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第5节二次函数的综合应用(10年15卷13考，1道，12分)玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)命题点1二次函数综合题(10年12考，仅2010～2012年未考)1.(2013重庆A卷25题12分)如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．(1)求点B的坐标；(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC.求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．第1题图2.(2008重庆28题10分)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3.(2014重庆B卷25题12分)如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．第3题图4.(2014重庆A卷25题12分)如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．第4题图5.(2015重庆B卷26题12分)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.(1)求直线AD的解析式；(2)如图①，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．第5题图拓展训练如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2－233x－2分别与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D.(1)判定△ABC的形状；(2)在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；(3)如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α(0°≤α≤90°)，∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．命题点2二次函数的实际应用(10年4考，2009～2012连续考查)6.(2009重庆25题10分)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系y＝－50x＋2600，去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月销售量 3.9万台 4.3万台(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？(2)由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施"家电下乡"政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值(保留一位小数)．(参考数据：34≈5.831，35≈5.916，37≈6.083，38≈6.164)7.(2012重庆25题10分)企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6，且x取整数)之间满足的函数关系如下表：月份x(月) 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1(吨) 12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12，且x取整数)之间满足二次函数关系式y2＝ax2＋c，其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用z1(元)与月份x之间满足函数关系式：z1＝12x，该企业自身处理每吨污水的费用z2(元)与月份x之间满足函数关系式：z2＝34x－112x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多，并求出这个最多费用；(3)今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a－30)%.为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．(参考数据：231≈15.2，419≈20.5，809≈28.4)第7题图答案1.