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免费2018年无锡市惠山区西漳镇中考数学一模试卷含答案试卷分析解析2018年江苏省无锡市惠山区西漳镇中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）﹣5的倒数是（）A．5 B．﹣5 C． D．﹣2．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）[来源:学科网ZXXK]A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠13．（3分）下列图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．x+x2=x3 B．2x+3x=5x C．（x2）3=x5 D．x6÷x3=x25．（3分）分式方程=的解为（）A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=96．（3分）下列说法中，正确的是（）A．为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式B．两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定C．抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是D．"打开电视，正在播放广告"是必然事件7．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（）A．15π B．24π C．20π D．10π8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B． C． D．39．（3分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）A． B．+1﹣ C．﹣ D．﹣110．（3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC=24，∠A=60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（）A．8π B．18 C．π D．36二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）11．（2分）分解因式：x3﹣2x2+x=．12．（2分）据统计，今年无锡南长区"古运河之光"旅游活动节期间，访问南长历史文化街区的国内外游客约908万人次，908万人次用科学记数法可表示为人次．13．（2分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1ox2），则直线l不经过第象限．14．（2分）命题"同位角相等"的逆命题是．15．（2分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB=5，AC=3，则tan∠ADC=．#T716．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3，当﹣2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为．17．（2分）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE=．18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为．（用含n的代数式表示，n为正整数）三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算6sin60°﹣（）﹣2﹣（2）化简：﹣20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3=0（2）解不等式组：21．（8分）已知：如图，?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=°和∠AEB=°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．22．（6分）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了名学生；（2）在扇形统计图中，项目"主动质疑"所在的扇形的圆心角的度数为度；（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，"独立思考"的初三学生约有多少人？23．（6分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？24．（6分）如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？25．（10分）重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：z（元/m2） 50 52 54 56 58 …x（年） 1 2 3 4 5 …（1）求出z与x的函数关系式；（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．（参考数据：，，）26．（10分）已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB=，求点P的坐标；②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y=x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．27．（10分）如图1，直线AD对应的函数关系式为y=﹣2x﹣2，与抛物线交于点A（在x轴上），点D．抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连结CD，过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线AD与y轴交点为F，若点P由点D出发以每秒1个单位的速度沿DE边向点E移动，1秒后点Q也由点D出发以每秒3个单位的速度沿DC，CO，OE边向点E移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒，当PQ⊥DF时，求t的值；（图3为备用图）（3）如果点M是直线BC上的动点，是否存在一个点M，使△ABM中有一个角为45°？若存在，直接写出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．28．（12分）问题提出（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）．问题探究（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．