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免费2017年中考数学《反比例函数》专题含解析考点分类汇编反比例函数一、选择题（共8小题）1．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是（）A．（1，） B．（，1） C．（2，） D．（，2）4．如图，直线y=与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（）A．3 B．6 C． D．5．如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（）A．y=x B．y=x+1 C．y=x+2 D．y=x+36．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，cosA=，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣27．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）A．m=﹣3n B．m=﹣n C．m=﹣n D．m=n8．如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条二、填空题9．如图，点P是反比例函数y=（k＜0）图象上的点，PA垂直x轴于点A（﹣1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB=．（1）k的值是；（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是．10．如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是；点Pn的坐标是（用含n的式子表示）．11．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则k等于．12．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，则k=．13．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2=，a2013=；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是．15．如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°．点D在边AB上，将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，且∠C′DB′=60°．若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的解析式为．三、解答题（共15小题）16．如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点B在反比例函数（x＞0）图象上，△BOC的面积为8．（1）求反比例函数的关系式；（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF的面积最大？（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．18．通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．①求n的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式的解集．19．如图，一次函数y=kx+2的图形与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△COD=1，．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的边AC在x轴上，边BC⊥x轴，双曲线y=与边BC交于点D（4，m），与边AB交于点E（2，n）．（1）求n关于m的函数关系式；（2）若BD=2，tan∠BAC=，求k的值和点B的坐标．21．如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第一象限内交于点B，BC丄x轴于点C，OC=2AO．求双曲线的解析式．22．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DOoOC=BOoOA．24．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ．（1）求k的值；（2）判断△QOC与△POD的面积是否相等，并说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．26．如图，已知直线y=4﹣x与反比例函数y=（m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点．（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4﹣x＜的解集；（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．27．如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值．（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．28．如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．29．如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式；（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．30．如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．反比例函数参考答案与试题解析一、选择题1．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC=S△OAM=k，即OCoNC=OAoAM，而OC=OA，则NC=AM，在根据"SAS"可判断△OCN≌△OAM；根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，无法确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；根据S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，即可得到S四边形DAMN=S△OMN；作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=x﹣x=（﹣1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出x2=2+，所以ON2=（x）2=4+2，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为+1，从而得到C点坐标为（0，+1）．