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免费2017年重庆市中考《题型7：几何图形探究题》课件+真题演练中考数学试卷考点分类汇编目录题型七几何图形旋转探究 2类型一几何图形旋转探究 2类型二几何图形动点探究 4类型三几何图形背景变换探究 4拓展类型几何图形折叠探究 4题型七几何图形旋转探究类型一几何图形旋转探究针对演练1.(2016甘孜州)如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG、AE.(1)求证：BG＝AE；(2)将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时(如图②所示)．①求证：BG⊥GE；②设DG与AB交于点M，若AG∶AE＝3∶4，求GMMD的值．第1题图2.四边形ABCD是正方形，点E在边BC上(不与端点B、C重合)，点F在对角线AC上，且EF⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG.(1)若AB＝72，BE＝2，求FG的长；(2)求证：DF＝2FG；(3)将图①中的△CEF绕点C按顺时针旋转，使边CF恰好在正方形ABCD的边BC上(如图②)，连接AE，点G仍是AE的中点，猜想BF与FG之间的数量关系，并证明你的猜想．第2题图3.(2016重庆南开九下半期考试)如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F，使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG于点H，连接AH，求证：FH＝2AH＋DH；(3)如图③，将线段AE绕点A旋转一定的角度α(0°<α<360°)得到线段AE′，连接CE′，点N始终为CE′的中点，连接DN.已知CD＝AE＝4，直接写出DN的取值范围．第3题图4.(2016重庆西大附中第七次月考)已知如图①，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作EF⊥AB交BC于F，连接AF，G为AF中点，连接EG，CG.(1)如果BE＝2，∠BAF＝30°，求EG，GC的长；(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取AF中点G，连接EG，CG.延长CG至M，使GM＝GC，连接EM、EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，取AF中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？证明你的结论．第4题图5.(2016重庆巴蜀中学上期期末考试)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF.(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，不需要证明；(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝22，求此时线段CF的长．第5题图6.(2016重庆育才二诊)菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E和点F分别是BC和CD上一动点，且∠EOF＋∠BCD＝180°，连接EF.(1)如图①，当∠ABC＝90°，若AC＝42，EC＝32，求线段EF的长；(2)如图②，当∠ABC＝60°时，求证：CE＋CF＝12AB；(3)如图③，当∠ABC＝90°时，将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O′处，∠EO′F绕点O′旋转，仍满足∠EO′F＋∠BCD＝180°，O′E交BC的延长线于点E，射线O′F交CD的延长线于点F，连接EF，探究在整个运动变化过程中，线段CE、CF，O′C之间满足的数量关系，并证明你的结论．第6题图答案类型一几何图形旋转探究针对演练1.(1)证明：∵AD为等腰直角△ABC的高，∴AD＝BD，∠BDG＝90°，∵四边形DEFG为正方形，∴∠GDE＝90°，DG＝DE，在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE(S)，∴BG＝AE.(2)①证明：如解图，第1题解图∵四边形DEFG为正方形，∴△DEG为等腰直角三角形，∴∠1＝∠2＝45°，∵DE＝DG，由(1)得AD＝BD，BG＝AE，∴△BDG≌△ADE(SSS)，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠1＋∠3＝45°＋45°＝90°，即∠BGE＝90°，∴BG⊥GE；②解：设AG＝3x，则AE＝4x，GE＝7x，∴DG＝22GE＝722x，∵△BDG≌△ADE，∴BG＝AE＝4x，在Rt△BGA中，AB＝BG2＋AG2＝＝5x，∵△ABD为等腰直角三角形，∴∠4＝45°，BD＝22AB＝522x，∴∠3＝∠4，又∵∠BDM＝∠GDB，∴△DBM∽△DGB，∴BD∶DG＝DM∶BD，即522x∶722x＝DM∶522x，解得：DM＝25214x，∴GM＝DG－DM＝722x－25214x＝1227x，∴GMMD＝＝2425.2.