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哈尔滨市道外区2016年中考数学第一次模拟试卷含答案解析2016年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学一模试卷一、选择题（1-10题，每题3分．共30分）1．﹣3的相反数是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．2．用科学记数法表示234000正确的是（）A．2.34×106 B．2.34×105 C．2.34×104 D．23.4×1043．下列计算正确的是（）A．2x﹣3x=x B．x2+x3=x5 C．x2ox3=x6 D．（xy）2=x2y24．如图图形中既是轴对称又是中心对称的图形是（）A． B． C． D．5．在反比例函数y=图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．﹣l≤k＜16．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图为（）A． B． C． D．7．如图，⊙O中，AD、BC是圆O的弦，OA⊥BC，∠AOB=50°，CE⊥AD，则∠DCE的度数是（）A．25° B．65° C．45° D．55°8．将抛物线y=2（x﹣1）2+1向右平移1个单位长度，再向下移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（）A．y=2x2+1 B．y=2（x﹣2）2+2 C．y=2（x﹣2）2 D．y=2x29．如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=5，则EC的长度为（）A．10 B．15 C．20 D．2510．甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时乙在甲前10千米；④3小时时甲追上乙．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．计算：=．12．把多项式2x2﹣4xy+2y2因式分解的结果为．13．函数y=﹣中自变量x的取值范围是．14．若x=﹣2是关x于的方程x2﹣4mx﹣8=0的一个解，则m的值为．15．不等式组的解集是．16．从一副没有"大小王"的扑克牌中随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是．17．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是度．18．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=24，M是BC的中点，若点P为线段AD上的一点，连接AM、PM，△PAM是以AP为腰的等腰三角形，则AP的长为．19．如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点为B′，AB′的延长线交DC于点F，若FC=2，则正方形的边长为．20．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO，若将直角三角形ABC绕着点A顺时针旋转，得到直角三角形AED，B、C的对应点分别为E、D，且点D落在CO的延长线上，连接BE交CO的延长线于点F，若CA=6，AB=18，则BF的长为．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各l0分，共计60分）21．先化简，再求代数式的值，其中a=tan60°﹣6sin30°．22．如图，是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点都在小正方形的顶点上，（1）请在图中分别画出以AB为边的等腰直角三角形ABC、等腰钝角三角形ABD，且使C、D两点都在小正方形的顶点上；（2）连接CD，请直接写出四边形ABCD的面积．23．为了让学生更好地进行体育锻炼，某校开展了"大课间"体育活动．为便于管理与场地安排，学校以小明所在班级为例，对学生参加各个体育项目进行了调查统计．并把调查的结果绘制了如下图所示的不完全统计图，请你根据下列信息回答问题：（1）在这次调查中，小明所在的班级参加篮球项目的同学有多少人？并补全条形统计图．（2）如果学校有800名学生，请估计全校学生中有多少人参加篮球项目．24．已知：如图，△ABC是⊙O内接三角形，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接MN，（1）求证：MN=BC；（2）过点A作⊙O的直径AD，连接BD，AG为过点A的圆切线，过点M作MG⊥AG，垂足为G，若cos∠BAD=，BD=20，求AG的长．25．美丽的雪花扮靓了我们可爱的家乡，但高速公路清雪刻不容缓．某高速公路维护站引进甲、乙两种型号的清雪车，已知甲型清雪车比乙型清雪车每天多清理路段6千米，甲型清雪车清理90千米与乙型清雪车清理60千米路段所用的时间相同．（1）甲型、乙型清雪车每天各清理路段多少千米？（2）此公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共20台，甲型每台30万元，乙型每台15万元，若在购款不超过360万元，甲型、乙型都购买的情况下，甲型清雪车最多可购买几台？26．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF=2∠EDC，交AD于点F．（1）求证：△ABF是等腰三角形；（2）如图2，BF的延长交AC于点G．若∠DAC=∠CBG，延长AC至点M，使GM=AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．27．已知：直线y=﹣x+3与x轴y轴分别交于点A、点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点C（0，2），点P（m，0）是线段OA上的一点（不与O、A重合），过点P作PM垂直x轴，交抛物线于点M，连接BM、AC、AM，设四边形ACBM的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点D是线段OP的中点，连接BD，当S取最大值时，试求直线BD与AC所成的锐角度数．