【解答】解：∵点M、N都在y=的图象上，∴S△ONC=S△OAM=k，即OCoNC=OAoAM，∵四边形ABCO为正方形，∴OC=OA，∠OCN=∠OAM=90°，∴NC=AM，∴△OCN≌△OAM，所以①正确；∴ON=OM，∵k的值不能确定，∴∠MON的值不能确定，∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，∴ON≠MN，所以②错误；∵S△OND=S△OAM=k，而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；作NE⊥OM于E点，如图，∵∠MON=45°，∴△ONE为等腰直角三角形，∴NE=OE，设NE=x，则ON=x，∴OM=x，∴EM=x﹣x=（﹣1）x，在Rt△NEM中，MN=2，∵MN2=NE2+EM2，即22=x2+[（﹣1）x]2，∴x2=2+，∴ON2=（x）2=4+2，∵CN=AM，CB=AB，∴BN=BM，∴△BMN为等腰直角三角形，∴BN=MN=，设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a﹣，在Rt△OCN中，∵OC2+CN2=ON2，∴a2+（a﹣）2=4+2，解得a1=+1，a2=﹣1（舍去），∴OC=+1，∴C点坐标为（0，+1），所以④正确．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】反比例函数综合题．【分析】作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F，易证△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则a的值即可求解．【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是（0，3）．令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）．则OB=3，OA=1．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，∵在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．代入y=得：k=4，则函数的解析式是：y=．∴OE=4，则C的纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G的坐标是（1，4），∴CG=2．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得C、D的坐标是关键．3．如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是（）A．（1，） B．（，1） C．（2，） D．（，2）【考点】反比例函数综合题．【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0），再求出b和a的关系和C点的坐标，由点C在双曲线上，求出a的值，进而求出B点坐标．【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0），∵三角形OAB是等边三角形，∴∠BOA=60°，在Rt△BOD中，tan60°==，∴b=a，∵点C是OB的中点，∴点C坐标为（，），∵点C在双曲线上，∴a2=，∴a=2，∴点B的坐标是（2，2），故选C．【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度不大．4．如图，直线y=与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为（）A．3 B．6 C． D．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（3x，x），由于OA=3BC，故可得出B（x，x+4），再根据反比例函数中k=xy为定值求出x【解答】解：∵将直线y=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y=x+4，分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF=OD，∵点B在直线y=x+4上，∴B（x，x+4），∵点A、B在双曲线y=上，∴3xox=xo（x+4），解得x=1，∴k=3×1××1=．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的特点求出k的值即可．5．如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（）A．y=x B．y=x+1 C．y=x+2 D．y=x+3【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】先把A点坐标和B点坐标代入反比例函数进行中可确定点A的坐标为（﹣3，1）、B点坐标为（﹣1，3），再作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，根据对称的性质得到C点坐标为（﹣3，﹣1），D点坐标为（1，3），CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用待定系数法确定PQ的解析式．【解答】解：分别把点A（a，1）、B（﹣1，b）代入双曲线y=﹣得a=﹣3，b=3，则点A的坐标为（﹣3，1）、B点坐标为（﹣1，3），作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐标为（﹣3，﹣1），D点坐标为（1，3），连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（﹣3，﹣1），D（1，3）分别代入，解得，所以直线CD的解析式为y=x+2．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式；熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题．6．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，cosA=，则k的值为（）A．﹣3 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2【考点】反比例函数综合题．