(1)解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，根据勾股定理得，AE＝AB2＋BE2＝10，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∵点G是AE中点，∴FG＝12AE＝5.(2)证明：连接BF，BG，如解图①，第2题解图①∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，∵AF＝AF，∴△AFD≌△AFB(S)，∴DF＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∵G为AE的中点，∴AG＝FG＝BG，∴∠GAF＝∠GFA，∠GAB＝∠GBA，又∵∠BAF＝45°，∴∠BGF＝∠EGF＋∠EGB＝∠GAF＋∠GFA＋∠GAB＋∠GBA＝45°＋45°＝90°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BF＝2FG，∵DF＝BF，∴DF＝2FG.(3)解：BF＝2FG.证明：连接BG，CG，如解图②，第2题解图②∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，根据旋转性质可知，∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝90°，∵点G是AE的中点，∴EG＝CG＝AG，∴△ABG≌△CGB(SSS)，∴∠ABG＝∠CBG＝12∠ABC＝45°，∵在△EFG和△CFG中，，∴△EFG≌△CFG(SSS)，∴∠EFG＋∠CFG＝360°－∠CFE＝360°－90°＝270°，∴∠EFG＝135°，∵∠BFE＝90°，∴∠BFG＝45°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BF＝2FG.3.(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.∵∠ECD＝30°，∴CD＝CE·cos30°＝4×32＝23，AD＝2CD＝43，又∵DE＝CE·sin30°＝4×12＝2,∴AE＝AD－DE＝43－2.∴△AEC的面积为：12×(43－2)×23＝12－23.(2)证明：如解图①，在HF上取点M，使MF＝DH,连接AM.第3题解图①∵AF∥DC，∴∠F＝∠DGH.∵DH⊥FG，∴∠DHG＝∠EDG＝90°，∴∠ADH＝∠DGH＝∠F.∵AF＝2CD，AD＝2CD，∴AF＝AD.在△AMF和△AHD中，∴△AMF≌△AHD(S)，∴AM＝AH，∠FAM＝∠DAH.∵∠FAM＋∠MAE＝90°，∴∠MAE＋∠DAH＝90°，即∠MAH＝90°，∴MH2＝2AH2,∴MH＝2AH，∴FH＝FM＋MH＝DH＋2AH，即FH＝2AH＋DH.(3)解：25－2≤DN≤25＋2.【解法提示】如解图②，取AC的中点O，连接DO、NO，则ON＝12AE′＝2.第3题解图②∵CD＝4，AD＝2CD＝8，∴AC＝AD2＋CD2＝42＋82＝45，∴OD－ON≤DN≤OD＋ON，∴DN的取值范围是25－2≤DN≤25＋2.4.(1)解：∵EF⊥AB，∠BAF＝30°，∴∠EFA＝60°，∵G是AF的中点，∴CG＝EG＝12AF＝GF，∴EG＝EF＝GF，∵∠B＝45°，∴BE＝EF＝2，∴GC＝EG＝EF＝2.(2)证明：连接MF，如解图①，第4题解图①在△AGC和△FGM中，∴△AGC≌△FGM(S)，∴AC＝FM，∠CAG＝∠MFG＝45°，由旋转性质可知，∠EBF＝∠BFE＝45°，BE＝EF，∴∠EFM＝∠EBC＝90°，∵BC＝AC＝MF，∴△BCE≌△FME，∴EC＝EM，∠BEC＝∠FEM，∴∠BEC＋∠CEF＝∠FEM＋∠CEF＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形．(3)解：GE⊥GC，EG＝GC.证明：连接EC，延长CG到M，使GM＝GC，如解图②，易证△ACG≌△FMG，得∠MFG＝∠CAG，MF＝CA＝CB，第4题解图②∵∠EBF＝∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠EFM＝360°－∠BFE－∠AFB－∠MFG＝360°－45°－(180°－∠ABF－∠BAF)－(45°＋∠BAF)＝90°＋∠ABF，∠CBE＝∠EBF＋∠ABF＋∠ABC＝90°＋∠ABF，∴∠CBE＝∠MFE，∵BE＝EF，∴△BCE≌△FME(S)，∴EC＝EM，∠BCE＝∠FME，∵∠ACG＝∠FMG，∴∠FME＋∠FMG＋∠MCE＝∠BCE＋∠ACG＋∠MCE，即∠EMG＋∠ECM＝∠ACB＝90°，∴∠MEC＝90°，∵CG＝MG，∴GE⊥GC，EG＝GC.5.解：(1)DF＝CF，DF⊥CF.【解法提示】∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，∴DF＝12BE，CF＝12BE，∴DF＝CF.∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，同理得：∠CFE＝2∠CBF，∴∠EFD＋∠EFC＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF＝CF，DF⊥CF.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如解图①所示，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G.第5题解图①∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.∵F为BE中点，∴EF＝BF.在△DEF和△GBF中，,∴△DEF≌△GBF(A)，∴DE＝GB，DF＝GF.∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，∴DC＝GC.∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF.(3)延长DF交BA于点H，如解图②，第5题解图②∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE，∴∠AED＝∠ABC＝45°.∵由旋转性质可知，∠CAE＝∠BAD＝90°，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF.∵F是BE的中点，∴EF＝BF，在△DEF和△HBF中，∴△DEF≌△HBF(A)，∴ED＝BH，∵AC＝22，∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝4，∵AD＝1，∴ED＝BH＝1，∴AH＝3，在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH＝10，∴DF＝102，∴CF＝DF＝102.6.(1)解：∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴OC⊥OD，OC＝OD，∠OCE＝∠ODF＝45°，∠BCD＝90°.∵∠EOF＋∠BCD＝180°，∴∠EOF＝90°，∴∠EOF－∠COF＝∠COD－∠COF，∴∠EOC＝∠FOD.在△COE和△DOF中，∴△COE≌△DOF(A)，∴DF＝CE＝32.∵CD＝AC·sin45°＝42×22＝4，∴CF＝CD－DF＝4－32＝52，在Rt△ECF中，由勾股定理得，∴EF＝CE2＋CF2＝（32）2＋（52)2＝342.(2)证明：如解图①，取BC的中点G，连接OG，第6题解图①∵四边形ABCD是菱形，∴OC⊥OD，∴OG＝12BC＝BG＝CG.∵∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠BCA＝60°，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，AC＝BC，∴OC＝12AC＝12BC，∴OG＝OC＝CG，∴∠OGC＝∠COG＝60°.∵∠BCD＝120°，∠EOF＋∠BCD＝180°，∴∠EOF＝60°，∴∠COF＝30°，∴∠EOF＝∠COG＝60°，∴∠GOE＝∠COF.在△COF和△GOE中，∴△COF≌△GOE(A)，∴CF＝GE.∵EG＋CE＝CG＝12BC＝12AB，∴CE＋CF＝12AB.(3)解：CF－CE＝2O′C.证明：如解图②，第6题解图②过O′作O′G⊥AC，与CF相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°.又∵O′G⊥AC，∴∠O′GC＝∠ACD＝45°，∴O′C＝O′G，∠O′GF＝∠O′CE＝135°.∵∠EO′F＋∠BCD＝180°，∠BCD＝90°，∴∠EO′F＝90°，∵∠CO′G＝90°，∴∠EO′F－∠EO′G＝∠CO′G－∠EO′G，即∠GO′F＝∠CO′E，在△O′GF和△O′CE中，∴△O′GF≌△O′CE(A)，∴GF＝CE.∵CF－GF＝CG，∴CF－CE＝CG.∵CG＝O′C2＋O′G2＝2O′C，∴CF－CE＝2O′C.类型二几何图形动点探究针对演练1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在Rt△PFE中，∠EPF＝90°，点E、F分别在边AD、AB上．(1)如图①，若点P与点O重合；①求证：AF＝DE；②若正方形的边长为23，当∠DOE＝15°时，求线段EF的长；(2)如图②，若Rt△PFE的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合)，当BD＝3BP时，证明：PE＝2PF.第1题图2.(2016重庆南开阶段测试三)已知，在?ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB；(3)如图③，连接AH交BF于M，当M为BF的中点时，请直接写出AF与FH的数量关系．第2题图3.(2016重庆西大附中第九次月考)如图，P为正方形ABCD边BC上任意一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，连接BE，CE.