2015年黑龙江省哈尔滨市道外区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（1-10题，每题3分．共30分）1．﹣3的相反数是（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：B．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．用科学记数法表示234000正确的是（）A．2.34×106 B．2.34×105 C．2.34×104 D．23.4×104【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：234000=2.34×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列计算正确的是（）A．2x﹣3x=x B．x2+x3=x5 C．x2ox3=x6 D．（xy）2=x2y2【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，即可解答．【解答】解：A、2x﹣3x=x，故错误；B、x2与xx3不是同类项，不能合并，故错误；C、x2ox3=x5，故错误；D、正确；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，解决本题的关键是熟记合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方的法则．4．如图图形中既是轴对称又是中心对称的图形是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．在反比例函数y=图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．﹣l≤k＜1【考点】反比例函数的性质．【分析】对于函数y=来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．【解答】解：∵反比例函数y=的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，∴1﹣k＜0，∴k＞1．故选：A．【点评】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式y=中k的意义不理解，直接认为k＜0，造成错误．6．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的主视图为（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．7．如图，⊙O中，AD、BC是圆O的弦，OA⊥BC，∠AOB=50°，CE⊥AD，则∠DCE的度数是（）A．25° B．65° C．45° D．55°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由OA⊥BC，根据垂径定理的即可求得=，又由圆周角定理可求得∠D=∠AOB=×50°=25°，再由CE⊥AD，即可求得∠DCE的度数．【解答】解：∵OA⊥BC，∴=，∴∠D=∠AOB=×50°=25°，∵CE⊥AD，∴∠DCE=90°﹣∠D=65°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．将抛物线y=2（x﹣1）2+1向右平移1个单位长度，再向下移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（）A．y=2x2+1 B．y=2（x﹣2）2+2 C．y=2（x﹣2）2 D．y=2x2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先利用顶点式得到抛物线y=2（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），再根据点平移的规律得到点（1，1）平移后对应点的坐标为（2，0），然后根据顶点式写出平移后抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），而点（1，1）向右平移1个单位长度，再向下移1个单位长度，所得对应点的坐标为（2，0），所以所求抛物线解析式为y=2（x﹣2）2．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9．如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=5，则EC的长度为（）A．10 B．15 C．20 D．25【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由DE∥BC得到=，于是可计算出AC的长，然后利用EC=AC﹣AE进行计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴=，∴AC=15．∴EC=AC﹣AE=15﹣5=10．故选A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．10．甲、乙两名自行车运动员同时从A地出发到B地，在直线公路上进行骑自行车训练．如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时乙在甲前10千米；④3小时时甲追上乙．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】一次函数的应用．【分析】利用图象中的数据判断四种说法是否合理即可．【解答】解：由图象可得：甲的速度为120÷3=40千米/小时，故①正确；乙的速度在0≤t≤1时，速度是50千米/小时，而在t＞1时，速度为（120﹣50）÷（3﹣1）=35千米/小时，故②错误；行驶1小时时，甲的距离为40千米，乙的距离为50千米，所以乙在甲前10千米，故③正确；3小时甲与乙相遇，即3小时时甲追上乙，故④正确；故选C．【点评】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的判断．二、填空题11．计算：=．