解：(1)∵点A(－3，0)与点B关于直线x＝－1对称，∴点B的坐标为(1，0)；(2分)(2)∵a＝1，∴y＝x2＋bx＋c，∵抛物线过点(－3，0)，且对称轴为直线x＝－1，∴－b2＝－19－3b＋c＝0，解得b＝2c＝－3，∴抛物线解析式为y＝x2＋2x－3，∴点C的坐标为(0，－3)，(4分)①设点P的坐标为(x，y)，由题意得S△BOC＝12OB·OC＝12×1×3＝32，∴S△POC＝4S△BOC＝4×32＝6，(6分)当x>0时，S△POC＝12OC·x＝12×3×x＝6，∴x＝4，∴y＝42＋2×4－3＝21；(7分)当x<0时，S△POC＝12OC·(－x)＝12×3×(－x)＝6，∴x＝－4，∴y＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5，(8分)∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)；(9分)②如解图，设点A、C所在直线的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，第1题解图把A(－3，0)、C(0，－3)代入，得－3m＋n＝0n＝－3，解得m＝－1n＝－3，∴y＝－x－3，设点Q的坐标为(x，－x－3)，其中－3≤x≤0，∵QD⊥x轴，且点D在抛物线上，∴点D的坐标为(x，x2＋2x－3)，∴QD＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x＝－(x＋32)2＋94，(11分)∵－3<－32<0，∴当x＝－32时，QD有最大值94，∴线段QD长度的最大值为94.(12分)2.解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax＋c与y轴交于点C(0，4)且经过A(4，0)，可得0＝16a－8a＋c4＝c，解得a＝－12c＝4，(2分)∴所求抛物线的解析式为y＝－12x2＋x＋4；(3分)(2)设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G，如解图①.由－12x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴点B的坐标为(－2，0)，(4分)第2题解图①∴AB＝6，BQ＝m＋2，∵QE∥AC，∴∠BQE＝∠BAC，∠BEQ＝∠BCA，∴△BQE∽△BAC，∴EGCO＝BQBA，即EG4＝m＋26，∴EG＝2m＋43，(5分)∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m＋2)(4－2m＋43)＝－13m2＋23m＋83(6分)＝－13(m－1)2＋3.∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，0)；(7分)(3)存在．在△ODF中，①若DF＝DO，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD＝OD＝DF＝2，又∵在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，∴∠OAC＝45°，∴∠DFA＝∠OAC＝45°，∴∠ADF＝90°，此时，点F的坐标为(2，2)，由－12x2＋x＋4＝2，解得x1＝1＋5，x2＝1－5，此时，点P的坐标为：P(1＋5，2)或P(1－5，2);(8分)②若FO＝FD，过点F作FM⊥x轴于点M，如解图②，第2题解图②由等腰三角形的性质得：OM＝12OD＝1，∴AM＝3，∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3，∴F(1，3)，由－12x2＋x＋4＝3，解得x1＝1＋3，x2＝1－3；此时，点P的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)；(9分)③若OD＝OF，∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°，∴AC＝42，∴点O到AC的距离为22，而OF＝OD＝2＜22，∴此时不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形；综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：P(1＋5，2)或P(1－5，2)或P(1＋3，3)或P(1－3，3)．(10分)3.解：(1)当y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，(2分)当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，(3分)∴点A、B、C的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)；(4分)(2)设△BCM的面积为S，点M的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，则OC＝3，OB＝3，ON＝a，MN＝－a2＋2a＋3，BN＝3－a，根据题意，得S△BCM＝S四边形OCMN＋S△MNB－S△COB＝12(OC＋MN)·ON＋12MN·NB－12OC·OB＝12[3＋(－a2＋2a＋3)]a＋12(－a2＋2a＋3)(3－a)－12×3×3＝－32a2＋92a＝－32(a－32)2＋278，∴当a＝32时，S△BCM有最大值，(6分)此时，ON＝a＝32，BN＝3－a＝32，∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴∠PBN＝45°，∴PN＝BN＝32，根据勾股定理，得PB＝PN2＋BN2＝322，∴△BPN的周长＝PN＋BN＋PB＝32＋32＋322＝3＋322；(8分)(3)抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