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免费2017河北中考数学中档题型训练(六)直角三角形的应用中考数学模拟试题试卷网中档题型训练(六)直角三角形的应用解直角三角形的应用是河北中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用"遇斜化直"的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．仰角、俯角问题【例1】(2016张家口二模)学习"利用三角函数测高"后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5m，并测得CD之间的距离为288m；已知红军亭高度为12m，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB.(3取1.732，结果保留整数)【思路分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．【学生解答】解：设AH＝xm,在Rt△EHG中，∵∠EGH＝45°，∴GH＝EH＝AE＋AH＝(x＋12)m.易知GF＝CD＝288m,∴HF＝GH＋GF＝x＋12＋288＝(x＋300)m.在Rt△AFH中，∵∠AFH＝30°，∴AH＝HF·tan∠AFH，即x＝(x＋300)·33，解得x＝150(3＋1)，∴AB＝AH＋BH≈409.8＋1.5＝411.3≈411(m).答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411m.1．(2016张家界中考)如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20m到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：由题意得∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE，∴BE＝DE＝20.在Rt△BEC中，BC＝BE·sin60°＝20×32＝103≈17.3(m)，∴AB＝BC－AC＝17.3－12＝5.3(m)．答：旗杆的高度是5.3m.2．(2016随州中考)某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：过点E作EF⊥AC于点F，EG⊥CD于点G,在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°，∴EG＝DE·sin30°＝1620×12＝810，又∵BC＝857.5，CF＝EG,∴BF＝BC－CF＝47.5,在Rt△BEF中，tan∠BEF＝BFEF＝tan30°，∴EF＝3BF,在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，设AB＝x,∵tan∠AEF＝AFEF，∴AF＝EF·tan∠AEF,∴AF＝3BF，∴x＋47.5＝3×47.5,∴x＝95.答：雕像AB的高度为95尺．方位角问题【例2】(2016石家庄二十八中二模)如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向(北偏西30°)以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【思路分析】(1)先由题意求得∠BCO＝90°，解Rt△OBC，求得BC的长，从而求得时间；(2)过点C作CD⊥OA于点D.设相遇处为E，在Rt△CDE中，用勾股定理得v的方程，解得两个v值，分别求出OE的长．【学生解答】解：(1)∵∠BOC＝90°－60°＝30°，∠CBO＝90°－30°＝60°，∴∠BCO＝90°，∴BC＝OB·cos60°＝120×12＝60(km)，∴快艇从港口B到小岛C需要的时间为6060＝1(h)；(2)如图，过点C作CD⊥OA于点D，设相遇处为点E，则OC＝OB·cos30°＝603(km)．在Rt△CDO中．∵∠COD＝30°，∴CD＝12OC＝303km，OD＝OC·cos30°＝90(km)．∵DE＝(90－3v)km，CE＝60km，∴CD2＋DE2＝CE2，即(303)2＋(90－3v)2＝602，解得v＝20或v＝40，∴当v＝20时，OE＝3×20＝60(km)；当v＝40时，OE＝3×40＝120(km)．3．(2016临沂中考)一艘轮船位于灯塔P的南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1)解：过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，在Rt△ACP中，∠ACP＝90°，∠APC＝60°，PA＝20.∵cos∠APC＝PCPA，sin∠APC＝ACPA，∴PC＝PA·cos60°＝20×12＝10，AC＝PA·sin60°＝20×32＝103，在Rt△BCP中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝10，∴AB＝AC－BC＝103－10＝10×1.732－10≈7.3.答：轮船向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．4．(2016乐山中考)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时.由题意，得∠ABC＝45°＋75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝60°，∴BD＝6，AD＝63，∴CD＝10x＋6.在Rt△ACD中，由勾股定理得：(14x)2＝(10x＋6)2＋(63)2，解此方程得x1＝2，x2＝－34(不合题意舍去)．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．坡度、坡比问题【例3】(2016巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6m，坝高20m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)【思路分析】分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形．【学生解答】解：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，由题意知BE＝CF＝20，BC＝EF＝6，∠D＝30°，在Rt△ABE中，i＝BEAE＝12.5，即20AE＝12.5，∴AE＝50，在Rt△CDF中，tan30°＝CFDF，即20DF＝33，∴DF＝203≈34.6，∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋34.6＝90.6(m)．答：坝底AD的长度为90.6m.5．(2016石家庄二十八中二模)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长602m，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.(下面两个小题结果都保留根号)(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？(2)一座建筑物GH距离A点33m远(即AG＝33m)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，建筑物GH高为多少米？解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，斜坡AB长602m，D是AB的中点，∴BD＝302m，∴DF＝BD·cos∠BDF＝302×22＝30(m)，BF＝DF＝30m．∵斜坡BE的坡比为3∶1，∴BFEF＝31，解得EF＝103m，∴DE＝DF－EF＝(30－103)m.答：休闲平台DE的长是(30－103)m；(2)设GH＝xm，则MH＝GH－GM＝(x－30)m，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(m)，在Rt△DMH中，tan30°＝MHDM，即x－3063＝33，解得x＝30＋213，∴建筑物GH高为(30＋213)m.6．(2015重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，且PE长为30m.(1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到1m)(2)已知坝高24m，坝长100m，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)解：(1)在直角△PEN中，EN＝PE＝30m，ME＝PEtan31°＝50m，则MN＝EM－EN＝20(m)．答：两渔船M、N之间的距离是20m；(2)过点D作DN′⊥AH于点N′.由题意得：tan∠DAB＝4，tanH＝47.在Rt△DAN′中，AN′＝DN′tan∠DAB＝244＝6(m)，在Rt△DHN′中，HN′＝DN′tanH＝2447＝42(m)．故AH＝HN′－AN′＝42－6＝36(m)．S△ADH＝12AH·DN′＝432(m2)．故需要填筑的土石方是V＝SL＝432×100＝43200(m3)．设原计划平均每天填筑xm3，则原计划43200x天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2xm3.根据题意，得：10x＋43200x－10－20·2x＝43200，解得x＝864.经检验，x＝864是原方程的解．答：施工队原计划平均每天填筑土石方864m3.