【考点】二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：=3﹣=2．故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．12．把多项式2x2﹣4xy+2y2因式分解的结果为2（x﹣y）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣4xy+2y2=2（x2﹣2xy+y2）=2（x﹣y）2．故答案为：2（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．13．函数y=﹣中自变量x的取值范围是x≠﹣3．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，2x+6≠0，解得x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．若x=﹣2是关x于的方程x2﹣4mx﹣8=0的一个解，则m的值为．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣2代入方程x2﹣4mx﹣8=0列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：依题意，得（﹣2）2﹣4m×（﹣2）﹣8=0，解得：m=，故答案为：．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．15．不等式组的解集是x＜﹣2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】首先计算出两个一元一次不等式的解集，再根据小小取较小可得不等式组的解集．【解答】解：，由①得：x≤1，由②得：x＜﹣2，不等式组的解集为：x＜﹣2，故答案为：x＜﹣2．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16．从一副没有"大小王"的扑克牌中随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是．【考点】概率公式．【分析】让点数为8的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为8的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是=．故答案为．【点评】本题考查的是随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．17．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是150度．【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．【解答】解：扇形的面积公式=lr=240πcm2，解得：r=24cm，又∵l==20πcm，∴n=150°．故答案为：150．【点评】此题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角．18．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=24，M是BC的中点，若点P为线段AD上的一点，连接AM、PM，△PAM是以AP为腰的等腰三角形，则AP的长为13或．【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况：①当AP=AM时，根据勾股定理求出AM即可得出AP；（2）当AP=MP时，P在AM的垂直平分线上，证明△PEA∽△ABM，得出对应边成比例，即可求出AP．【解答】解：分两种情况：①当AP=AM时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，AD∥BC，∵M是BC的中点，∴BM=BC=12，∴AM===13，∴AP=13；（2）当AP=MP时，P在AM的垂直平分线上，如图所示：则∠AEP=90°=∠B，AE=AM=，∵AD∥BC，∴∠PAE=∠AMB，∴△PEA∽△ABM，∴，即，解得：AP=；故答案为：13或．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点为B′，AB′的延长线交DC于点F，若FC=2，则正方形的边长为8．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】认真审题，连接EF，可以证明△EB′F≌△ECF，进而可以证明△ABE∽△ECF，得出两个三角形的边之间的比例关系，据此即可得出本题的答案．【解答】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠C=90°，∵把△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点为B′，E为BC的中点，∴BE=EC=BB′，∠B=∠AB′E=∠EB′F=90°，∠AEB=∠AEB′在Rt△EB′F和Rt△ECF中，，∴在Rt△EB′F≌Rt△ECF中，∴∠B′EF=∠CEF，∴∠AEB+∠CEF=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴，即：，解得：BE=4，∴BC=8．【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及翻折变换时，对应的线段相等，对应的角相等，还考查了相似三角形的判定与性质，有一定的难度，注意认真总结．20．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO，若将直角三角形ABC绕着点A顺时针旋转，得到直角三角形AED，B、C的对应点分别为E、D，且点D落在CO的延长线上，连接BE交CO的延长线于点F，若CA=6，AB=18，则BF的长为14．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可得AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ACD=∠ABE，从而得到△AOC∽△FOB，根据相似三角形对应边成比例求出BF=OB，过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形三线合一的性质可得AO=2AH，再由△ACH∽△ABC求出AH，然后根据BO=AB﹣AO即可得解．