(1)如图①，若正方形的边长为22，PB＝1，求BG的长度；(2)如图②，当P点为BC的中点时，求证：CE＝2BG；(3)如图③，∠CBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证：BN＋DN＝2AN.第3题图4.△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上(不与点A、B重合)，以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°.(1)如图①，作EF⊥BC于F，求证：DB＝FC；(2)在图①中，连接AE交BC于M，求ADBM的值；(3)如图②，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH.当点D在边AB上运动时，式子HE－GDGH的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．第4题图5.(2016重庆十一中一诊)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF.(1)如图①，当E是线段AC的中点，且AB＝2时，求△ABC的面积；(2)如图②，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE＝EF；(3)如图③，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，(2)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．第5题图6.(2016重庆A卷)在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°.点D是BC上一点，连接AD.过点A作AG⊥AD.在AG上取点F，连接DF，延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF.(1)若AB＝22，求BC的长；(2)如图①，当点G在AC上时，求证：BD＝12CG；(3)如图②，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出ABCG的值．第6题图7.(2016重庆一中一模)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．(1)如图①，若∠A＝45°，AB＝6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长；(2)如图②，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE；(3)如图③，若点E在CB的延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．第7题图答案类型二几何图形动点探究针对演练1.(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OD，∠OAF＝∠ODE＝45°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＋∠DOE＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠AOF＋∠AOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOF，在△AOF和△DOE中，∴△AOF≌△DOE(A)．∴AF＝DE；②如解图①，过点O作OG⊥AB于G，第1题解图①∵正方形的边长为23，∴OG＝12BC＝3，∵∠DOE＝15°，由①知△AOF≌△DOE，∴∠AOF＝15°，∴∠FOG＝45°－15°＝30°，∵cos∠FOG＝OGOF，∴OF＝＝332＝2，又∵OE＝OF，∴EF＝2OF＝22.(2)证明：如解图②，过点P作HP⊥BD交AB于点H，第1题解图②则△HPB为等腰直角三角形，∠HPB＝90°，∴HP＝BP，∵BD＝3BP，∴PD＝2BP，∴PD＝2HP，又∵∠HPF＋∠HPE＝90°，∠DPE＋∠HPE＝90°，∴∠HPF＝∠DPE，又∵∠BHP＝∠EDP＝45°，∴△PHF∽△PDE，∴PFPE＝PHPD＝12，即PE＝2PF.2.(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BF＝DF，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°，AB＝2BF，∴在Rt△ABF中，根据勾股定理得AF2＝AB2＋BF2，即(5)2＝5BF2，解得BF＝1，AB＝2，∴在Rt△ABD中，AD＝2AB＝22.