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哈尔滨市南岗区2016年中考数学第次一模试卷含答案解析2016年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．的倒数是（）A．5 B．﹣5 C． D．﹣2．下列计算正确的是（）A．2a+3a=6a B．a2oa3=a6 C．a8÷a4=a2 D．（﹣2a3）2=4a63．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．已知点P（﹣1，4）在反比例函数的图象上，则k的值是（）A． B． C．4 D．﹣45．如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A． B． C． D．6．如图，市政府准备修建一座高AB为6m的过街天桥，已知∠ACB为天桥的坡面AC与地面BC的夹角，且sin∠ACB=，则坡面AC的长度为（）A．6m B．8m C．10m D．12m7．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．58．如图，在△ABC中，D、F、E分别为边BC、AB、AC上的一点，连接BE、FD，它们相交于点G，连接DE，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55° B．60° C．65° D．70°10．已知A，B两地相距4千米，上午8：00，甲从A地出发步行到B地，上午8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲，乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（）A．上午8：30 B．上午8：35 C．上午8：40 D．上午8：45二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．将1300000用科学记数法表示为．12．在函数y=中，自变量x的取值范围是．13．计算=．14．把多项式2x2﹣8分解因式得：．15．一个扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则此扇形的半径为．16．不等式组的解集是．17．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．18．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为．19．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为．20．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为．三、解答题（共7小题，满分60分）21．先化简，再求代数式的值，其中a=tan60°﹣6sin30°．22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以AB为一条直角边的等腰直角△ABC，顶点C在小正方形的顶点上；（2）在方格纸中画出△ABC的中线BD，将线段DC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD′，画出旋转后的线段CD′，连接BD′，直接写出四边形BDCD′的面积．23．今年3月5日，某中学组织全体学生参加了"走出校门，服务社会"的活动，为了解九年级学生参加活动情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，统计了该天他们打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中到社区文艺演出的人数占所调查的九年级学生人数的，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：（1）本次成抽样调查共抽取了多少名九年级学生？（2）补全条形统计图；（3）若该中学九年级共有400名学生，请你估计该中学九年级去敬老院的学生有多少名？24．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE=4，DG=2，求tan∠DBG的值．25．植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元．（1）求购进A、B两种树苗的单价；（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？26．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．（1）求证：∠DAF=∠ABO；（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=，EH=2，求线段CG的长．27．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx﹣3与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线y=kx+3k经过点A，与y轴正半轴相交于点D，点P为第三象限内抛物线上一点，连接PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD=2∠PDC，若∠AEP+∠ADP=90°，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EF⊥PD，垂足为点G，EF与y轴相交于点F，连接PF，若sin∠PFC=，求PF的长．2016年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．的倒数是（）A．5 B．﹣5 C． D．﹣【考点】倒数．【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，求一个数的倒数就是把这个数的分子和分母调换位置．由此解答．【解答】解：的倒数是5．故选A．【点评】此题主要考查倒数的意义，关键是求一个数的倒数的方法．2．下列计算正确的是（）A．2a+3a=6a B．a2oa3=a6 C．a8÷a4=a2 D．（﹣2a3）2=4a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、应为2a+3a=（2+3）a=5a，故本选项错误；B、应为a2oa3=a2+3=a5，故本选项错误；C、应为a8÷a4=a8﹣4=a4，故本选项错误；D、（﹣2a3）2=4a3×2=4a6，正确．故选D．【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．3．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．已知点P（﹣1，4）在反比例函数的图象上，则k的值是（）A． B． C．4 D．﹣4【考点】待定系数法求反比例函数解析式．【专题】待定系数法．【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征，将P（﹣1，4）代入反比例函数的解析式，然后解关于k的方程即可．【解答】解：∵点P（﹣1，4）在反比例函数的图象上，∴点P（﹣1，4）满足反比例函数的解析式，∴4=，解得，k=﹣4．故选D．【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了"反比例函数图象上的点的坐标特征"这一知识点．5．如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图的定义即可判断．