问题解决：（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．2018年江苏省无锡市惠山区西漳镇中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）﹣5的倒数是（）A．5 B．﹣5 C． D．﹣【解答】解：﹣5的倒数是﹣．故选：D．2．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≠1【解答】解：由题意得，1﹣x≥0，解得x≤1．故选：C．3．（3分）下列图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、此图形不是轴对称图形，不合题意；B、此图形不是轴对称图形，不合题意；C、此图形是轴对称图形，符合题意；D、此图形不是轴对称图形，不合题意；故选：C．4．（3分）下列计算正确的是（）A．x+x2=x3 B．2x+3x=5x C．（x2）3=x5 D．x6÷x3=x2【解答】解：A、不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故A错误；B、系数相加字母部分不变，故B正确；C、底数不变指数相乘，故C错误；D、底数不变指数相减，故D错误；故选：B．5．（3分）分式方程=的解为（）A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9【解答】解：去分母得：2x=3x﹣9，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解，故选：D．6．（3分）下列说法中，正确的是（）A．为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式B．两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定C．抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是D．"打开电视，正在播放广告"是必然事件【解答】解：A．为检测我市正在销售的酸奶质量，此事件调查难度较大破坏性强，应该采用抽样调查的方式，故此选项正确；B．两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定，故此选项错误；C．抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是，故此选项错误；D．"打开电视，正在播放广告"是随机事件，故此选项错误；故选：A．7．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（）A．15π B．24π C．20π D．10π【解答】解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，所以圆锥的底面圆的面积=π×（）2=9π，圆锥的侧面积=×5×π×6=15π，所以圆锥的全面积=9π+15π=24π．故选：B．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B． C． D．3【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2∵S△ABC=oABoBC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵=2，∵△DEF∽△DAC，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△BEF=oEFoBH=×2×=，故选C．方法二：S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3，S△EDF=，∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=．故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）A． B．+1﹣ C．﹣ D．﹣1【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△BEG中，∠BED=45°，则GE=GB．在Rt△AFC中，∠A=45°，AC=，则AF=CF==1，在Rt△BFC中，∠ABC=30°，CF=1，则BC=2CF=2，BF=CF=，设DF=x，CE=DE=y，则BD=﹣x，∴△CDF∽△BDG，∴==，∴==，∴DG=，BG=，∵GE=GB，∴y+=，∴2y2+x（﹣x）=﹣x，在Rt△CDF中，∵CF2+DF2=CD2，∴1+x2=4y2，∴+x（﹣x）=﹣x，整理得：x2﹣（2+2）x+2﹣1=0，解得x=1+﹣或1+﹣（舍弃），∴BD=﹣x=﹣1．故选：D．10．（3分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC=24，∠A=60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为（）[来源:Z§xx§k.Com]A．8π B．18 C．π D．36【解答】解：如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．∵OH⊥BC，∴BH=CH=12，∵∠A=60°，∴∠COH=60°，∴∠OCH=30°，[来源:Zxxk.Com]∴OC==8，∵∠CEO=90°，∴当E的运动轨迹是以OC为直径的园弧，圆心角为240°，∴点E经过的路径长==π，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）11．（2分）分解因式：x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2．【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2．故答案为：x（x﹣1）2．12．（2分）据统计，今年无锡南长区"古运河之光"旅游活动节期间，访问南长历史文化街区的国内外游客约908万人次，908万人次用科学记数法可表示为9.08×106人次．【解答】解：将908万用科学记数法表示为9.08×106．故答案为：9.08×106．13．（2分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣6=0有两个实数根x1、x2，直线l经过点A（x1+x2，0）、B（0，x1ox2），则直线l不经过第二象限．【解答】解：∵x1+x2=3，x1ox2=﹣6，∴A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，﹣6），设直线l的解析式为y=kx+b，把A（3，0），B（0，﹣6）代入得，解得，∴直线l的解析式为y=2x﹣6，∵k=2＞6，∴直线l过第一、三象限，∵b=﹣6＜0，∴直线l与y轴的交点在x轴下方，∴直线l不经过第二象限．故答案为二．14．（2分）命题"同位角相等"的逆命题是相等的角是同位角．