资源资源简介：

免费2017年春中考数学专题总复习课件+练习（六）几何综合题中考数学热点分类汇编专题复习(六)几何综合题1．(2016·德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD.点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)图1图2解：(1)证明：连接BD.∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝12BD，EH∥BD.∵F、G分别是BC、CD的中点，∴FG＝12BD，FG∥BD.∴EH＝FG，EH∥FG.∴中点四边形EFGH是平行四边形．(2)中点四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD.∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，即∠BPD＝∠APC.又∵PA＝PB，PC＝PD，∴△APC≌△BPD(SAS)．∴AC＝BD.∵点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，∴EF＝12AC，FG＝12BD.∴EF＝FG.又∵四边形EFGH是平行四边形，∴中点四边形EFGH是菱形．图3(3)当∠APB＝∠CPD＝90°时，如图3，AC与BD交于点O，BD与EF，AP分别交于点M，Q，中点四边形EFGH是正方形．理由如下：由(2)知：△APC≌△BPD，∴∠PAC＝∠PBD.又∵∠AQO＝∠BQP，∴∠AOQ＝∠APB＝90°.又∵EF∥AC，∴∠OMF＝∠AOQ＝90°.又∵EH∥BD，∴∠HEF＝∠OMF＝90°.又∵四边形EFGH是菱形，∴中点四边形EFGH是正方形．2．(2016·菏泽)如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数；(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝23CM＋233BN.图1图2解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE.∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.②由①得△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC＝180°－∠CDE＝130°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)证明：在等腰△DCE中，∵CD＝CE，∠DCE＝120°，CM⊥DE，∴∠DCM＝12∠DCE＝60°，DM＝EM.在Rt△CDM中，DM＝CM·tan∠DCM＝CM·tan60°＝3CM，∴DE＝23CM.由(1)，得∠ADC＝∠BEC＝150°，AD＝BE，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝120°.∴∠BEN＝60°.在Rt△BEN中，BE＝BNsin60°＝233BN.∴AD＝BE＝233BN.又∵AE＝DE＋AD，∴AE＝23CM＋233BN.3．(2016·东营)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H，交AF于点N.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图1图2图3解：(1)BD＝CF成立．证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝θ，AD＝AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)．∴BD＝CF.(2)①证明：由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN.又∵∠HNF＝∠AND，∴∠NHF＝∠NAD＝90°.∴HD⊥HF，即BD⊥CF.②连接DF，延长AB交DF于点M.在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.∵AD＝32，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝322＝3，FD＝6.∴MB＝3－2＝1，DB＝12＋32＝10.在Rt△BMD和Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF，∴△BMD∽△FHD.∴MDHD＝BDFD，即3HD＝106.∴DH＝9105.4．(2016·宁夏)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0＜x≤3)，解答下列问题：(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．解：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3.当运动x秒时，则AQ＝x，BP＝x，∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x.∴S△ADQ＝12AD·AQ＝12×4x＝2x，S△BPQ＝12BQ·BP＝12(3－x)x＝32x－12x2，S△PCD＝12PC·CD＝12·(4－x)×3＝6－32x.又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－(32x－12x2)－(6－32x)＝12x2－2x＋6＝12(x－2)2＋4，即S＝12(x－2)2＋4.∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x＝2.∴当0＜x≤2时，S随x的增大而减小；当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，又当x＝0时，S＝6，当S＝3时，S＝92.但x的范围内取不到x＝0，∴S不存在最大值．当x＝2时，S有最小值，最小值为4.(2)存在，理由：由(1)可知BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x.当QP⊥DP时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC，∴∠BPQ＝∠PDC.又∵∠B＝∠C，∴△BPQ∽△CDP.