【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是D．故选D．【点评】本题考查几何体的三视图，理解三视图的定义是正确解答的关键．6．如图，市政府准备修建一座高AB为6m的过街天桥，已知∠ACB为天桥的坡面AC与地面BC的夹角，且sin∠ACB=，则坡面AC的长度为（）A．6m B．8m C．10m D．12m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用锐角三角函数关系求出AC的长即可．【解答】解：由题意可得：sin∠ACB==，∵AB=6m，∴=，解得：AC=10，故选：C．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．7．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A．20 B．15 C．10 D．5【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°∴∠B=60°∴△ABC为等边三角形∴AC=AB=5故选D．【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定．8．如图，在△ABC中，D、F、E分别为边BC、AB、AC上的一点，连接BE、FD，它们相交于点G，连接DE，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由四边形AFDE是平行四边形，可得AE∥DF，DE∥AB，DE=AF，根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：A、∵四边形AFDE是平行四边形，∴AE∥DF，DE∥AB，DE=AF，∴△BFG∽△EDG，∴，∴，故正确；B、∵，，∴，故错误；C、∵DF∥AC，∴，故错误；D、∵，，∴=．故错误．故选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，连接CC′，若CC′∥AB，则∠BAC的大小是（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得AC=AC′，∠CAC′等于旋转角，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C'CA的度数，再由平行线的性质即可得到∠BAC的大小．【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠CAC′=40°，∴∠AC′C=∠ACC′=70°，∵CC′∥AB，∴∠BAC=∠ACC′=70°，故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．10．已知A，B两地相距4千米，上午8：00，甲从A地出发步行到B地，上午8：20乙从B地出发骑自行车到A地，甲，乙两人离A地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达A地的时间为（）A．上午8：30 B．上午8：35 C．上午8：40 D．上午8：45【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据甲60分走完全程4千米，求出甲的速度，再由图中两图象的交点可知，两人在走了2千米时相遇，从而可求出甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5﹣）小时，所以乙的速度为：2÷，求出乙走完全程需要时间，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，即可求出答案．【解答】解：因为甲60分走完全程4千米，所以甲的速度是4千米/时，由图中看出两人在走了2千米时相遇，那么甲此时用了0.5小时，则乙用了（0.5﹣）小时，所以乙的速度为：2÷=12，所以乙走完全程需要时间为：4÷12=（时）=20分，此时的时间应加上乙先前迟出发的20分，现在的时间为8点40．故选C．【点评】在做题过程中应根据实际情况和具体数据进行分析．本题应注意乙用的时间和具体时间之间的关联．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．将1300000用科学记数法表示为1.3×106．【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将1300000用科学记数法表示为：1.3×106．故答案为：1.3×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．在函数y=中，自变量x的取值范围是x≠﹣2．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2≠0，解得x≠﹣2．故答案为：x≠﹣2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．计算=．【考点】二次根式的加减法．【分析】首先把和化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：﹣=﹣=3﹣2=．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．14．把多项式2x2﹣8分解因式得：2（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提公因式2，然后利用平方差公式分解．【解答】解：2x2﹣8=2（x2﹣4）=2（x+2）（x﹣2）．故答案是：2（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．一个扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则此扇形的半径为9．【考点】弧长的计算．【分析】根据弧长公式l=，可得r=，再将数据代入计算即可．【解答】解：∵l=，∴r===9．故答案为：9．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．16．不等式组的解集是＜x＜2．【考点】解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】分别解两个不等式得到x＞和x＜2，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＞，解②得x＜2，所以不等式组的解集为＜x＜2．故答案为＜x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．17．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．【考点】概率公式．【专题】常规题型．【分析】根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，∴摸出一个球摸到红球的概率为：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．18．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为25%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设平均每月的增长率是x，根据2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，可列方程求解．【解答】解：设平均每月的增长率是x，根据题意得160（1+x）2=250，解得x=25%或x=﹣225%（舍去）．答：平均每月的增长率是25%．故答案为：25%．