【解答】解：命题"同位角相等"的逆命题是相等的角是同位角，故答案为：相等的角是同位角．15．（2分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB=5，AC=3，则tan∠ADC=．#T7【解答】解：∵AB是直径，AB=5，AC=3，∴BC=，∴tan∠ADC=tan∠B=，故答案为：16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3，当﹣2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为﹣5≤y≤4．【解答】解：y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∵x=﹣1时，y=4，x=2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5，∴当﹣2≤x≤2时，﹣5≤y≤4．故答案为：﹣5≤y≤4．17．（2分）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是△A′B′C，点A的对应点A′落在中线AD上，且点A′是△ABC的重心，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE=4：3．【解答】证明：∵∠BAC=90°，A′是△ABC重心，∴BD=DC=AD，DA′=AA′=AD=BC，∵△A′CB′S是由△ABC旋转得到，∴CA′=CA，BC=CB′，∠ACB=∠A′CB′=∠DAC，∠CA′B′=90°，∴∠CAA′=∠CA′A=∠DAC，∠DA′B′+′CA′A=90°，∠B′+∠A′CB′=90°，∴∠DA′B′=∠B′∴DA′∥CB′，∴==，设DE=k，则EC=6k，BE=DC=7k，BE=8k，∴BE：CE=8k：6k=4：3．故答案为4：3．18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为24n﹣5．（用含n的代数式表示，n为正整数）【解答】解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A（8，4），∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n﹣1，由图可知，S1=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=，S2=×4×4+×（4+8）×8﹣×（4+8）×8=8，…，Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，Sn=o22n﹣2o22n﹣2=24n﹣5．故答案为：24n﹣5．三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算6sin60°﹣（）﹣2﹣（2）化简：﹣【解答】解：（1）原式=6×﹣9﹣2=﹣9（2）原式=+===20．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3=0（2）解不等式组：【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3=0x2﹣4x+4=3+4（x﹣2）2=7x=2±；（2），由①得：x＜﹣1．由②得：x＜，所以原不等式组的解集为：x＜﹣1．21．（8分）已知：如图，?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=45°和∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．【解答】（1）证明：∵O是CD的中点，∴DO=CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠OCE，在△ADO和△ECO中，∴△AOD≌△EOC（ASA）；（2）解：当∠B=45°和∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，∵∠B=45°和∠AEB=45°，∴∠BAE=90°，∵△AOD≌△EOC，∴AO=EO，∵DO=CO，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴BC=CE，∵∠BAE=90°，∴AC=CE，∴平行四边形ACED是菱形，∵∠B=∠AEB，BC=CE，∴AC⊥BE，∴四边形ACED是正方形．故答案为：45，45．22．（6分）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了560名学生；（2）在扇形统计图中，项目"主动质疑"所在的扇形的圆心角的度数为54度；（3）请将频数分布直方图补充完整；（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，"独立思考"的初三学生约有多少人？【解答】解：（1）调查的总人数是：224÷40%=560（人），故答案是：560；（2）"主动质疑"所在的扇形的圆心角的度数是：360×=54°，故答案是：54；（3）"讲解题目"的人数是：560﹣84﹣168﹣224=84（人）．；（4）在试卷评讲课中，"独立思考"的初三学生约有：6000×=1800（人）．23．（6分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有4各不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）请用树形图法或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况．（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少？【解答】解：（1）画树状图得：如图，可得某个同学抽签的所有等可能情况有16种；（2）∵小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，∴他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是=．24．（6分）如图：一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°，如果斑马线的宽度是AB=3米，驾驶员与车头的距离是0.8米，这时汽车车头与斑马线的距离x是多少？【解答】解：如图：延长AB．∵CD∥AB，[来源:学#科#网]∴∠CAB=30°，∠CBF=60°；∴∠BCA=60°﹣30°=30°，即∠BAC=∠BCA；∴BC=AB=3米；Rt△BCF中，BC=3米，∠CBF=60°；∴BF=BC=1.5米；故x=BF﹣EF=1.5﹣0.8=0.7米．答：这时汽车车头与斑马线的距离x是0.7米．25．