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免费2018年天津市中考数学题型专项复习训练(共6份)含真题分类汇编解析二次函数与最值问题1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为,最大值为4,求a,b应满足的条件;(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,得－9＋6(m－2)＋3=0,解得m=3,则二次函数为y=－x2＋2x＋3,∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4,∴顶点D的坐标为(1,4);(Ⅱ)把y=代入y=－x2＋2x＋3中,得=－x2＋2x＋3,解得x1=－,x2=,又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4),结合图象知－≤a≤1.当a=－时,1≤b≤,当－＜a≤1时,b=;(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,当x=0时,y=3,∴点C坐标为(0,3).当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:①如解图①,当DC=DP时,由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,∴点P坐标为(2,3);②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,过点D作x轴的平行线交y轴于点H,过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,∵HD=HC=1,PC=PD,∴HP是线段CD的垂直平分线.∵HD=HC,HP⊥CD,∴HP平分∠MHN,∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N,∴PM=PN.设P(m,－m2＋2m＋3),则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=,∴点P的坐标为(,)(解图中未标记此点)或(,);③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(,)或(,).图①图②图③第1题解图2.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过(m,b),(m＋1,a)两点,(Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;(Ⅲ)当b≥a,m＜0时,二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,求a的最大值.解:(Ⅰ)∵m=1,c=1,∴抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋1(a<0)过(1,b),(2,a)两点,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=－x2＋x＋1;(Ⅱ)依题意得,由②－①得b=－am,∵b≥a,∴－am≥a,∵a＜0,∴m≥－1;(Ⅲ)由(Ⅱ)得b=－am,代入①得am2－am2＋c=b,∴c=b=－am,∵b≥a,m＜0,∴－1≤m＜0,∵二次函数y=ax2＋bx＋c有最大值－2,∴=－2,∴=m2＋4m,∴=(m＋2)2－4,∵－1≤m＜0,∴－3≤(m＋2)2－4＜0,∴a≤－,∴a的最大值为－.3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y轴于A点,交直线x=4于B点.(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(xp,yp),一定满足yp≤2,求m的取值范围.解:(Ⅰ)由抛物线的对称轴公式可得x===m,∴抛物线的对称轴为直线x=m;(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,∴点A(0,2).∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,∴m=2,∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,∵A(0,2),∴要使0≤xp≤4时,始终满足yp≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.∴m≥2;当m＜0时,如解图②,m＜0时,yp≤2恒成立.综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.第3题解图4.已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).