【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用﹣﹣增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，增长率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的"±"号选"+"，当降低时中间的"±"号选"﹣"）．19．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为3或．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】此题要分两种情况进行讨论：（1）当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，先在Rt△ACO中由勾股定理求出AO=4，于是OB=AB+AO=9，然后在Rt△BCO中利用勾股定理即可求出BC即可；（2）当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在三角形的内部，在Rt△ACO中由勾股定理求出AD=4，于是DB=AB﹣AD=1，然后在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2﹣OC2=52﹣32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，∴BC==3；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2﹣DC2=52﹣32=16，∴AD=4，DB=AB﹣AD=5﹣4=1．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，∴BC=；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3或．故答案为：3或．【点评】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．20．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠B=90°，∠ADC=∠ACB+45°，BC=AB+，若AC=CD，则边AD的长为．【考点】正方形的判定与性质；勾股定理．【分析】作∠DCM=∠ACB，并过D作DH⊥CM于H，延长HD交BA延长线于K，由AAS证明△ABC≌△DHC，得出BC=HC，AB=DH，证出四边形BCKH是正方形，得出∠K=90°，BK=HK，由已知条件得出AK=DK=BC﹣AB=，△ADK是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：作∠DCM=∠ACB，并过D作DH⊥CM于H，延长HD交BA延长线于K，如图所示：设∠DCM=∠ACB=x，∵AC=AD，∴∠DAC=∠ADC=x+45°，∴∠ACD=180°﹣2（x+45°）=90°﹣2x，∴∠BCH=90°，在△ABC和△DHC中，，∴△ABC≌△DHC（AAS），∴BC=HC，AB=DH，∴四边形BCKH是正方形，∴∠K=90°，BK=HK，∴AK=DK=BC﹣AB=，∴△ADK是等腰直角三角形，∴AD==．故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．三、解答题（共7小题，满分60分）21．先化简，再求代数式的值，其中a=tan60°﹣6sin30°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=﹣o=﹣=，∵a=tan60°﹣6sin30°=﹣6×=﹣3，∴原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以AB为一条直角边的等腰直角△ABC，顶点C在小正方形的顶点上；（2）在方格纸中画出△ABC的中线BD，将线段DC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD′，画出旋转后的线段CD′，连接BD′，直接写出四边形BDCD′的面积．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质得出C点位置；（2）直接利用三角形中线的定义以及结合网格直接得出四边形BDCD′的面积．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；（2）如图所示：CD′即为所求，四边形BDCD′的面积为：×=10．【点评】此题主要考查了旋转变换以及等腰直角三角形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．23．今年3月5日，某中学组织全体学生参加了"走出校门，服务社会"的活动，为了解九年级学生参加活动情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，统计了该天他们打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中到社区文艺演出的人数占所调查的九年级学生人数的，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：（1）本次成抽样调查共抽取了多少名九年级学生？（2）补全条形统计图；（3）若该中学九年级共有400名学生，请你估计该中学九年级去敬老院的学生有多少名？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）先根据条形图知到社区文艺演出的人数为15人，再由扇形统计图知占抽取总人数的，两者相除即可求解；（2）求出去敬老院服务的学生有多少人，即可补全条形统计图；（3）用总人数乘以该年级去敬老院的人数所占的百分比即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得抽取的部分同学的人数为：15÷=50（人）；（2）去敬老院服务的学生有：50﹣25﹣15=10（人）．条形统计图补充如下：（3）根据题意得：400×=80（人）答：估计该中学九年级去敬老院的学生有80人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．24．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE=4，DG=2，求tan∠DBG的值．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】（1）只要证明∠CBG=∠CDE，即可用ASA证明△BCG≌△DCE．（2）利用勾股定理分别在RT△DHG，RT△BHG中，求出BH，HG即可解决．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG=∠DCE=90°，BC=CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG=∠BCG=90°，∵∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE，（2）解：∵△BCG≌△DCE，∴CG=CE，∵BE=BC+CE=4，DG=CD﹣CG=2，∴BC=CD=3，CG=CE=，在RT△BDC中，∵∠BCD=90°，∴BD===6，过点G作GH⊥BD垂足为H，∵∠DHG=45°，∠DHG=90°，DG=2，∴=，∴DH=2，∴GH=DH=2，∵BD=BH﹣DH，∴BH=6﹣2=4，在RT△BHG中，∵∠BHG=90°，∴tan∠DBG=，∴tan∠DBG=．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用线段和差关系求出线段BC，CG是解题的关键．25．