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y=上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠BOF+∠EOA=90°，∵∠BOF+∠FBO=90°，∴∠EOA=∠FBO，∵∠BFO=∠OEA=90°，∴△BFO∽△OEA，在Rt△AOB中，cos∠BAO==，设AB=，则OA=1，根据勾股定理得：BO=，∴OB：OA=：1，∴S△BFO：S△OEA=2：1，∵A在反比例函数y=上，∴S△OEA=1，∴S△BFO=2，则k=﹣4．故选：B．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）A．m=﹣3n B．m=﹣n C．m=﹣n D．m=n【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），证明△BOE∽△OAF，利用对应边成比例可求出m、n的关系．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，∵∠OAB=30°，∴OA=OB，设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），则OE=﹣a，BE=，OF=b，AF=，∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，∴∠OBE=∠AOF，又∵∠BEO=∠OFA=90°，∴△BOE∽△OAF，∴==，即==，解得：m=﹣ab，n=，故可得：m=﹣3n．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的坐标，得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式，难度较大．8．如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选：A．【点评】本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．二、填空题9．如图，点P是反比例函数y=（k＜0）图象上的点，PA垂直x轴于点A（﹣1，0），点C的坐标为（1，0），PC交y轴于点B，连结AB，已知AB=．（1）k的值是﹣4；（2）若M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则a的取值范围是0＜a＜2或＜a＜．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）设P（﹣1，t）．根据题意知，A（﹣1，0），B（0，2），C（1，0），由此易求直线BC的解析式y=﹣2x+2．把点P的坐标代入直线BC的解析式可以求得点P的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k的值；（2）如图，延长线段BC交抛物线于点M，由图可知，当x＜a时，∠MBA＜∠ABC；作C关于直线AB的对称点C′，连接BC′并延长BC′交双曲线于点M′，当x＜a时，∠MBA＜∠ABC．【解答】解：（1）如图，PA垂直x轴于点A（﹣1，0），∴OA=1，可设P（﹣1，t）．又∵AB=，∴OB===2，∴B（0，2）．又∵点C的坐标为（1，0），∴直线BC的解析式是：y=﹣2x+2．∵点P在直线BC上，∴t=2+2=4∴点P的坐标是（﹣1，4），∴k=﹣4．故答案为：﹣4；解法二：用相似三角形由题意易得△CPA～CBO，∴∴∴AP=4，∴k=﹣4．（2）分类讨论①如图1，延长线段BC交双曲线于点M．由（1）知，直线BC的解析式是y=﹣2x+2，反比例函数的解析式是y=﹣．则，解得，或（不合题意，舍去）．根据图示知，当0＜a＜2时，∠MBA＜∠ABC；②如图，作C关于直线AB的对称点C′，连接BC′并延长交双曲线于点M′．∵A（﹣1，0），B（0，2），∴直线AB的解析式为：y=2x+2．直线CC′是与直线AB垂直的，根据两条直线垂直，两直线的斜率互为负倒数，即：k1ok2=﹣1可设CC′解析式为：y=﹣x+b，∵C（1，0），∴b=，∴CC′解析式为：y=﹣x+，∵AC=AC′=2，∴设C′点横坐标为：x，则纵坐标为：﹣x+，∴（﹣x﹣AO）2+（﹣x+）2=（AC′）2，解得：x1=﹣，x2=1（不合题意舍去），∴C′（﹣，），则易求直线BC′的解析式为：y=x+2，∴，解得：x1=，x2=，则根据图示知，当＜a＜时，∠MBA＜∠ABC．综合①②知，当0＜a＜2或＜a＜时，∠MBA＜∠ABC．故答案是：0＜a＜2或＜a＜．【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及分式方程组的解法．解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，解题的过程中，利用了"数形结合"的数学思想．10．如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是（+，﹣）；点Pn的坐标是（+，﹣）（用含n的式子表示）．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，根据△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3都是等腰直角三角形，可求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标．【解答】解：过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G，∵△P1OA1是等腰直角三角形，∴P1E=OE=A1E=OA1，设点P1的坐标为（a，a），（a＞0），将点P1（a，a）代入y=，可得a=1，故点P1的坐标为（1，1），则OA1=2，设点P2的坐标为（b+2，b），将点P2（b+2，b）代入y=，可得b=﹣1，故点P2的坐标为（+1，﹣1），则A1F=A2F=﹣1，OA2=OA1+A1A2=2，设点P3的坐标为（c+2，c），将点P3（c+2，c）代入y=，可得c=﹣，故点P3的坐标为（+，﹣），综上可得：P1的坐标为（1，1），P2的坐标为（+1，﹣1），P3的坐标为（+，﹣），总结规律可得：Pn坐标为：（+，﹣）．故答案为：（+，﹣），（+，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P1，P2，P3的坐标，从而总结出一般规律，难度较大．11．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则k等于﹣12．【考点】反比例函数综合题．【分析】设点C坐标为（a，），根据AC与BD的中点坐标相同，可得出点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，再由BC=2AB=2，可求出a的值，继而得出k的值．