点E(1，0)，如解图，第3题解图设Q(1，y)，根据勾股定理CN2＝CO2＋ON2＝(32)2＋32＝454，过点Q作QD⊥y轴于点D，则D(0，y)，利用勾股定理可得：CQ2＝CD2＋DQ2＝(y－3)2＋12＝y2－6y＋10，NQ2＝QE2＋EN2＝y2＋14，∵△CNQ为直角三角形，∴有以下三种情况：①当CN2＋CQ2＝NQ2，即∠NCQ＝90°时，454＋y2－6y＋10＝y2＋14，解得y＝72，∴Q(1，72)；②当CN2＋NQ2＝CQ2，即∠CNQ＝90°时，454＋y2＋14＝y2－6y＋10，解得y＝－14，∴Q(1，－14)；③当CQ2＋NQ2＝CN2，即∠CQN＝90°时，y2－6y＋10＋y2＋14＝454，解得y＝3±112，∴Q(1，3＋112)或(1，3－112)．综上所述，△CNQ为直角三角形时，点Q的坐标为(1，3＋112)或(1，3－112)或(1，－14)或(1,72)．(12分)4.解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，令x＝0，得y＝3，则C(0，3)，(1分)令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3分)(2)由x＝－－22×（－1）＝－1得，抛物线的对称轴为直线x＝－1，(4分)设点M(x，0)，P(x，－x2－2x＋3)，其中－3＜x＜－1，∵P、Q关于直线x＝－1对称，设Q的横坐标为a，则a－(－1)＝－1－x，∴a＝－2－x，∴Q(－2－x，－x2－2x＋3)，(5分)∴MP＝－x2－2x＋3，PQ＝－2－x－x＝－2－2x，∴C矩形PMNQ＝2(MP＋PQ)＝2(－2－2x－x2－2x＋3)＝－2x2－8x＋2＝－2(x＋2)2＋10，∴当x＝－2时，C矩形MNPQ取最大值．(6分)此时，M(－2，0)，∴AM＝－2－(－3)＝1，设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则3＝b0＝－3k＋b，解得b＝3k＝1，∴直线AC的解析式为y＝x＋3，将x＝－2代入y＝x＋3，得y＝1，∴E(－2，1)，∴EM＝1，(7分)∴S△AEM＝12AM·ME＝12×1×1＝12；(8分)第4题解图(3)由(2)知，当矩形PMNQ的周长最大时，M横坐标为x＝－2，此时点Q(0，3)，与点C重合，∴OQ＝3，将x＝－1代入y＝－x2－2x＋3，得y＝4，∴D(－1，4)，如解图，过点D作DK⊥y轴于点K，则DK＝1，OK＝4，∴QK＝OK－OQ＝4－3＝1，∴△DKQ是等腰直角三角形，DQ＝2，(9分)∴FG＝22DQ＝22×2＝4，(10分)设F(m，－m2－2m＋3)，G(m，m＋3)，∵点G在点F的上方，∴FG＝(m＋3)－(－m2－2m＋3)＝m2＋3m，∵FG＝4，∴m2＋3m＝4，解得m1＝－4，m2＝1，当m＝－4时，－m2－2m＋3＝－(－4)2－2×(－4)＋3＝－5，当m＝1时，－m2－2m＋3＝－12－2×1＋3＝0，∴F点的坐标为(－4，－5)或(1，0)．(12分)5.解：(1)当y＝0时，即0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3.∴A(－1，0)，B(3，0)．当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．(1分)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点(1，4)，∴点C关于直线x＝1的对称点D(2，3)．(2分)设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，代入A(－1，0)，D(2，3)，得0＝－k＋b3＝2k＋b，解得k＝1b＝1，∴直线AD的解析式为y＝x＋1；(3分)(2)对于y＝x＋1，当x＝0时，y＝1，∴OE＝1＝OA，∴△AOE为等腰直角三角形．∵FG⊥AD，FH∥x轴，∴∠FHG＝∠EAO，∠FGH＝∠EOA，∴△FHG∽△EAO，∴△FGH是等腰直角三角形，∴FG∶GH∶FH＝1∶1∶2.(4分)设F(t，－t2＋2t＋3)，则点H的纵坐标为－t2＋2t＋3，代入y＝x＋1，得x＝－t2＋2t＋2，∴H(－t2＋2t＋2，－t2＋2t＋3)，∴FH＝(－t2＋2t＋2)－t＝－t2＋t＋2，(5分)∴C△FGH＝FG＋GH＋FH＝FH2＋FH2＋FH＝(2＋1)FH＝(2＋1)(－t2＋t＋2)＝－(2＋1)(t－12)2＋94(2＋1)，(6分)∴当t＝12时，C△FGH最大＝94(2＋1)＝942＋94；(7分)(3)(ⅰ)当点P在AM上方时，如解图①，过点M作MP⊥AM交y轴于P点，过P点作AM的平行线、过A点作PM的平行线，交点为点Q，直线AQ交y轴于点T.由作法知四边形AMPQ为平行四边形，且∠AMP＝90°，∴四边形AMPQ是符合题意的矩形．作MR⊥y轴于点R，设AM交y轴于点S.∵A(－1，0)，M(1，4)，∴RM＝OA＝1，又∵∠MRS＝∠AOS，∠MSR＝∠O，∴△MRS≌△AOS(A)，∴SO＝RS＝12OR＝2，∴SM＝12＋22＝5＝SA.(8分)∵∠MSR＝∠PSM，∠MRS＝∠PMS，∴△PMS∽△MRS，∴PSMS＝MSRS，∴PS＝MS2RS＝52.(9分)∵SM＝SA，∠PSM＝∠TSA，∠PMS＝∠T＝90°，∴△PMS≌△T(A)，∴PM＝AT，PS＝ST＝52.