【解答】解：∵△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转得到△ADE，∴AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE（为旋转角），∵∠ACD=（180°﹣∠CAD），∠ABE=（180°﹣∠BAE），∴∠ACD=∠ABE，又∵∠AOC=∠BOF，∴△AOC∽△FOB，∴，∵AC=OC，∴BF=OB，过点C作CH⊥AB于H，则AO=2AH，∵△ACH∽△ABC，∴AC2=AHoAB，∴62=18oAH，∴AH=2，∴AO=4，∴BF=BO=AB﹣AO=18﹣4=14．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，利用三角形相似求出BF=OB是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各l0分，共计60分）21．先化简，再求代数式的值，其中a=tan60°﹣6sin30°．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【专题】探究型．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由特殊角的三角函数值计算出a的值，把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=×=﹣，当a=tan60°﹣6sin30°=﹣6×=﹣3时，原式=﹣=﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．如图，是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点都在小正方形的顶点上，（1）请在图中分别画出以AB为边的等腰直角三角形ABC、等腰钝角三角形ABD，且使C、D两点都在小正方形的顶点上；（2）连接CD，请直接写出四边形ABCD的面积．【考点】作图-复杂作图；等腰直角三角形．【专题】计算题．【分析】（1）利用勾股定理计算出AB=5，象AB一样不在一条格线上可作出AC=5，则△ABC为等腰直角三角形；与A在同一格线上易作AD=5，则△ABD为等腰钝角三角形；（2）根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC进行计算．【解答】解：（1）如图，（2）如图，四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC=×5×5+×5×3=20．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此题的关键是充分利用网格的特点和用勾股定理计算出AB的长．23．为了让学生更好地进行体育锻炼，某校开展了"大课间"体育活动．为便于管理与场地安排，学校以小明所在班级为例，对学生参加各个体育项目进行了调查统计．并把调查的结果绘制了如下图所示的不完全统计图，请你根据下列信息回答问题：（1）在这次调查中，小明所在的班级参加篮球项目的同学有多少人？并补全条形统计图．（2）如果学校有800名学生，请估计全校学生中有多少人参加篮球项目．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据跳绳人数除以跳绳人数所占的百分比，可得抽测总人数，根据有理数的减法，可得参加篮球项目的人数，根据参加篮球项目的人数，可得答案；（2）根据全校学生人数乘以参加篮球项目所占的百分比，可得答案．【解答】解：（1）20÷40%=50（人），50﹣20﹣10﹣15=5（人），∴小明所在的班级参加篮球项目的同学有5人，正确补全图形（2）800×=80（人），∴估计全校学生中有80人参加篮球项目．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．已知：如图，△ABC是⊙O内接三角形，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，连接MN，（1）求证：MN=BC；（2）过点A作⊙O的直径AD，连接BD，AG为过点A的圆切线，过点M作MG⊥AG，垂足为G，若cos∠BAD=，BD=20，求AG的长．【考点】切线的性质；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．【分析】（1）由垂径定理和三角形的中位线的性质得到结论．（2）由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，解直角三角形得到AD，AB的长度，再由锐角三角函数解出结果．【解答】（1）证明：∵OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，∴点M、N分别是AB、AC的中点，MN是三角形ABC的中位线，∴MN=BC；（2）解：∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∵cos∠BAD=，BD=20，∴在直角三角形ABD中，可设AD=5k，AB=4K，根据勾股定理得：（5k）2﹣（4k）2202，∴k=（﹣舍去），∴AD=，AB=，∵AG是⊙O的切线，∴OA⊥AG，又∵MG⊥AG，∴∠GAD=90°=∠MGA，∴AD∥MG∴∠AMG=∠BAD∴sin∠AMG=sin∠BAD===，∴AG=AM=×AB=8，∴AG=8．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，切线的性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，掌握垂径定理是解题的关键．25．美丽的雪花扮靓了我们可爱的家乡，但高速公路清雪刻不容缓．某高速公路维护站引进甲、乙两种型号的清雪车，已知甲型清雪车比乙型清雪车每天多清理路段6千米，甲型清雪车清理90千米与乙型清雪车清理60千米路段所用的时间相同．（1）甲型、乙型清雪车每天各清理路段多少千米？