【解答】解：设点C坐标为（a，），（k＜0），点D的坐标为（x，y），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD的中点坐标相同，∴（，）=（，），则x=a﹣1，y=，代入y=，可得：k=2a﹣2a2①；在Rt△AOB中，AB==，∴BC=2AB=2，故BC2=（0﹣a）2+（﹣2）2=（2）2，整理得：a4+k2﹣4ka=16a2，将①k=2a﹣2a2，代入后化简可得：a2=4，∵a＜0，∴a=﹣2，∴k=﹣4﹣8=﹣12．故答案为：﹣12．方法二：因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a，向上平移b得到的．故设点C坐标是（﹣a，2+b），点D坐标是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0）根据K的几何意义，|﹣a|×|2+b|=|﹣1﹣a|×|b|，整理得2a+ab=b+ab，解得b=2a．过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，由已知易得AD=2，AH=a，DH=b=2a．AD2=AH2+DH2，即20=a2+4a2，得a=2．所以D坐标是（﹣3，4）所以|K|=12，由函数图象在第二象限，所以k=﹣12．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的知识，解答本题有两个点需要注意：①设出点C坐标，表示出点D坐标，代入反比例函数解析式；②根据BC=2AB=2，得出方程，难度较大，注意仔细运算．12．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，则k=﹣．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），判断出△OBF∽△AOE，利用对应边成比例可求出k的值．【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵∠AOE+∠BOF=90°，∠OBF+∠BOF=90°，∴∠AOE=∠OBF，又∵∠BFO=∠OEA=90°，∴△OBF∽△AOE，∴==，即==，则=﹣b①，a=②，①×②可得：﹣2k=1，解得：k=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特点，解答本题要求同学们能将点的坐标转化为线段的长度．13．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为（，）．【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少；然后根据△BDE∽△BCA，可得∠BDE=∠BCA=90°，推得直线y=x与直线DE垂直，再根据点D、E关于直线y=x对称，推得mn=3；最后根据点D在直线AB上，求出点n的值是多少，即可判断出点E的坐标是多少．【解答】解：如图1，∵点D、E是反比例函数y=（x＞0）的图象上的点，∴设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），又∵∠BCA=90°，AC=BC=2，∴C（n，0），B（n，2），A（n﹣2，0），设直线AB的解析式是：y=ax+b，则解得∴直线AB的解析式是：y=x+2﹣n．又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE=∠BCA=90°，∴直线y=x与直线DE垂直，∴点D、E关于直线y=x对称，∴=，∴mn=3，或m+n=0（舍去），又∵点D在直线AB上，∴=m+2﹣n，mn=3，整理，可得2n2﹣2n﹣3=0，解得n=或n=﹣（舍去），∴点E的坐标是（，）．故答案为：（，）．【点评】（1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．（2）此题还考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．14．（2013o北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为an，若a1=2，则a2=﹣，a2013=﹣；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是0、﹣1．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题；探究型．【分析】求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出a2013的值，根据题意可得A1不能在x轴上，也不能在y轴上，从而可得出a1不可能取的值．【解答】解：当a1=2时，B1的纵坐标为，B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2=﹣，A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2=﹣，B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3=﹣，A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3=﹣3，B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4=2，A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4=，即当a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，b5=﹣，∵=671，∴a2013=a3=﹣；点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即x≠0，点A1不能在x轴上（此时A2，在y轴上，找不到B2），即y=﹣x﹣1≠0，解得：x≠﹣1；综上可得a1不可取0、﹣1．故答案为：﹣；﹣；0、﹣1．【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．15．如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°．点D在边AB上，将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，且∠C′DB′=60°．若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的解析式为y=﹣．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】连接AC，求出△BAC是等边三角形，推出AC=AB，求出△DC′B′是等边三角形，推出C′D=B′D，得出CB=BD=B′C′，推出A和D重合，连接BB′交x轴于E，求出AB′=AB=2，∠B′AE=60°，求出B′的坐标是（3，﹣），设经过点B′反比例函数的解析式是y=，代入求出即可．