∵OS＝2，∴OT＝52－2＝12，∴T(0，－12)．在矩形AMPQ中，PM＝AQ，∴AQ＝AT.∵QT⊥AM，∴点Q、T关于AM成轴对称，∴T(0，－12)为所求的点；(10分)第5题解图(ⅱ)当点P在AM下方时，如解图②作矩形APQM，延长QM交y轴于点T.同(ⅰ)可知MQ＝AP＝TM，且AM⊥QT，则点Q关于AM的对称点为点T，此时ST与解图①中的SP相等，即TS＝52，又OS＝2，∴OT＝OS＋TS＝92，∴T(0，92)．(11分)综上所述，点T坐标为(0，－12)或(0，92)．(12分)拓展训练解：(1)结论：△ABC是直角三角形．理由如下：对于抛物线y＝12x2－233x－2，令y＝0，即12x2－233x－2＝0，解得x＝－233或23，∴A(－233，0)，B(23，0)，令x＝0得y＝－2，∴C(0，－2)，∴OA＝233，OC＝2，OB＝23，AB＝833，∴AC＝OA2＋OC2＝433，BC＝4，∴AC2＋BC2＝643，AB2＝643，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；(2)如解图①，设P(m，12m2－233m－2)，解图①S△BCP＝S△OCP＋S△OBP－S△OBC＝12×2m＋12×23×(－12m2＋233m＋2)－12×2×23＝－32(m－3)2＋332，∴m＝3，即P(3，－52)时，△PBC的面积最大，最大为332.(3)①如解图②，解图②∵EF垂直平分BC，∴E(0＋232，－2＋02)即E(3，－1)，tan∠EOH＝HEOH＝33，∴∠EOH＝30°，∠OEH＝60°，在Rt△BOC中，tan∠CBO＝COBO＝33，∴∠CBO＝30°，∵EF⊥BC，∴∠FEB＝90°，∠EDB＝60°，∵EH⊥OB，∴∠DEH＝30°，∠OED＝30°，∵EH＝1，∠DEH＝30°，∴DH＝33，当点K与点O重合，点T与点D重合时，△EKT为等腰三角形，易知TE＝TK＝33·EB＝233；②如解图③中，当TE＝KE时，作KN⊥CE于N，EQ⊥OC于Q，则四边形OQEH是矩形，解图③易知：HE＝1，∠CKN＝30°，∵∠QEH＝90°，∠KET＝30°，∴∠TEH＝60°－∠QEK，∵KN∥DE，∴∠EKN＝∠DEK，又∠KET＝∠DEH，∴∠DEK＝∠TEH，∴∠EKN＝∠TEH，∵ET＝EK，∠KNE＝∠EHT＝90°，∴△KEN≌△ETH(A)，∴KN＝EH＝1，在Rt△CNK中，易知CN＝33，CK＝233，∴EN＝2－33，∴TH＝EN＝2－33，∴OT＝433－2，OK＝2－233，∴KT2＝OK2＋OT2＝443－83，∴KT＝443－83；③当TK＝EK时，∠ETK＝∠TEK＝30°，∴∠EKT＝120°，而T在OB上，K在OC上，∴∠EKT最大为90°<120°，∴EK＝TK不成立．KT的值为233或443－83.6.解：(1)设p与x的函数关系为p＝kx＋b(k≠0)，根据题意，得k＋b＝3.95k＋b＝4.3，解得k＝0.1b＝3.8，∴p＝0.1x＋3.8，(2分)设月销售金额为w万元，则w＝py＝(0.1x＋3.8)(－50x＋2600)(3分)化简，得w＝－5x2＋70x＋9880，∴w＝－5(x－7)2＋10125，∴当x＝7时，w取得最大值，最大值为10125万元，答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大值为10125万元，(4分)(2)去年12月份每台的售价为－50×12＋2600＝2000元，去年12月份月销售量为0.1×12＋3.8＝5万台，(5分)根据题意，得2000(1－m%)×〔5(1－1.5m%)＋1.5〕×13%×3＝936，(8分)令m%＝t，原方程可化为7.5t2－14t＋5.3＝0，解得t1＝14＋3715，t2＝14－3715，∴t1≈1.339(舍去)，t2≈0.528.答：m的值约为52.8.(10分)7.解：(1)y1＝12000x(1≤x≤6，且x取整数)，(1分)y2＝x2＋10000(7≤x≤12，且x取整数)；(2分)(2)当1≤x≤6，x取整数时，W＝y1·z1＋(12000－y1)·z2＝12000x·12x＋(12000－12000x)·(34x－112x2)＝－1000x2＋10000x－3000.(3分)∵a＝－1000<0，x＝－b2a＝5，1≤x≤6，∴当x＝5时，W最大＝22000(元)；(4分)当7≤x≤12，且x取整数时，W＝2×(12000－y2)＋1.5y2＝2×(12000－x2－10000)＋1.5×(x2＋10000)＝－12x2＋19000，(5分)∵a＝－12<0，x＝－b2a＝0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x＝7时，W最大＝18975.5(元)，∵22000>18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；(6分)(3)由题意得12000(1＋a%)×1.5×[1＋(a－30)%]×(1－50%)＝18000.(8分)设t＝a%，整理得10t2＋17t－13＝0，解得t＝－17±80920.∵809≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈－2.27(舍去)，∴a≈57.答：a的整数值为57.(10分)