资源资源简介：

免费2015-2017学年文科真题分项解析—专题06：导数与函数的零点1.【2014全国1，文12】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是()（B）（C）（D）【答案】C，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递减;时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，即得：，可解得：，则．考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用【名师点睛】本题主要是考查函数的零点、导数在函数性质中的运用和分类讨论思想的运用，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.2.【2014高考广东卷.文21】(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)当时,试讨论是否存在,使得.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】(1),方程的判别式为,①当时,,则,此时在上是增函数；②当时,方程的两根分别为,,解不等式,解得或,解不等式,解得,此时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为；综上所述,当时,函数的单调递增区间为,当时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为；(2),若存在,使得,必须在上有解,,,方程的两根为,,,,依题意,,即,,即,又由得,故欲使满足题意的存在,则,所以,当时,存在唯一满足,当时,不存在满足.【考点定位】本题以三次函数为考查形式,考查利用导数求函数的单调区间,从中渗透了利用分类讨论的思想处理含参函数的单调区间问题,并考查了利用作差法求解不等式的问题,综合性强,属于难题.【名师点晴】本题主要考查的是函数的单调区间和函数与方程，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼"单调区间"，否则很容易出现错误．利用导数求函数的单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围就是递减区间．3.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数．(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点,求的取值范围.【答案】见解析(II)[【解析】试题分析：(I)先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.试题解析：(I)(i)设,则当时,；当时,.所以在单调递减,在单调递增.当时,,所以在单调递增,在单调递减.[③若,则,故当时,,当时,,所以在单调递增,在单调递减.(II)(i)设,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又,取b满足b<0且,则,所以有两个零点.(ii)设a=0,则所以有一个零点.(iii)设a<0,若,则由(I)知,在单调递增.又当时,<0,故不存在两个零点；若,则由(I)知,在单调递减,在单调递增.又当时<0,故不存在两个零点.综上,a的取值范围为.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.4.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数．【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点；当时，有两个零点．由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数．试题解析：（1），因为，所以，当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上所述，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，，令，即（）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，，所以与在无交点.当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.(ii)当时，，当时，，，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小因为所以结合图象不难得当时，与有两个交点.综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法．5.【2014湖南文21】已知函数.（1）求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有.【答案】(1)单调递减区间为,单调递增区间为.(2)详见解析(2)利用(1)问的结果可知函数在区间上是单调递减的,即在区间上至多一个零点,根据正余弦的函数值可得,再根据在区间上单调性和函数在区间端点处函数值异号可得函数在区间上有且只有一个零点,即,则依次讨论利用放缩法即可证明.试题解析:数求导可得,令可得,当时,.此时;当时,,此时,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,当时,;当时,;当时,,综上所述,对一切的,.【考点定位】导数单调性放缩法裂项求和【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是求导要精确；利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题．应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式．失误与防范1．研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域．2．利用单调性求最值时不要忽视f′(x)＝0的情况．3．"f′(x0)＝0"是"函数f(x)在x0取到极值"的必要条件．6.【2014四川，文21】已知函数，其中，为自然对数的底数。（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，证明：.【答案】（Ⅰ）当时，；当时，；当时，.（Ⅱ）的范围为.内存在零点，即在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解析：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则.所以当时，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.当时，在上单调递减，所以.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有.解得.所以，函数在区间内有零点时，.【考点定位】导数的应用及函数的零点.考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想，并考查思维的严谨性.【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后，在区间中分类讨论解不等式，求得函数在区间的单调区间，继而求得最小值；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．7.【2015高考四川，文21】已知函数f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.当x∈(1，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增(Ⅱ)由f'(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx则Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)由u'(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1即a0∈(0，1)当a＝a0时，有f'(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0再由(Ⅰ)知，f'(x)在区间(1，＋∞)上单调递增当x∈(1，x0)时，f'(x)＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题第(Ⅰ)问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导后，参数a消失，故函数的单调性是确定的，讨论也相对简单.