（2）此公路维护站欲购置甲、乙两种型号清雪车共20台，甲型每台30万元，乙型每台15万元，若在购款不超过360万元，甲型、乙型都购买的情况下，甲型清雪车最多可购买几台？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设乙型清雪车每天各清理路段x千米，根据甲型清雪车清理90千米与乙型清雪车清理60千米路段所用的时间相同，列方程求解；（2）设购买甲型清雪车a台，则购买乙种型号清雪车（20﹣a）台，根据购款不超过360万元，列不等式求解．【解答】解：（1）设乙型清雪车每天各清理路段x千米，根据题意得，=，解此方程得：x=12，经检验：x=12是原方程的解，∴x+6=18．答：甲型清雪车每天清理路段18千米，乙型清雪车每天清理路段12千米；（2）设购买甲型清雪车a台，根据题意得：30a+15（20﹣a）≤360，解得：a≤4．答：最多可购买甲型清雪车4台．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，射出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．26．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE=AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF=2∠EDC，交AD于点F．（1）求证：△ABF是等腰三角形；（2）如图2，BF的延长交AC于点G．若∠DAC=∠CBG，延长AC至点M，使GM=AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）先利用等腰三角形ABC，得出∠ABD=∠ACD，再利用三角形外角定理得出∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠EDC，∠EDC+∠ACD=∠AED，再结合∠ABF=2∠EDC，即可求出结论．（2）延长CA至点H，使AG=AH，连接BH，由三角形中位线定理得出AG=BH，再得出△ABC是等边三角形，易证△BAH≌△BCM，可得出BH=BM，即可得出结论AG=BM．【解答】解：（1）∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∴∠ABD=∠ACD，∵∠BAD+∠ABD=∠ADE+∠EDC，∠EDC+∠ACD=∠AED，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=2∠EDC，∵∠ABF=2∠EDC，∴∠BAD=∠ABF，∴△ABF是等腰三角形；（2）如图2延长CA至点H，使AG=AH，连接BH，∵点N是BG的中点，∴AN=BH，∵∠BAD=∠ABF（1）中已证明，∠DAC=∠CBG，∴∠CAB=∠CBA，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=60°，∵GM=AB，AB=AC，∴CM=AG，∴AH=CM，在△BAH和△BCM中，∴△BAH≌△BCM（SAS），∴BH=BM，∴AN=BM．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，得出第（2）题中△ABC是等边三角形．27．已知：直线y=﹣x+3与x轴y轴分别交于点A、点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点C（0，2），点P（m，0）是线段OA上的一点（不与O、A重合），过点P作PM垂直x轴，交抛物线于点M，连接BM、AC、AM，设四边形ACBM的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点D是线段OP的中点，连接BD，当S取最大值时，试求直线BD与AC所成的锐角度数．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A、B坐标，代入二次函数解析式即可求出二次函数解析式；（2）根据题意作出辅助线，根据S=S梯形OPMB﹣+S△APM﹣S△OAC可得函数解析式；（3））由（2）中函数关系式得出m及S的值，根据点D是线段OP的中点得出D点坐标，利用待定系数法求出直线AC、BD的解析式，故可得出G点坐标，利用两点间的距离公式求出DG的长，过点D作DF⊥AC于点F，求出直线DF的解析式，故可得出F点的坐标，求出DF的长，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：（1）在y=﹣x+3中，当y=0时，x=4，所以A（4，0），当x=0时，y=3，所以B（0，3），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+3；（2）如图1所示，∵P（m，0），∴OP=m，PM=﹣m2+m+3∴S=S梯形OPMB+S△APM﹣S△OAC=（PM+OB）oOP+APoPM﹣OAoOC=（﹣m2+m+3+3）om+（4﹣m）（﹣m2+m+3）﹣×4×2=﹣m2+3m+2（0＜m＜4）；（3）∵由（2）知S=﹣m2+3m+2，∴当m=2时，S最大=5，∴P（2，0）．∵点D是线段OP的中点，∴D（1，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（4，0），C（0，2），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+2．设直线BD的解析式为y=ax+c（a≠0），∵B（0，3），D（1，0），∴，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣3x+3，∴，解得，∴G（，），∴DG===．过点D作DF⊥AC于点F，∵直线AC的解析式为y=﹣x+2，∴设直线DF的解析式为y=2x+d，∵D（1，0），∴2+d=0，解得d=﹣2，∴设直线DF的解析式为y=2x﹣2，∴，解得，∴F（，），∴DF==，∴sin∠DGF===，∴∠DGF=45°，即直线BD与AC所成的锐角是45°．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形面积公式、函数图象上点的坐标特征等知识，综合性强，值得关注．