（10分）重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：z（元/m2） 50 52 54 56 58 …x（年） 1 2 3 4 5 …（1）求出z与x的函数关系式；（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．（参考数据：，，）【解答】解：（1）由题意，z与x是一次函数关系，设z=kx+b（k≠0）把（1，50），（2，52）代入，得∴，∴z=2x+48．（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则W1=（）o（2x+48）=∵对称轴∴当x=3时，W1最大=243（百万元）当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则W2=（）o（2x+48）=∵对称轴∴当x=7时，W2最大=（百万元）∵243＞∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．（3）当x=6时，y=百万平方米=400万平方米当x=10时，y=百万平方米=350万平方米∵第6年可解决20万人住房问题，∴人均住房为：400÷20=20平方米．由题意：20×（1﹣1.35a%）×20×（1+a%）=350，设a%=m，化简为：54m2+14m﹣5=0，△=142﹣4×54×（﹣5）=1276，∴∵，∴m1=0.2，（不符题意，舍去），∴a%=0.2，∴a=20答：a的值为20．26．（10分）已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB=，求点P的坐标；②当点P的坐标为（0，2）时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y=x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．【解答】解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB==，∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC==4，∴C（6，4），∴K（4，2），∴P（0，2），故答案为（0，2）．（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y=x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4），∵MP是切线，∴MP2=MAoMB，∴MP=3，作PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴==，∴==，∴PK=，MK=，∴OK=﹣3，∴P（﹣3，）．27．（10分）如图1，直线AD对应的函数关系式为y=﹣2x﹣2，与抛物线交于点A（在x轴上），点D．抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连结CD，过点D作x轴的垂线，垂足为点E，直线AD与y轴交点为F，若点P由点D出发以每秒1个单位的速度沿DE边向点E移动，1秒后点Q也由点D出发以每秒3个单位的速度沿DC，CO，OE边向点E移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒，当PQ⊥DF时，求t的值；（图3为备用图）（3）如果点M是直线BC上的动点，是否存在一个点M，使△ABM中有一个角为45°？若存在，直接写出所有满足条件的M点坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，则﹣2x﹣2=0，解得x=﹣1，所以点A坐标（﹣1，0），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣6）在抛物线上，∴，解得，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x﹣6．（2）y=2x﹣2，令x=0，y=﹣2，∴F（0，﹣2），由解得或，∴点D坐标（2，﹣6）．∵点C（0，﹣6），∴CD⊥CF，∴∠DCF=90°，由题意：P点移动的路程为DP=t，Q点移动的路程为3（t﹣1）=3t﹣3，当Q点在CD上时，即0＜3t﹣3≤2时，1＜t≤时，如图1中，若PQ⊥DF，则有RT△QDP∽RT△FCD，∴=，即=，∴t=3，3＞，∴此时t不合题意．当点Q在CO上时，2＜3t﹣3≤8，＜t≤时，如图2中，过点P作PK⊥OC于K，∴CK=PD=t，CQ=3（t﹣1）﹣2=3t﹣5，若PQ⊥DF，则有RT△PKQ∽RT△FCD，∴=，即=，∴t=2，∵＜t≤，∴t=2符合题意．当点Q在OE上时，即8≤3t﹣3≤10，≤t≤时，如图3中，若PQ⊥DF，过点Q作QG∥DF交DE于G，则QG⊥QP，即∠GQP=90°，∴∠QPE＞90°，这与△QPE内角和为180°矛盾，此时PQ不与DF垂直，综上所述：当t=2时，有PQ⊥DF．（3）如图4中，构造等腰直角三角形△AEB，△AFB，使得AE=EB=AF=BF，∠AEB=∠AFB=90°，分别以E、F为圆心EA为半径画圆交直线BC于M3、M4，则∠AM3B=∠AM4B=45°，∵直线BC的解析式为y=2x﹣6，E（1，2），F（1，﹣2），设M（m，2m﹣6），由EM3=EA=2，可得（m﹣1）2+（2m﹣8）2=8，解得m=3或，∴M3（，），同法可得M4（，﹣），分别延长AE、AF交中线BC以M1、M2，此时∠M1AB=∠M2AB=45°，∵直线AE的解析式为y=x+1，由，解得，∴M1（7，6），同法可得M2（，﹣），综上所述，满足条件的点M坐标为（，）或（，﹣）或（7，6）或（，﹣）．28．（12分）问题提出[来源:Zxxk.Com]（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a+b（用含a，b的式子表示）．问题探究（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．问题解决：（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，故答案为：CB的延长线上，a+b；（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=3+6=9；（3）如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN，∵AN=AP=2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=，∴OE=BO﹣AB﹣AE=5﹣3﹣=2﹣，∴P（2﹣，）．（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD=∠CBM=60°，∴∠ABC=∠DBM，∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC=4=定值，∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2+2，∴AC的最大值为2+2．