【解答】解：连接AC，∵四边形OABC是菱形，∴CB=AB，∠CBA=∠AOC=60°，∴△BAC是等边三角形，∴AC=AB，∵将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，∴BD=B′D，CD=C′D，∠DB′C′=∠ABC=60°，∵∠B′DC′=60°，∴∠DC′B′=60°，∴△DC′B′是等边三角形，∴C′D=B′D，∴CB=BD=B′C′，即A和D重合，连接BB′交x轴于E，则AB′=AB=2，∠B′AE=180°﹣（180°﹣60°）=60°，在Rt△AB′E中，∠B′AE=60°，AB′=2，∴AE=1，B′E=，OE=2+1=3，即B′的坐标是（3，﹣），设经过点B′反比例函数的解析式是y=，代入得：k=﹣3，即y=﹣，故答案为：y=﹣．【点评】本题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，有一定的难度．三、解答题16．如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点O为原点，点B在反比例函数（x＞0）图象上，△BOC的面积为8．（1）求反比例函数的关系式；（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．若运动时间用t表示，△BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式，并求出当运动时间t取何值时，△BEF的面积最大？（3）当运动时间为秒时，在坐标轴上是否存在点P，使△PEF的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）首先利用三角形面积求出正方形边长，进而得出B点坐标，即可得出反比例函数解析式；（2）表示出△BEF的面积，再利用二次函数最值求法得出即可；（3）①作F点关于x轴的对称点F1，得F1（4，），经过点E、F1作直线求出图象与x轴交点坐标即可；②作E点关于y轴的对称点E1，得E1（，4），经过点E1、F作直线求出图象与y轴交点坐标即可．【解答】解：（1）∵四边形AOCB为正方形，∴AB=BC=OC=OA，设点B坐标为（a，a），∵S△BOC=8，∴，∴a=±4又∵点B在第一象限点B坐标为（4，4），将点B（4，4）代入得，k=16∴反比例函数解析式为；（2）∵运动时间为t，∴AE=t，BF=2t∵AB=4，∴BE=4﹣t，∴=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，∴当t=2时，△BEF的面积最大；（3）存在．当时，点E的坐标为（，4），点F的坐标为（4，）①作F点关于x轴的对称点F1，得F1（4，），经过点E、F1作直线由E（，4），F1（4，）代入y=ax+b得：，解得：，可得直线EF1的解析式是当y=0时，∴P点的坐标为（，0）②作E点关于y轴的对称点E1，得E1（，4），经过点E1、F作直线由E1（，4），F（4，）设解析式为：y=kx+c，，解得：，可得直线E1F的解析式是：当x=0时，∴P点的坐标为（0，），∴P点的坐标分别为（，0）或（0，）．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及待定系数法求反比例函数解析式和二次函数最值问题等知识，利用轴对称得出对应点是解题关键．17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y=（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y=（x＞0）得k=1×3=3；∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线上，∴y=∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=，BC=2∵△FBC∽△DEB，∴即：∴FC=∴点F的坐标为（0，）设直线FB的解析式y=kx+b（k≠0）则解得：k=，b=∴直线FB的解析式y=【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及矩形的性质，解题时注意点的坐标与线段长的相互转化．18．（2013o镇江）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．①求n的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式的解集．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题；几何变换．【分析】（1）直接把A点坐标代入y=ax即可求出a的值；利用反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点关于原点对称确定B点坐标；（2）①根据题意得到函数的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为y=，然后把M点坐标代入即可得到n的值；②根据题意易得图象C′的解析式为y=；图象l′的解析式为y=x﹣1；③不等式可理解为比较y=和y=x﹣1的函数值，由于y=和y=x﹣1为函数的图象和直线AB同时向右平移1个单位长度，得到的图象；而反比例函数的图象与正比例函数y=ax（a≠0）的图象的交点为A（2，2）和B（﹣2，﹣2），所以平移后交点分别为（3，2）和B（﹣1，﹣2），则当﹣1≤x＜1或x≥3时，函数y=的图象都在y=x﹣1的函数图象下方．【解答】解：（1）把A（2，2）代入y=ax得2a=2，解得a=1；∵反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象的交点关于原点对称，∴B点坐标为（﹣2，﹣2）；（2）①函数的图象向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象C′的解析式为y=，把M（2，4）代入得4=，解得n=1；②图象C′的解析式为y=；图象l′的解析式为y=x﹣1；③不等式的解集是：﹣1≤x＜1或x≥3．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、会确定反比例函数与一次函数的交点坐标以及待定系数法确定解析式；会运用图形的平移确定点的坐标和同时提高阅读理解能力．19．如图，一次函数y=kx+2的图形与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△COD=1，．