(Ⅰ)求抛物线的表达式;(Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围;(Ⅲ)若M(n2－4n＋6,y1)和N(－n2＋n＋,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5,把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,a=－1,∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1;(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3,∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,∴y的取值范围是－4≤y≤5;(Ⅲ)∵n2－4n＋6=(n－2)2＋2≥2,－n2＋n＋=－(n－)2＋2≤2,∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,∵N(－n2＋n＋,y2),∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2－n＋,y2),∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,∴①当n2－4n＋6＞n2－n＋时,即n＜时,y1＜y2;②当n2－4n＋6=n2－n＋时,即n=时,y1=y2;③当n2－4n＋6＜n2－n＋时,即n＞时,y1＞y2.5.已知抛物线y=ax2＋bx＋c与直线y=mx＋n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,－)和(m－b,m2－mb＋n),其中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;(Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.解:(Ⅰ)把点(0,－)代入抛物线,得:c=－;(Ⅱ)把点(0,－)代入直线得:n=－.把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得:a(m－b)2＋b(m－b)＋c=m2－mb＋n∵c=n=－,∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0,(a－1)m2－(a－1)o2bm＋(a－1)b2=0,(a－1)(m2－2bm＋b2)=0,(a－1)(m－b)2=0,若m－b=0,则(m－b,m2－mb＋n)与(0,－)重合,与题意不合,∴a=1,∵抛物线y=ax2＋bx＋c=x2＋bx－,b2－4ac=b2－4×(－)=b2＋2＞0,∴抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;(Ⅲ)y=x2＋bx－,顶点(－,－－),设抛物线y=x2＋bx－在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h,①当－＜－1时,即b＞2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),∴|H|=y0=＋b＞,在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0),∴|h|=|y0|=|－b|=b－＞,∴|H|＞|h|,∴这时|y0|的最小值大于,②当－1≤－≤0时,即0≤b≤2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),∴|H|=y0=＋b≥,当b=0时等号成立,在x轴下方与x轴距离最大的点是(－,－－),∴|h|=|－－|=≥,当b=0时等号成立,∴这时|y0|的最小值等于,③当0＜－≤1,即－2≤b＜0时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),∴|H|=y0=|1＋(－1)b－|=|－b|=－b＞,在x轴下方与x轴距离最大的点是(－,－－),∴|h|=|y0|=|－－|=＞,∴这时|y0|的最小值大于;④当1＜－时,即b＜－2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),∴|H|=－b＞,在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),∴|h|=|＋b|=－(b＋)＞,∴|H|＞|h|,∴这时|y0|的最小值大于,综上所述:当b=0,x0=0时,这时|y0|取最小值为.6.在平面直角坐标系中,直线l:y=x＋3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2＋mx＋n的图象经过点A.(Ⅰ)当m=4时,求n的值;(Ⅱ)设m=－2,当－3≤x≤0时,求二次函数y=x2＋mx＋n的最小值;(Ⅲ)当－3≤x≤0时,若二次函数y=x2＋mx＋n时的最小值为－4,求m、n的值.解:(Ⅰ)当y=x＋3=0时,x=－3,∴点A的坐标为(－3,0).∵二次函数y=x2＋mx＋n的图象经过点A,∴0=9－3m＋n,即n=3m－9,∴当m=4时,n=3m－9=3;(Ⅱ)抛物线的对称轴为直线x=－,当m=－2时,对称轴为x=1,n=3m－9=－15,∴当－3≤x≤0时,y随x的增大而减小,∴当x=0时,二次函数y=x2＋mx＋n取得最小值,最小值为－15.(Ⅲ)①当对称轴－≤－3,即m≥6时,在－3≤x≤0范围内,y随x的增大而增大,当x=－3时,y取得最小值0,不符合题意;②当－3＜－＜0,即0＜m＜6时,在－3≤x≤0范围内,x=－时,y取得最小值,∵二次函数最小值为－4,∴,解得:或(舍去),∴m=2,n=－3;③当－≥0,即m≤0时,在－3≤x≤0范围内,y随x的增大而减小,当x=0时,y取最小值,即n=－4,∴,解得:(舍去).综上所述:m=2,n=－3.7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2－2x＋c(c为常数)的对称轴为x=1.