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第二节锐角三角函数及解直角三角形的应用1．(山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(D)A．2 B.255  C.55  D.12(第1题图)(第2题图)2．(2017湖州中考)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)A.35 B.45 C.34 D.433．(2017广安中考)如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝45，BD＝5，则OH的长度为(D)A.23 B.56 C．1 D.76(第3题图)(第4题图)4．(金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4m，楼梯宽度1m，则地毯的面积至少需要(D)A.4sinθm2  B.4cosθm2C.4＋4tanθm2D．(4＋4tanθ)m25．(巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面1.2m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(B)A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC＝1.2tan10°mD．AB＝1.2cos10°m,(第5题图)),(第6题图))6．(2017鄂州中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝(D)A.34 B.43 C.35 D.457．(2016廊坊二模)如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2h后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0．6947)(B)A．22.48海里 B．41.68海里C．43.16海里 D．55.63海里8．(潍坊中考)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，测得BC＝6m，CD＝4m，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度．(结果保留根号)解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F.∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，又CD＝4，∴DF＝2，CF＝CD2－DF2＝23.由题意得∠E＝30°，∴EF＝DFtanE＝23，∴BE＝BC＋CF＋EF＝6＋43，∴AB＝BE×tanE＝(6＋43)×33＝(23＋4)m.答：电线杆的高度为(23＋4)m.第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似河北五年中考命题规律年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分2016 15 相似三角形判定 从一个三角形纸片剪下一个三角形，判定与原三角形相似条件 2 11 23 位似图形的性质 利用位似图形的性质证线段的数量和位置关系 9 2014 13 相似三角形、相似多边形的判定 根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似 3 32013 11 相似三角形的判定及性质 以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度 3 32017、2015年均未考查命题规律 纵观河北近五年中考，本考点共考查了4次，题型有选择题、解答题，分值2～11分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次(选择题).河北五年中考真题及模拟图形相似的判定及性质1．(2016河北中考)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C),A),B),C),D)2．(2014河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.图①图②乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(A)A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对图形的位似3．(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是(D)A．点MB．点NC．点OD．点P4．(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(A)A．87°B．60°C．75°D．120°5．(2017唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是(D)①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．A．4B．2C．1D．36．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A)A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5(第6题图)(第7题图)7．(2016石家庄二十八中一模)如图，在?ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC的周长为(D)A．11B．10C．9D．88．(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作(C)A．2条B．3条C．4条D．6条9．(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为(D)A．4B．2C．5D．310．(2016保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是(D)A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形11．(2016石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.(1)求证：AC＝AD＋CE；(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求DPPQ的值．解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.∴∠ADB＝∠EBC.又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(A)，∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；(2)过点Q作QH⊥BC于点H.则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，∴ADHP＝APHQ，BHBC＝QHEC.设AP＝x，QH＝y，则有BH3＝y5，∴BH＝3y5，PH＝3y5＋5－x，∴33y5＋5－x＝xy，即(x－5)·(3y－5x)＝0.又点P不与A，B重合，∴x≠5，即x－5≠0.∴3y－5x＝0，即3y＝5x.∴DPPQ＝xy＝35.12．(2016河北中考)如图①，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．(1)AE和ED的数量关系为________；AE和ED的位置关系为________；(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③.①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：GH＝HD，GH⊥HD.②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)解：(1)AE＝ED；AE⊥ED；(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°，AB＝BE＝EC＝DC.∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝12AB，EF＝12EB，∴∠GFE＝∠C.∵H是EC的中点，∴EH＝HC＝12EC，∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝12EB＋12EC＝12BC＝EC＝CD，∴△HGF≌△DHC.∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.∵∠HDC＋∠DHC＝90°，∴∠GHF＋∠DHC＝90°.∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD；②∵GH＝HD，GH⊥HD，∴∠FHG＋∠DHC＝90°.∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC.在△FGH和△CHD中，∠FGH＝∠CHD，∠GFH＝∠HCD，GH＝HD，∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.∵EF＝FG，∴EF＝CH.∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，∴BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴CH的长为k.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果ab＝bc，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项．3．比例的性质性质 内容性质1 ab＝cd?__ad__＝bc(a，b，c，d≠0)．性质2 如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd.
性质3 如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，则a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝__mn(不唯一)__.
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使ACAB＝__BCAC__，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质：(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．7．判定：(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；(3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：ABBC＝DEEF，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质：(1)相似多边形的对应边__成比例__；(2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤：(1)确定__位似中心__；(2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,中考重难点突破)比例的性质【例1】已知a5＝b4＝c3，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为________．【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可．【答案】－61．(2015沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则2x＋yz－y的值是(A)A．－5B．－103C.103D．5相似三角形的判定与性质【例2】(茂名中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为ts0<t<103，连接MN.(1)如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值；(2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．【解析】(1)△BMN与△ABC相似，分两种情况：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值．【答案】解：(1)由题意知BA＝62＋82＝10(cm)，BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴BN＝(8－2t)cm.①当△BMN∽△BAC时，有BMBA＝BNBC，∴3t10＝8－2t8，解得t＝2011；②当△BMN∽△BCA时，有BMBC＝BNBA，∴3t8＝8－2t10，解得t＝3223.∴当△BMN与△ABC相似时，t的值为2011或3223；(2)如图②，过点M作MD⊥CB于点D.由题意得BM＝3tcm，CN＝2tcm，DM＝BM·sinB＝3t·610＝95t(cm)，BD＝BM·cosB＝3t·810＝125t(cm)，∴CD＝8－125tcm.∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，∴∠CAN＝∠MCD.∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM.∴ACCD＝CNDM，∴68－125t＝2t95t，解得t＝1312.2．如图，不等长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是(B)A．甲、丙相似，乙、丁相似B．甲、丙相似，乙、丁不相似C．甲、丙不相似，乙、丁相似D．甲、丙不相似，乙、丁不相似3．(自贡中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：DE綊12BC.证明：∵D是AB的中点，E是AC的中点，∴ADAB＝12，AEAC＝12，∴ADAB＝AEAC.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴ADAB＝DEBC＝12，∠ADE＝∠B，∴BC＝2DE，BC∥DE，即DE綊12BC.位似图形【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是(D)A．(－2，3)B．(2，－3)C．(3，－2)或(－2，3)D．(－2，3)或(2，－3)【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.【答案】D4．(2016沧州八中二模)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为(B)A．(1，2)B．(1，1)C．(2，2)D．(2，1)