(2)证明：过B作BP⊥AD于P，交AF于Q，如解图①，第2题解图①则∠ABQ＝∠QBD＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝45°，∠CDB＝∠ABD＝90°，∴∠DBH＝45°＝∠ABQ，又∵∠AFB＝∠DFG，∠ABF＝∠DGF＝90°，∴∠BAQ＝∠BDH，∵AB＝BD，∴△ABQ≌△DBH，∴BQ＝BH，又∵∠QBF＝∠HBF＝45°，BF＝BF，∴△BQF≌△BHF，∴∠BFQ＝∠BFH.即∠AFB＝∠HFB.(3)解：AF＝3FH.【解法提示】延长FH交AB延长线于P，如解图②，第2题解图②∵由(2)知∠AFB＝∠PFB，∠ABF＝∠PBF＝90°，FB＝FB，∴△ABF≌△PBF，∴PF＝AF，AB＝BP，过B作BQ∥FH，交AM于Q，∴∠BQM＝∠FHM，∠QBM＝∠HFM，∵BM＝FM，∴△BMQ≌△FMH，∴BQ＝FH.∵BQ∥FH，AB＝BP，∴BQ＝12PH，∴FH＝13FP，即AF＝3FH.3.(1)解：∵AB＝22，BP＝1，∠ABP＝90°，∴AP＝AB2＋BP2＝3，∵S△ABP＝12AP·BG＝12AB·BP，∴BG＝223.(2)证明：过点C作CH⊥AE于H，如解图①，则∠BGP＝∠CHP＝90°，第3题解图①∵P为BC的中点，∴PB＝PC，∵∠BPG＝∠CPH，∴△BPG≌△CPH，∴BG＝CH，∠PBG＝∠PCH，∵∠PBG＋∠ABG＝∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠PBG＝∠BAG，∴∠BAG＝∠PCH，∵AB＝BE，∴∠BAG＝∠BEG，∴∠PCH＝∠BEG，∵AB＝BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠HCE＝∠HEC，∴HC＝HE，∵HC2＋HE2＝CE2，∴2CH＝CE，∴CE＝2BG.(3)证明：过D作DH⊥AE于H，如解图②，第3题解图②∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝∠EBN，由(2)知∠GBP＝∠BEP.∵BG⊥AE，∴∠GBN＝∠GNB＝90°2＝45°，∴BG＝GN，∵DH⊥AP，∠DAB＝90°，∴∠DAH＋∠ADH＝∠DAH＋∠BAG＝90°，∴∠ADH＝∠BAG，∵∠AHD＝∠AGB＝90°，AD＝AB，∴△ADH≌△BAG(A)，∴AH＝BG＝GN，DH＝AG，∴HN＝HG＋GN＝HG＋AH＝AG，∴DH＝HN.∵∠DHN＝90°，∴DN＝2HN＝2AG，∴BN＋DN＝2GN＋2AG＝2AN.4.(1)证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝90°，∴CD＝CE，∠DCB＋∠ECF＝90°.∵EF⊥BC，∴∠ECF＋∠CEF＝90°，∴∠DCB＝∠CEF，在△DBC和△CEF中，∴△DBC≌△CFE，∴DB＝CF.(2)解：如解图①，连接AE，第4题解图①∵△DBC≌△CFE，∴BD＝CF，BC＝EF，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∴AB＝EF，AD＝BF，在△ABM和△EFM中，∴△ABM≌△EFM，∴BM＝FM，∴BF＝2BM，∴AD＝2BM，∴ADBM的值为2.(3)解：HE－GDGH的值不变．在EH上截取EQ＝DG，如解图②，第4题解图②在△CDG和△CEQ中，∴△CDG≌△CEQ，∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ，∵∠DCG＋∠DCB＝45°，∴∠ECQ＋∠DCB＝45°，而∠DCE＝90°，∴∠HCQ＝45°，∴∠HCQ＝∠HCG，在△HCG和△HCQ中，∴△HCG≌△HCQ，∴HG＝HQ，∴HE－GDGH＝HQ＋QE－GDHG＝HG＋DG－GDHG＝1.5.(1)解：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝2，∵E是线段AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE＝AB·sin60°＝2×32＝3，∴S△ABC＝12AC·BE＝3.(2)证明：连接DE和DF，如解图①，第5题解图①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠BAC＝∠CAD＝∠DCF＝60°，在△ABE和△ADE和△CDF中∴△ABE≌△ADE≌△CDF，∴BE＝DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE＋∠CDE＝∠CDF＋∠CDE，∴∠EDF＝∠ADC＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF＝EF，∴BE＝EF.(3)解：仍然成立．证明：连接DE和DF，如解图②，第5题解图②∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠BAC＝∠CAD＝∠DCF＝60°，在△ABE和△ADE和△CDF中∴△ABE≌△ADE≌△CDF，∴BE＝DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE－∠CDE＝∠CDF－∠CDE，∴∠EDF＝∠ADC＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF＝EF，∴BE＝EF.6.