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）对于一次函数解析式，令x=0求出y的值，即可确定出D的坐标即可；（2）由PA与OD平行，得到直角三角形PAC与直角三角形DOC相似，由相似得比例求出PA的长，再由三角形COD面积求出OC的长，进而确定出OA的长，确定出P坐标，即可求出一次函数与反比例函数解析式；（3）由一次函数与反比例函数解析式，及P坐标，根据图象确定出满足题意x的范围即可．【解答】解：（1）在y=kx+2中，令x=0，得y=2，∴点D的坐标为（0，2）；（2）∵PA∥OD，∴Rt△PAC∽Rt△DOC，∵=，OD=2，∴==，解得：PA=6，由S△COD=1，可得：OCoOD=1，解得：OC=1，∴OA=2，∴P（2，6），把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=，则一次函数解析式为：y=2x+2和反比例函数解析式为：y=（x＞0）；（3）由图象知x＞2时，反比例函数y=＜6，一次函数y=2x+2＞6，则一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围x＞2．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的边AC在x轴上，边BC⊥x轴，双曲线y=与边BC交于点D（4，m），与边AB交于点E（2，n）．（1）求n关于m的函数关系式；（2）若BD=2，tan∠BAC=，求k的值和点B的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】探究型．【分析】（1）直接根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可；（2）过点E作EF⊥BC于点F，根据（1）中m、n的关系可得出DF=m，故BF=2﹣m，再由点D（4，m），点E（2，n）可知EF=4﹣2=2，再根据EF∥x轴可知tan∠BAC=tan∠BEF=，由此即可得出结论．【解答】解：（1）∵点D（4，m），点E（2，n）在双曲线y=上，∴4m=2n，解得n=2m；（2）过点E作EF⊥BC于点F，∵由（1）可知n=2m，∴DF=m，∵BD=2，∴BF=2﹣m，∵点D（4，m），点E（2，n），∴EF=4﹣2=2，∵EF∥x轴，∴tan∠BAC=tan∠BEF===，解得m=1，∴D（4，1），∴k=4×1=4，B（4，3）．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，构造出平行线，根据锐角三角函数的定义解答是解答此题的关键．21．如图，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与双曲线在第一象限内交于点B，BC丄x轴于点C，OC=2AO．求双曲线的解析式．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】先利用一次函数与图象的交点，再利用OC=2AO求得C点的坐标，然后代入一次函数求得点B的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可．【解答】解：由题意OC=2AO，∵当y=0时，x+=0，解得x=﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵OC=2OA，∴OC=2，∴点B的横坐标为2，代入直线，得y=，∴B（2，）．∵点B在双曲线上，∴k=xy=2×=3，∴双曲线的解析式为y=．【点评】本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是根据一次函数求出反比例函数与直线的交点坐标．22．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB=，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=，得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BMoFM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OBoAH，得出OB=AC=3，即可求出点C的坐标；（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．【解答】解：（1）过点A作AH⊥OB于H，∵sin∠AOB=，OA=10，∴AH=8，OH=6，∴A点坐标为（6，8），根据题意得：8=，可得：k=48，∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，由平行四边形性质可证得OH=BN，∵sin∠AOB=，∴AH=a，OH=a，∴S△AOH=oaoa=a2，∵S△AOF=12，∴S平行四边形AOBC=24，∵F为BC的中点，∴S△OBF=6，∵BF=a，∠FBM=∠AOB，∴FM=a，BM=a，∴S△BMF=BMoFM=aoa=a2，∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，∵点A，F都在y=的图象上，∴S△AOH=S△FOM=k，∴a2=6+a2，∴a=，∴OA=，∴AH=，OH=2，∵S平行四边形AOBC=OBoAH=24，∴OB=AC=3，∴ON=OB+OH=5，∴C（5，）；（3）存在三种情况：当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（，），P2（﹣，），当∠PAO=90°时，P3（，），当∠POA=90°时，P4（﹣，）．【点评】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（3）有三种情况，不要漏解．23．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DOoOC=BOoOA．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等．【解答】（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，∴AB是⊙P的直径．（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，∴S△AOB=BOoOA=×2n×2m=2mn=2×12=24．（3）证明：∵以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，∠COD=90°，∴DC是⊙Q的直径．若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，参照（2），同理可得：S△COD=DOoCO=24，则有：S△COD=S△AOB=24，即BOoOA=DOoCO，∴DOoOC=BOoOA．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．