植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元．（1）求购进A、B两种树苗的单价；（2）若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元．则由等量关系列出方程组解答即可；（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式解答即可．【解答】解：设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元，可得：，解得：，答：B树苗的单价为300元，A树苗的单价为200元；（2）设购买A种树苗a棵，则B种树苗为（30﹣a）棵，可得：200a+300（30﹣a）≤8000，解得：a≥10，答：A种树苗至少需购进10棵．【点评】本题考查了方程组的应用，一元一次不等式组应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．26．如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．（1）求证：∠DAF=∠ABO；（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=，EH=2，求线段CG的长．【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【专题】综合题．【分析】（1）连接AO，如图1，由OA=OB可得∠OAB=∠OBA，要证∠DAF=∠ABO，只需证∠DAF=∠BAO，只需证∠FAO=∠DAB=90°即可；（2）由于BC=2OA，要证BC=2AF，只需证OA=AF，只需证△AFD≌△AOB即可；（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2，易得BE=2IE，DE=2EC，DI=2AF=BC，从而可得EC=3IE=BE．设BE=2x，则有EC=3x，BC=5x，HO=BO=，EO=．在Rt△HEO中运用勾股定理可求出x．利用三角函数可得BN=2AN=4NC，则有BC=5NC=10，从而可求出NC、ON，易证△AON∽△GOA，根据相似三角形的性质可求出OG，从而可求出CG．【解答】解：（1）连接AO，如图1．∵AF与⊙O相切于点A，∴OA⊥AF，即∠FAO=90°．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠DAB=90°，∴∠FAO=∠DAB=90°，∴∠DAF=∠BAO．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAF=∠ABO；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴∠DTB=90°+∠ABO．∵∠DTB=90°+∠D，∴∠D=∠ABO．在△AFD和△AOB中，，∴△AFD≌△AOB，∴AF=AO，∴BC=2OA=2AF；（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2．∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF，tan∠DAF=，∴tanB==，tanD==，∴BE=2IE，DE=2EC．又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°，∴∠FIA=∠FAI，∴FI=FA，∴DI=2AF=BC，∴DE﹣IE=BE+EC，∴2EC﹣IE=2IE+EC，∴EC=3IE=BE．设BE=2x，则有EC=3x，BC=5x，HO=BO=，EO=．在Rt△HEO中，根据勾股定理可得（）2+（2）2=（）2，解得x=2（舍负）．∵AN⊥BC，∠BAC=90°，∴∠NAC=∠ABC，∴tan∠NAC==，tan∠ABC==，∴BN=2AN=4NC，∴BC=5NC=10，∴NC=2，ON=5﹣2=3．∵∠AON=∠GOA，∠ANO=∠OAG=90°，∴△AON∽△GOA，∴=，∴=，∴OG=，∴CG=OG﹣OC=．【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，用含有x的代数式表示出OE、OH，并在Rt△HEO中运用勾股定理是解决第（3）小题的关键．27．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx﹣3与x轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，直线y=kx+3k经过点A，与y轴正半轴相交于点D，点P为第三象限内抛物线上一点，连接PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD=2∠PDC，若∠AEP+∠ADP=90°，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EF⊥PD，垂足为点G，EF与y轴相交于点F，连接PF，若sin∠PFC=，求PF的长．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）直接把A点坐标代入y=x2+bx﹣3求出b的值即可得到抛物线解析式为y=x2+2x﹣3；（2）如图2，由三角形外角性质得∠AEP=∠2+∠3，加上∠3=2∠1，则∠AEP=∠2+2∠1，再利用∠AEP+∠2=90°可∠1+∠2=45°，于是可判断△AOD为等腰直角三角形，则OD=OA=2，由此得到D点坐标为（0，2）；（3）过D作DH⊥y轴交PE的延长线于H，作PM⊥DH于M，PN⊥y轴于N，如图3，利用PM∥DN得到∠PDC=∠DPM，加上∠EPD=2∠PDC，则∠HPM=∠DPM，于是根据等腰三角形的性质可得MH=MD，接着判断四边形PNDM为矩形得到MD=PN，则DH=2PN，然后证明△DEH≌△DEF得到DH=DF，所以DF=2MD=2PN；再在Rt△PFN中利用正弦定义可得到PF=3PN，利用勾股定理得FN=PN，设P点坐标为（t，t2+2t﹣3），则DF=﹣2t，FN=﹣2t，于是可表示出ON=DF+FN﹣OD=﹣2t﹣2t﹣3，所以﹣2t﹣2t﹣3=﹣（t2+2t﹣3），解方程得到得t1=﹣，t2=3（舍去），所以PF=3PN=3．【解答】解：（1）把A（﹣3，0）代入y=x2+bx﹣3得9﹣3b﹣3=0，解得b=2，所以抛物线解析式为y=x2+2x﹣3；（2）如图2，∵∠AEP=∠2+∠3，而∠3=2∠1，∴∠AEP=∠2+2∠1，∵∠AEP+∠2=90°，∴∠2+2∠1+∠2=90°，∴∠1+∠2=45°，即∠ADO=45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∴OD=OA=2，∴D点坐标为（0，2）；（3）过D作DH⊥y轴交PE的延长线于H，作PM⊥DH于M，PN⊥y轴于N，如图3，∵PM∥DN，∴∠PDC=∠DPM，∵∠EPD=2∠PDC，∴∠HPM=∠DPM，而PM⊥DH，∴MH=MD，易得四边形PNDM为矩形，∴MD=PN，∴DH=2PN，∵EF⊥PD，∴∠GDF+∠DFG=90°，而∠PHD+∠HPM=90°，∴∠DFG=∠PHM，∵∠ADF=45°，∴∠HDE=45°，在△DEH和△DEF中，∴△DEH≌△DEF，∴DH=DF，∴DF=2MD=2PN，在Rt△PFN中，∵sin∠PFC==，∴PF=3PN，∴FN===2PN，设P点坐标为（t，t2+2t﹣3），则DF=﹣2t，FN=﹣2t，∴ON=DF+FN﹣OD=﹣2t﹣2t﹣3，∴﹣2t﹣2t﹣3=﹣（t2+2t﹣3），整理得t1=﹣，t2=3（舍去），∴PF=3PN=﹣3t=3．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；会应用三角形全等证明线段相等；理解锐角三角函数的定义．