(1)解：过点A作AH⊥BC于点H，如解图①，第6题解图①在Rt△ABH中，∠ABH＝45°，AB＝22，∴BH＝AH＝2，在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∴CH＝23，∴BC＝BH＋CH＝2＋23.(2)证明：过点A作AM⊥AB交BC于点M，连接GM，如解图②，∵∠BAM＝90°，∠ABM＝45°，第6题解图②∴AB＝AM，∠AMB＝45°，∵AG⊥AD，∴∠DAG＝∠EAG＝90°，∵AE＝AF，GE＝DF，∴△ADF≌△AGE，∴AD＝AG，∵∠BAM＝∠DAG＝90°，∴∠BAD＝∠MAG，∴△ABD≌△AMG，∴BD＝GM，∠B＝∠AMG＝45°，∵∠AMB＝45°，∴∠GMC＝90°，在Rt△CGM中，∠C＝30°，∴12CG＝GM＝BD.(3)解：1＋32.【解法提示】过点A作AH⊥BC于点H，过点G作GQ⊥AC于Q，过点C作CM⊥AG，与其延长线相交于点M，如解图③，第6题解图③∵GQ为AC的垂直平分线，由(2)同理可得AD＝AG，∴AD＝AG＝CG，又∵AH＝12AC，易证△ADH≌△AGQ≌△CGQ，得∠DAH＝∠GAC＝∠GCA＝12(∠DAG－∠CAH)＝12(90°－60°)＝15°，∴∠MGC＝30°，设CM＝a，则GA＝GC＝2a，GM＝3a，∴AC＝AM2＋CM2＝＝(6＋2)a，∴AH＝12AC＝12(6＋2)a，∴AB＝2AH＝(1＋3)a，∴ABCG＝＝3＋12.7.(1)解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝6，AB∥DE，∴∠A＝∠ADE＝45°，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠DFE＝90°，∴∠A＝∠ABF＝∠FDE＝∠FED＝45°，AF＝BF，DF＝EF，则△AFB，△DEF为等腰直角三角形，∴AF＝22AB＝22×6＝3，DF＝EF＝AD－AF＝6－3，∴DE＝2DF＝23－6.(2)证明：延长BE至K，使EK＝ED，连接AK，如解图，第7题解图在菱形ABCD中，AB＝BC＝AD，∵2∠AEB＝180°－∠BED，∴∠AEB＋∠BED＝180°－∠AEB，∴∠AED＝∠AEB＋∠BED＝180°－∠AEB＝∠AEK，在△AEK和△AED中,∴△AEK≌△AED，则AK＝AD＝AB，∵∠ABK＝60°，∴△ABK为等边三角形，∴BK＝BE＋KE＝AB＝BC，即：BC＝BE＋DE.(3)解：∠BED＋∠CDE＝2∠ABD.【解法提示】∵点E在CB的延长线上，∴CE∥AD，∴∠E＝∠ADE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠BED＋∠CDE＝2∠ABD.类型三几何图形背景变换探究针对演练1.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD＝60°.(1)如图①，求证：BD＝CE；(2)如图②，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC，求证：∠AHC＝60°；(3)在(2)的条件下，若AD＝2BD，FH＝9，求AF长．第1题图2.在△ABC中，∠BAC为锐角，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的垂直平分线交AD的延长线于点E，交BC于点F，连接CE、BE.(1)如图①，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；(2)如图②，若∠ABE＝60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若AC＋AB＝3AE，求∠BAC的度数．第2题图3.(2016重庆八中阶段测试一)如图①，矩形ABCD中，AB＝BE，BF＝CE，点G是FD的中点，连接GA，GE.(1)若AB＝3，AD＝4，求GA的长；(2)求证：GA＝GE；(3)如图②，若将矩形ABCD改为平行四边形ABCD，其他条件均不变，(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．第3题图4.(2016泰安)(1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°(如图①)．求证：EB＝AD；(2)若将(1)中的"点D在线段AB上"改为"点D在线段AB的延长线上"，其他条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的"若∠A＝60°"改为"若∠A＝90°"，其他条件不变，则EBAD的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)第4题图5.在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°.(1)如图①，当点A、C、D在同一条直线上时，AC＝12，EC＝5.