24．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ．（1）求k的值；（2）判断△QOC与△POD的面积是否相等，并说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）根据点B与点A关于y轴对称，求出B点坐标，再代入反比例函数解析式解可求出k的值；（2）设点P的坐标为（m，n），点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求出S△POD，根据AB∥x轴，OC=3，BC=4，点Q在线段AB上，求出S△QOC即可．【解答】解：（1）∵点B与点A关于y轴对称，A（﹣3，4），∴点B的坐标为（3，4），∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B．∴=4，解得k=12．（2）相等．理由如下：设点P的坐标为（m，n），其中m＞0，n＞0，∵点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴n=，即mn=12．∴S△POD=ODoPD=mn=×12=6，∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB∥x轴，OC=3，BC=4，∵点Q在线段AB上，∴S△QOC=OCoBC=×3×4=6．∴S△QOC=S△POD．【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性较强．25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）根据矩形性质得出AB=CD=2，AD=BC=4，即可得出答案；（2）设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），得出k=2（6﹣x）=6（4﹣x），求出x，即可得出矩形平移后A的坐标，代入反比例函数的解析式求出即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）．∴AB=CD=2，AD=BC=4，∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；（2）A、C落在反比例函数的图象上，设矩形平移后A的坐标是（2，6﹣x），C的坐标是（6，4﹣x），∵A、C落在反比例函数的图象上，∴k=2（6﹣x）=6（4﹣x），x=3，即矩形平移后A的坐标是（2，3），代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6，即A、C落在反比例函数的图象上，矩形的平移距离是3，反比例函数的解析式是y=．【点评】本题考查了矩形性质，用待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质的应用，主要考查学生的计算能力．26．如图，已知直线y=4﹣x与反比例函数y=（m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点．（1）如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4﹣x＜的解集；（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1，0）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）首先求出A点坐标，把将A（1，3）代入y=求出m，联立函数解析式求出B点坐标，进而求出不等式的解集；（2）点A、B在直线y=4﹣x上，则可设A（a，4﹣a），B（b，4﹣b）；以AB为直径的圆经过点P（1，0），则由圆周角定理得∠APB=90°，易证Rt△AMP∽Rt△PEB，列比例式求得a、b的关系式为：5（a+b）﹣2ab=17①；而点A、B又在双曲线上，可推出a、b是一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个根，得a+b=4，ab=m，代入①式求出m的值．【解答】解：（1）将x=1代入直线y=4﹣x得，y=4﹣1=3，则A点坐标为（1，3），将A（1，3）代入y=（m＞0，x＞0）得，m=3，则反比例函数解析式为y=，组成方程组得，解得，y=1，x=3，则B点坐标为（3，1）．当不等式4﹣x＜时，0＜x＜1或x＞3．（2）存在．点A、B在直线y=4﹣x上，则可设A（a，4﹣a），B（b，4﹣b）．如右图所示，过点A作AM⊥x轴于点M，则AM=4﹣a，PM=1﹣a；过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=4﹣b，PE=b﹣1．∵点P在以AB为直径的圆上，∴∠APB=90°（圆周角定理）．易证Rt△AMP∽Rt△PEB，∴=，即，整理得：5（a+b）﹣2ab=17①∵点A、B在双曲线y=上，∴a（4﹣a）=m，b（4﹣b）=m，∴a2﹣4a+m=0，b2﹣4b+m=0，∴a、b是一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个根，∴a+b=4，ab=m．代入①式得：5×4﹣2m=17，解得：m=．∴存在以AB为直径的圆经过点P（1，0），此时m=．【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练反比例函数和一次函数的性质，解答本题（2）问的时候一定注意三点构成圆的条件，此题难度较大．27．如图1，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）．（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？（2）如图2，在（1）的条件下，函数的图象与直线AB相交于C、D两点，若，求k的值．（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由A（m，0），B（0，n），可以表示出OA=m，OB=n，由三角形的面积公式就可以求出结论；（2）由（1）的结论可以求出点A点B的坐标，就可以求出直线AB的解析式，根据双曲线的对称性就可以求出S△OBD=S△OAC的值，再由三角形的面积公式就可以求出其值；（3）根据平移的性质可以求得△O′C′D′∽△O′CD，再由相似三角形的性质就可以求出就可以求出S△O′C′D′和S△O′CD的面积关系，从而可以求出S与运动时间t之间的函数关系式．【解答】解：（1）∵A（m，0），B（0，n），∴OA=m，OB=n．∴S△AOB=．∵m+n=20，∴n=20﹣m，∴S△AOB==m2+10m=﹣（m﹣10）2+50∵a=﹣＜0，∴抛物线的开口向下，∴m=10时，S最大=50；（2）∵m=10，m+n=20，∴n=10，∴A（10，0），B（0，10），设AB的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，y=﹣x+10．