∴BQPC＝BPCD，即3－x4－x＝x3，解得x＝7＋132(舍去)或x＝7－132.∴当x＝7－132时，QP⊥DP.5．(2016·泰安)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图1)，求证：EB＝AD；(2)若将(1)中的"点D在线段AB上"改为"点D在线段AB的延长线上"，其他条件不变(如图2)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的"若∠A＝60°"改为"∠A＝90°"，其他条件不变，则EBAD的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)图1图2解：(1)证明：过D点作BC的平行线交AC于点F.∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠ABC＝60°.∴△ADF是等边三角形．∴AD＝DF，∠AFD＝60°.∴∠DFC＝180°－60°＝120°.∵∠DBE＝180°－60°＝120°，∴∠DFC＝∠DBE.又∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.∴△DBE≌△CFD(AAS)．∴EB＝DF.∴EB＝AD.(2)EB＝AD成立．理由如下：过D点作BC的平行线交AC的延长线于点F.同(1)可证△ADF是等边三角形，∴AD＝DF，∠AFD＝60°.∵∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DBE＝∠AFD.∵∠FDC＝∠DCE，∠DCE＝∠DEC，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD.∴△DBE≌△CFD(AAS)．∴EB＝DF.∴EB＝AD.(3)EBAD＝2.理由如下：如图3，过D点作BC的平行线交AC于点G.图3∵△ABC是等腰三角形，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBE＝180°－45°＝135°.∵DG∥BC，∴∠GDC＝∠DCE，∠DGC＝180°－45°＝135°.∴∠DBE＝∠DGC.∵∠DCE＝∠DEC，∴ED＝CD，∠DEC＝∠GDC.∴△DBE≌△CGD(AAS)．∴BE＝GD.∵∠ADG＝∠ABC＝45°，∠A＝90°，∴△ADG是等腰直角三角形．∴DG＝2AD.∴BE＝2AD.∴EBAD＝2.6．(2016·烟台)【探究证明】(1)在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：EFGH＝ADAB；【结论应用】(2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上．若EFGH＝1115，则BNAM的值为________；【联系拓展】(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．图1图2图3解：(1)证明：过点A作AP∥EF，交CD于点P，过点B作BQ∥GH，交AD于点Q.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC.∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形．∴AP＝EF，GH＝BQ.又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ.∴∠QAP＋∠AQB＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°.∴∠DAP＋∠DPA＝90°.∴∠AQB＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.∴APBQ＝ADAB.∴EFGH＝ADAB.(2)∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由(1)中的结论可得EFGH＝ADAB，BNAM＝ADAB，∴BNAM＝EFGH＝1115.故答案为1115.(3)连接AC，过点D作AB的平行线交BC的延长线于点E，作AF⊥AB交直线DE于点F.∵∠BAF＝∠B＝∠E＝90°，∴四边形ABEF是矩形．易证△ADC≌△ABC，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.∴∠FDA＋∠EDC＝90°.又∵∠EDC＋∠ECD＝90°，∴∠FDA＝∠ECD.又∵∠E＝∠F，∴△ADF∽△DCE.∴DEAF＝DCAD＝510＝12.设DE＝x，则AF＝2x，DF＝10－x.在Rt△ADF中，AF2＋DF2＝AD2，即(2x)2＋(10－x)2＝100，解得x1＝4，x2＝0(舍去)．∴AF＝2x＝8.∴DNAM＝AFAB＝810＝45.7．(2016·武汉)在△ABC中，P为边AB上一点．(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；(2)若M为CP的中点，AC＝2.①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．图1图2图3解：(1)证明：∵∠ACP＝∠B，∠CAP＝∠BAC，∴△ACP∽△ABC.∴ACAB＝APAC，即AC2＝AP·AB.(2)①作CQ∥BM交AB的延长线于点Q，则∠PBM＝∠Q.∵∠PBM＝∠ACP，∴∠ACP＝∠Q.又∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ.∴ACAQ＝APAC，即AC2＝AP·AQ.又∵M为PC的中点，BM∥CQ，∴设BP＝x，则BQ＝x.∴AP＝3－x，AQ＝3＋x.∴22＝(3－x)(3＋x)，解得x1＝5，x2＝－5(不合题意，舍去)．∴BP＝5.②BP＝7－1.作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0.∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝3.设AP0＝x，则P0Q＝PQ＝1－x，BP＝3－1＋x，∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴AP0MP＝P0CBP.∴MP·P0C＝12P0C2＝（3）2＋（1－x）22＝AP0·BP＝x(3－1＋x)．解得x＝7－3或x＝－7－3(舍去)．∴BP＝3－1＋7－3＝7－1.8．