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免费2017河北中考数学中档题型训练(四)三角形、四边形中的相关证明中考数学模拟试题试卷网中档题型训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近8年河北省中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．三角形的有关计算及证明【例1】(2016重庆B卷中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用"A"证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(A)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG，∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(A)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2016毕节中考)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．解：(1)∵△ABC≌△ADE且AB＝AC，∴AE＝AD，∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，∴在△AEC和△ADB中，AE＝AD，∠EAC＝∠DAB，AC＝AB，∴△AEC≌△ADB(S)；(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°.又由(1)得AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°.，∴△ABD是直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，∴BD＝22.又∵四边形ADFC是菱形，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝22－2.2．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE.∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.3．(2016石家庄四十一中模拟)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4,D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α(0<α≤180°)，记直线BD1与CE1的交点为P.(1)如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于__25__，线段CE1的长等于__25__；(直接填写结果)(2)如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；(3)①设BC的中点为M，则线段PM的长为__22__；②点P到AB所在直线的距离的最大值为__1＋3__．(直接填写结果)证明：(2)易证△D1AB≌△E1AC，∴BD1＝CE1，且∠D1BA＝∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BFA＝∠CFP.∵∠BFA＋∠D1BA＝90°，∴∠CFP＋∠E1CA＝90°，∴∠CPF＝∠FAB＝90°，∴BD1⊥CE1.4．(2016河南中考)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________.(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．解：(1)CB延长线上，a＋b；(2)①DC＝BE.理由如下：∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE,∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE；②BE长的最大值是4；(3)AM的最大值为3＋22，点P的坐标为(2－2，2)．四边形的有关计算及证明【例2】(2016邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【思路分析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积．【学生解答】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°，∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN，∴△EDM≌△FBN(A)，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD＝∠FBD.∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝13×90°＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝233，BE＝433，∴ED＝433，∴AD＝23.∴S△ABE＝12AB·AE＝233.S矩形ABCD＝AB·AD＝43，∴S菱形BFDE＝43－2×233＝833.[5．(2016南京中考)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.[(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M,N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形．要证?MNQP是菱形，只要证NM＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF,可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH.易证__EG＝FH__，__∠GME＝∠FQH__，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．证明：(1)∵EH平分∠BEF,∴∠FEH＝12∠BEF,∵FH平分∠DFE,∴∠EFH＝12∠DFE,∵AB∥CD,∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°.又∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°.同理可得：∠EGF＝90°，∠GFH＝90°，∴四边形GHFE是平行四边形．6．(2016邯郸二十五中模拟)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；(3)如图3，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．解：(1)FG＝CE(相等)；FG∥CE(平行)；(2)仍然成立；证明：设CF与DE相交于点M.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°.∵BF＝CE，∴△BCF≌△CDE，∴FC＝ED，∠DEC＝∠BFC.∵∠BFC＋∠FCE＝90°，∴∠DEC＋∠FCE＝90°，∴∠EMC＝90°，即FC⊥DE.∵GE⊥DE，∴GE∥FC.又∵EG＝DE，∴EG＝FC，∴四边形GECF是平行四边形，∴FG＝CE，FG∥CE；(3)成立．7．(2016襄阳中考)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD＝∠AFE，FD＝FE.∵EG∥CD，∴∠EGF＝∠AFD，∴∠EGF＝∠AFE，∴EG＝EF＝FD，∴EG綊FD，∴四边形EFDG是平行四边形．又∵FD＝FE，∴?EFDG是菱形；(2)连接ED交AF于点H，∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH＝GH＝12GF，EH＝DH＝12DE.∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt△FEH∽Rt△FAE，∴EFFH＝AFEF.即EF2＝FH·AF，∴EG2＝12AF·GF；(3)∵AG＝6，EG＝25，EG2＝12AF·GF，∴(25)2＝12AF·GF，∴(25)2＝12(6＋GF)GF.∵GF>0，∴GF＝4，∴AF＝10.∵DF＝EG＝25，∴AD＝BC＝AF2－DF2＝45，DE＝2EH＝EG2－（12GF）2＝8.∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，∴ECDF＝DEAF，即EC25＝810，∴EC＝855，∴BE＝BC－EC＝1255.