，∴设S△OCD=8a．则S△OAC=a，∴S△OBD=S△OAC=a，∴S△AOB=10a，∴10a=50，∴a=5，∴S△OAC=5，∴OAoy=5，∴y=1．1=﹣x+10，x=9∴C（9，1），∴1=，∴k=9；（3）移动后重合的部分的面积是△O′C′D′，t秒后点O的坐标为O′（t，0），O′A=10﹣t，O′E=10．∵C′D′∥CD，∴△O′C′D′∽△O′CD，∴，∴S=40o，∴（0＜t＜10）．【点评】本题考查了二次函数的最值的运用，反比例函数的图象的对称性的运用，相似三角形的相似比与面积之比的关系的运用，动点问题直线问题的运用，解答时求出函数的解析式及交点坐标是解答本题的关键．28．如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．【解答】解：（1）∵双曲线y=经过点D（6，1），∴=1，解得k=6；（2）设点C到BD的距离为h，∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD=×6oh=12，解得h=4，∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1﹣4=﹣3，∴=﹣3，解得x=﹣2，∴点C的坐标为（﹣2，﹣3），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线CD的解析式为y=x﹣2；（3）AB∥CD．理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，设点C的坐标为（c，），点D的坐标为（6，1），∴点A、B的坐标分别为A（c，0），B（0，1），设直线AB的解析式为y=mx+n，则，解得，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+1，设直线CD的解析式为y=ex+f，则，解得，∴直线CD的解析式为y=﹣x+，∵AB、CD的解析式k都等于﹣，∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．【点评】本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．29．如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式；（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式；（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．【解答】解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，∴S△OCF=xy=，∴xy=2，∴k=2，∴反比例函数解析式为y=（x＞0）；（2）该圆与y轴相离，理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，设OH=m，则tan∠AOB==，∴EH=m，OE=2m，∴E坐标为（m，m），∵E在反比例y=图象上，∴m=，∴m1=，m2=﹣（舍去），∴OE=2，EA=4﹣2，EG=，∵4﹣2＜，∴EA＜EG，∴以E为圆心，EA长为半径的圆与y轴相离；（3）存在．假设存在点F，使AE⊥FE，过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．∵△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，∴BC=FBocos∠FBC=x，FC=FBosin∠FBC=x，∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣x，∵AE⊥FE，∴AE=AFocosA=2﹣x，∴OE=OA﹣AE=x+2，∴OH=OEocos∠AOB=x+1，EH=OEosin∠AOB=x+，∴E（x+1，x+），F（4﹣x，x），∵E、F都在双曲线y=的图象上，∴（x+1）（x+）=（4﹣x）ox，解得：x1=4，x2=，当BF=4时，AF=0，不存在，舍去；当BF=时，AF=，BF：AF=1：4．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．30．（2013o义乌市）如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．【考点】反比例函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积；（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S四边形BQNC=2，求出OA=3，于是P点坐标求出；（3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长．【解答】解：（1）如图2，连接OP．S△PAB=S△PAO=xy=×6=3；（2）如图1，∵四边形BQNC是菱形，∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，∴BC=CQ=AQ，∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，在△ABQ和△ANQ中，，∴△ABQ≌△ANQ（SAS），∴∠BAQ=∠NAQ=30°，∴∠BAO=30°，∵S菱形BQNC=2=×CQ×BN，令CQ=2t=BQ，则BN=2×（2t×）=2t，∴t=1∴BQ=2，∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，∴AB=BQ=2，∵∠BAO=30°∴OA=AB=3，又∵P点在反比例函数y=的图象上，∴P点坐标为（3，2）；（3）∵OB=1，OA=3，∴AB=，易得△AOB∽△DBA，∴，∴BD=3，①如图3，当点Q在线段BD上，∵AB⊥BD，C为AQ的中点，∴BC=AQ，∵四边形BQNC是平行四边形，∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，∴==，∴BQ=CN=BD=，∴AQ==2，∴C四边形BQNC=2+2；②如图4，当点Q在射线BD的延长线上，∵AB⊥BD，C为AQ的中点，∴BC=CQ=AQ，∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，∴△BND∽△QAD∴==，∴BQ=3BD=9，∴AQ===2，∴C四边形BNQC=2AQ=4．【点评】本题主要考查反比例函数综合题的知识，此题涉及的知识有全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质以及菱形等知识，综合性较强，有一定的难度．