第(Ⅱ)问需要证明的是：对于某个a∈(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一个最小值.因此，本题仍然要先讨论f(x)的单调性，进一步说明对于找到的a，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个等于0的点，也就是在(1，＋∞)上有且只有一个最小值点.属于难题.8.【2014全国1，文21】设函数，曲线处的切线斜率为0（1）求b;（2）若存在使得，求a的取值范围。（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.（ⅱ）若，则，故当时，；当时，，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意.（ⅲ）若，则.综上，a的取值范围是.考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用【名师点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法,考查了分类讨论的思想方法，本题发现讨论点即、和是解决本题的关键，本题考查了考生的推理能力和计算能力,属于难题.9.【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.【答案】（I）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II）见解析试题解析：（I）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.10.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.【答案】(1)；(2)分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围.试题解析：(1)当时，，故其对称轴为.当时，.当时，.当时，.综上，由于和，所以.当时，，由于和，所以.综上可知，的取值范围是.【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数b的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.11.【2015高考湖北，文21】设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；（Ⅱ）设，，证明：当时，.【答案】（Ⅰ），.证明：当时，，，故又由基本不等式，有，即（Ⅱ）由（Ⅰ）得⑤⑥当时，等价于⑦等价于⑧于是设函数，由⑤⑥，有当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，⑤，⑥当时，等价于，⑦等价于⑧设函数，由⑤⑥，有当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得.【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.12.【2014福建,文22】（本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为.（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有【答案】（1）当时，有极小值，无极大值.（2）见解析.（3）见解析.当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，有极小值，无极大值.（2）令，则.根据，知在R上单调递增，又，当时，由，即得.（3）思路一：对任意给定的正数c，取，根据.得到当时，.思路二：令，转化得到只需成立.分，，应用导数研究的单调性.思路三：就①，②，加以讨论.试题解析：解法一：（1）由，得.又，得.所以，.令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，有极小值，且极小值为，无极大值.（2）令，则.由（1）得，，即.所以在R上单调递增，又，所以当时，，即.（3）对任意给定的正数c，取，由（2）知，当时，.所以当时，，即.因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.解法二：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）令，要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只需，即成立.①若，则，易知当时，成立.即对任意，取，当时，恒有.②若，令，则，所以当时，，在内单调递增.取，，易知，，所以.因此对任意，取，当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.解法三：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）①若，取，由（2）的证明过程知，，所以当时，有，即.②若，令，则，令得.当时，，单调递增.取，，易知，又在内单调递增，所以当时，恒有，即.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.【名师点睛】本题第一问是先利用导数的几何意义求值，然后再用单调性探讨极值,第二问、第三问是不等式证明问题，利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.13.(2014课标全国Ⅰ，文21)设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得，求a的取值范围．分析：在第(1)问中，根据导数的几何意义将问题转化为f′(1)＝0，即可求出b的值；在第(2)问中，将条件"存在x0≥1，使得"转化为"在[1，＋∞)上，恒成立"，因此关键是求出f(x)在[1，＋∞)上的最小值．而f(x)解析式中含有参数a，故在求出f′(x)后，应对a的取值进行分类讨论，分别针对每一种情况求出f(x)的最小值，从而建立关于a的不等式，求出a的取值范围．由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．①若，则，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x0≥1，使得的充要条件为，即，解得.②若，则，故当时，f′(x)＜0；当时，f′(x)＞0.f(x)在单调递减，在单调递增．所以，存在x0≥1，使得的充要条件为.而，所以不合题意．③若a＞1，则.综上，a的取值范围是．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性、极值与最值，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题.注意选准分类的对象，分类不重不漏.14.【2014辽宁文21】（本小题满分12分）已知函数，.证明：（Ⅰ）存在唯一，使；（Ⅱ）存在唯一，使，且对（1）中的.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析故在上为增函数，再说明端点函数值异号；（Ⅱ）与（Ⅰ）类似，只需证明函数在区间上存在唯一零点．但是不易利用导数判断函数大致图象，考虑到结论中，故需考虑第二问与第一问的关系，利用（Ⅰ）的结论，设，则，，根据第一问中的符号，从而可判断函数的单调性，进而判断函数大致图象，确定函数的零点，寻求函数的零点与零点的关系，从而证明不等式．试题解析：证明：（Ⅰ）当时，，所以在上为增函数．又．．所以存在唯一，使．（Ⅱ）当时，化简得．令．记．．则．由（Ⅰ）得，当时，；当时，．从而在上为增函数，由知，当时，，所以在上无零点．在上为减函数，由及知存在唯一，使得．于是存在唯一，使得．设．．因此存在唯一的，使得．由于，，所以．【考点定位】１、函数的零点；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的性质、零点唯一性的判断、不等式的证明等.解答本题的主要困难是构造函数，并进一步应用导数研究函数的单调性等.本题是一道能力题，属于难题.在考查应用导数研究函数的性质、零点唯一性的判断、不等式的证明等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想想.