx+5（m-5）=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是（）A.2B.6C.2或6D.7二、填空题（每小题4分，共32分）11.已知关于x的分式方程+=1的解为x=4，那么字母a的值是_____.312.某套时装的标价是800元，小颖的妈妈以比五折多10元的价格购买了这套时装，此时商家净赚了70元，则该套时装的进价为_______元.34013.若一个二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是___________（写出一个即可）.14.若、、、为有理数，规定一种新的运算：，那么当＝15，则＝______.15.已知、是关于的方程的两个实数根，且＋＝，则·＝______.16.已知方程组和有公共解，则＝_____.17.新定义：[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的"关联数"．若"关联数"[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+＝1的解为_____.18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P、Q同时由C、B两点出发，点P沿CA方向以2cm/s的速度移动，点Q沿BC方向以1cm/s的速度移动，则______秒钟后△PCQ的面积为8.三、解答题（共58分）19.（12分）解下列方程（组）：（1）；（2）；（3）；（4）.20.（10分）某同学解关于的方程，在去分母时，右边的－1没有乘以3，因此求得方程的解是＝3，试求出的值及原方程的解.21.（10分）某山区有23名中、小学生因贫苦失学需要资助.已知资助一名中学生的学习费用需要元，资助一名小学生的学习费用需要元.某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：（1）求、的值；（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中、小学生的学习费用，求九年级学生可资助的贫困中、小学生人数.22.（12分）已知关于x的一元二次方程x2-（2m＋3）x＋m2＋2＝0.（1）如方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12＋x22＝31＋|x1x2|，求实数m的值.23.（14分）已知：如图所示，在△中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，△的面积等于4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，△的面积能否等于7cm2?说明理由.第23题图方程（组）综合测试题参考答案一、1.D2.D3.D4.C5.A6.D7.A8.C9.C10.B二、11.312.34013.答案不唯一，如14.15.－116.117.x＝318.2或4三、19.解：（1）＝－；（2）；（3）无解；（4）＝3，＝9.20.解：，原方程的解为＝1.21.解：（1）依题意可得方程组，解得；（2）设可资助的贫困中学生人数为人，贫困小学生人数为人，则依题意可得方程组，解得，所以九年学生可资助的贫困中学生人数为4人，贫困小学生人数为7人.22.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m＋3）x＋m2＋2＝0有实数根，∴△≥0，即（2m＋3）2-4（m2＋2）≥0，∴m≥-；（2）根据题意得x1＋x2＝2m＋3，x1,x2＝m2＋2.因为x12＋x22＝31＋|x1x2|，所以（x1＋x2）2-2x1x2＝31＋|x1x2|，即（2m＋3）2-2（m2＋2）＝31＋m2＋2，解得m＝8，或m＝4.23．解（1）设s后，△的面积等于4cm2，此时，，.由得.整理，得.解方程，得.当时，,说明此时点越过点，不合要求.答：1s后，△的面积等于4cm2.（2）仿（1），由得.整理，得，解方程，得（不合，舍去），.答：2s后，的长度等于5cm.（3）仿（1），得，整理，得，因为△=b?-4ac=（-5）?-4×1×7=-3＜0，所以此方程无解，即△的面积不可能等于7cm2.