(Ⅰ)当c=－3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2－2x＋c上,求y1的最小值;(Ⅱ)若抛物线与x轴有两个交点,点A在点B左侧,且OA=OB,求抛物线的解析式;(Ⅲ)当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.解:(Ⅰ)当c=－3时,抛物线为y=x2－2x－3,∴抛物线开口向上,有最小值,∴y最小值===－4,∴y1的最小值为－4;(Ⅱ)抛物线与x轴有两个交点,①当点A、B都在原点的右侧时,如解图①,设A(m,0),∵OA=OB,∴B(2m,0),∵二次函数y=x2－2x＋c的对称轴为x=1,由抛物线的对称性得1－m=2m－1,解得m=,∴A(,0),∵点A在抛物线y=x2－2x＋c上,∴0=－＋c,解得c=,此时抛物线的解析式为y=x2－2x＋;②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②,设A(－n,0),∵OA=OB,且点A、B在原点的两侧,∴B(2n,0),由抛物线的对称性得n＋1=2n－1,解得n=2,∴A(－2,0),∵点A在抛物线y=x2－2x＋c上,∴0=4＋4＋c,解得c=－8,此时抛物线的解析式为y=x2－2x－8,综上,抛物线的解析式为y=x2－2x＋或y=x2－2x－8;(Ⅲ)∵抛物线y=x2－2x＋c与x轴有公共点,∴对于方程x2－2x＋c=0,判别式b2－4ac=4－4c≥0,∴c≤1.当x=－1时,y=3＋c;当x=0时,y=c,∵抛物线的对称轴为x=1,且当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,∴3＋c＞0且c＜0,解得－3＜c＜0,综上,当－1＜x＜0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为－3＜c＜0.第7题解图8.已知抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B两点.(Ⅰ)求m的取值范围;(Ⅱ)若m＜0,且点A在点B的左侧,OA:OB=3:1,试确定抛物线的解析式;(Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l∥x轴,将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y＝－x＋b与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且y0≥－5时,求b的取值范围.解:(Ⅰ)∵抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B两点,∴,由①得m≠1,由②得m≠0,∴m的取值范围是m≠0且m≠1;(Ⅱ)∵点A、B是抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴的交点,∴令y=0,即(m－1)x2＋(m－2)x－1=0.解得x1=－1,x2＝.∵m＜0,∴?1＜＜0.∵点A在点B左侧,∴点A的坐标为(－1,0),点B的坐标为(,0).∴OA=1,OB=.∵OA:OB=3:1,∴＝.∴m＝－2.∴抛物线的解析式为y＝－3x2?4x?1.(Ⅲ)∵点C是抛物线y＝－3x2?4x?1与y轴的交点,∴点C的坐标为(0,－1).依题意翻折后的图象如解图所示.令y=－5,即－3x2?4x?1＝－5.解得x1=,x2=－2.∴新图象经过点D(－2,－5).当直线y＝－x＋b经过D点时,可得b=－7.当直线y＝－x＋b经过C点时,可得b=－1.当直线y＝－x＋b(b＞?1)与函数y＝－3x2?4x?1的图象仅有一个公共点P(x0,y0)时,得－x0＋b＝－3x02?4x0?1.整理得3x02＋3x0＋b＋1＝0.由32－12(b＋1)=－12b－3=0,得b＝?.结合图象可知,符合题意的b的取值范围为－7≤b＜－1或b＞?.第8题解图9.如图,已知c＜0,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(x2＞x1),与y轴交于点C.(Ⅰ)若x2=1,BC=,求函数y=x2＋bx＋c的最小值;(Ⅱ)过点A作AP⊥BC,垂足为P(点P在线段BC上),AP交y轴于点M.若=2,求抛物线y=x2＋bx＋c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)∵x2=1,∴OB=1,∵BC=,∴OC==2,∴C(0,－2),把B(1,0),C(0,－2)代入y=x2＋bx＋c,得:0=1＋b－2,解得:b=1,∴抛物线的解析式为:y=x2＋x－2.转化为y=(x＋)2－;∴函数y=x2＋bx＋c的最小值为－;(Ⅱ)∵∠OAM＋∠OBC=90°,∠OCB＋∠OBC=90°,∴∠OAM=∠OCB,又∵∠AOM=∠BOC=90°,∴△AOM∽△COB,∴,∴OC=oOB=2OB,∵c＜0,x2＞0,∴－c=2x2,即x2=－.∵x22＋bx2＋c=0,将x2=－代入化简得:c=2b－4.抛物线的解析式为:y=x2＋bx＋c,其顶点坐标为(－,).令x=－,则b=－2x.y==c－=2b－4－=－4x－4－x2,满足点P在线段BC上的x最小取值,使P、C、M重合,此时C(0,c),B(－,0),A(2c,0),根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,－b=－＋2c=c,由c=2b－4,解得c=－1,所以b=－c=,x=－=－;所以自变量x的取值范围x≥－∴顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为:y=－x2－4x－4(x≥－).