(2016·岳阳)数学活动--旋转变换(1)如图1，在△ABC中，∠ABC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′.求∠A′B′B的大小；(2)如图2，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝3，BC＝5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′.以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；②连接A′B，求线段A′B的长度；(3)如图3，在△ABC中，∠ABC＝α(90°＜α＜180°)，AB＝m，BC＝n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度(0°＜2β＜180°)得到△A′B′C，连接A′B和BB′.以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由．并求此条件下线段A′B的长度．(结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示)图1图2图3解：(1)由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝130°，CB＝CB′，∠BCB′＝50°，∴∠BB′C＝12(180°－∠BCB′)＝65°.∴∠A′B′B＝∠A′B′C－∠BB′C＝130°－65°＝65°.(2)①猜想：直线BB′与⊙A′相切．证明：由旋转得：∠A′B′C＝∠ABC＝150°，CB＝CB′，∠BCB′＝60°，∴∠BB′C＝12(180°－∠BCB′)＝60°.∴∠A′B′B＝∠A′B′C－∠BB′C＝150°－60°＝90°，即B′B⊥A′B′.又A′B′为半径，∴直线BB′与⊙A′相切．②由旋转得：A′B′＝AB＝3，B′C＝BC＝5，∠BCB′＝60°，∴△BCB′为等边三角形．∴BB′＝BC＝5.在Rt△A′B′B中，A′B＝（A′B′）2＋（BB′）2＝32＋52＝34.(3)满足的条件：α＋β＝180°.理由：在△BB′C中，∠BB′C＝180°－2β2＝90°－β，∴∠A′B′B＝α－∠BB′C＝α－(90°－β)＝α＋β－90°.∵α＋β＝180°，∴∠A′B′B＝α＋β－90°＝180°－90°＝90°，即B′B⊥A′B′.∴直线BB′与⊙A′相切．过点C作CD⊥BB′于点D.∴∠B′CD＝12∠BCB′＝β.在Rt△B′CD中，B′D＝B′C·sinβ＝BC·sinβ＝nsinβ，∴BB′＝2B′D＝2nsinβ.由α＋β＝180°得到△A′B′B为直角三角形，∴A′B＝（A′B′）2＋（BB′）2＝m2＋（2nsinβ）2＝m2＋4n2sin2β.9．(2016·宜昌)在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10.D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B，C不重合)．以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k>1)，EF∥BC.(1)求∠D的度数；(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.①连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP＝AD，求k的值．解：(1)∵AB2＋AC2＝62＋82＝102＝BC2，∴∠BAC＝90°.又∵△DEF∽△ABC，∴∠D＝∠BAC＝90°.(2)①四边形AGDH是正方形．证明：延长ED、FD分别交BC于点M、N.∵△DEF∽△ABC，∴∠E＝∠B.又∵EF∥BC，∴∠E＝∠EMC.∴∠B＝∠EMC.∴ED∥BA.同理FD∥AC.∴四边形AGDH是平行四边形．又∵∠FDE＝90°，∴四边形AGDH是矩形．又∵AD⊥GH，∴四边形AGDH是正方形．②当D点在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大．其理由是：如图1，点D在内部时，延长GD到D′，过D′作MD′⊥AC于点M，则四边形GD′MA的面积大于矩形AGDH的面积，∴当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大．按上述理由，只有当D点在BC边上时，面积才有可能最大．图1图2如图2，D在BC上时，易证明DG∥AC，∴△GDB∽△ACB.∴BGBA＝GDAC，即BA－AGBA＝AHAC.∴6－AG6＝AH8，即AH＝8－43AG.∴S矩形AGDH＝AG·AH＝AG×(8－43AG)＝－43AG2＋8AG＝－43(AG－3)2＋12.当AG＝3时，S矩形AGDH最大，此时DG＝AH＝4.即当AG＝3，AH＝4，S矩形AGDH最大．在Rt△BGD中，BD＝BG2＋DG2＝5，则DC＝BC－BD＝5.即D为BC上的中点时，S矩形AGDH最大．∴在Rt△ABC中，AD＝BC2＝5，∴PA＝AD＝5.延长PA交BC于点Q，∵EF∥BC，QP⊥EF，∴QP⊥BC.∴QP是EF、BC之间的距离．∴D到EF的距离为PQ的长．在Rt△ABC中，12AB·AC＝12BC·AQ，∴AQ＝4.8.又∵△DEF∽△ABC，∴k＝PQAQ＝PA＋AQAQ＝5＋4.84.8＝4924.10．(2016·河南)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为a＋b．(用含a，b的式子表示)图1(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．图2图3备用图解：(2)①DC＝BE.理由如下：∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.∴△CAD≌△EAB.∴DC＝BE.②BE长的最大值是4.(3)AM的最大值为3＋22，点P的坐标为(2－2，2)．提示：如图3，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，易得△APN是等腰直角三角形，AP＝2，∴AN＝22.由(1)知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如备用图)．∴AM＝NB＝AB＋AN＝3＋22.过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2.又∵A(2，0)，∴P(2－2，2)．