①求证：AF⊥BD；②求AF的长度；(2)如图②，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；(3)如图③，在(2)的条件下，连接CF并延长交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．第5题图6.(2016重庆育才模拟)已知，如图①，以△ABC中的AB和AC为斜边，分别向△ABC的外侧作等腰直角△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F，连接FM.(1)若MF＝3，求AC的长；(2)求证：MD＝ME；(3)如图②，在△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F，连接FM，猜想：△MDE是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．第6题图7.(2016沙坪坝区一诊)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，点D是边AB上任意一点，连接CD.(1)如图①，若∠BCD＝30°，且BD＝2，求线段CD的长；(2)如图②，若∠BCD＝15°，以线段CD为边在CD的右上方作正△CDE，连接BE，点F在线段CD上，且CF＝BD，连接BF.求证：BE＝BF；(3)如图③，若以点C为直角顶点，线段CD为腰在CD的右上方作等腰Rt△CDE，点O是线段DE的中点，连接BO，猜想线段OB与CD有怎样的数量关系，请直接写出结论(不需证明)．第7题图8.(2015重庆A卷)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC角平分线上一点．过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点．DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF.(1)如图①，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB，BD的长；(2)如图①，求证：HF＝EF；(3)如图②，连接CF，CE.猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．第8题图答案类型三几何图形背景变换探究针对演练1.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，∵∠AFD＝∠CAE＋∠ACD＝60°，∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠CAE，在△ACE和△CBD中，∴△ACE≌△CBD(A)，∴BD＝CE.(2)证明：如解图①，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，第1题解图①∵∠EFC＝∠AFD＝60°，∴∠AFC＝120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH＝∠AFH＝60°，∴∠CFH＝∠CFE＝60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM＝CN，∵∠CEM＝∠ACE＋∠CAE＝60°＋∠CAE，∠CGN＝∠AFH＋∠CAE＝60°＋∠CAE，∴∠CEM＝∠CGN，在△ECM和△GCN中，∴△ECM≌△GCN(A)，∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，∴∠MCN＝∠ECG＝60°，由(1)知△ACE≌△CBD，∴AE＝CD，∵HG＝CD，∴AE＝HG，∴AE＋EM＝HG＋GN，即AM＝HN，在△AMC和△HNC中，∴△AMC≌△HNC(S)，∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，∴∠ACM－∠ECM＝∠HCN－∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC＝60°.(3)解：如解图②，在FH上截取FK＝FC，第1题解图②∵∠HFC＝60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC＝60°，FC＝KC＝FK，∵由(2)知∠ACH＝60°，∴∠ACF＝∠HCK，在△AFC和△HKC中，∴△AFC≌△HKC(S)，∴AF＝HK，∴HF＝HK＋FK＝AF＋FC＝9，∵AD＝2BD，BD＝CE＝CG，AB＝AC，∴AG＝2CG，∴＝AGGC＝21，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW＝GQ，∵＝＝AFCF＝21，∴AF＝2CF，∴AF＝6.2.解：(1)AB＝AC＋CD.【解法提示】过点D作DG⊥AB交AB于点G，如解图①所示，第2题解图①∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，∴CD＝DG，∴Rt△ACD≌Rt△AGD(HL)，∴AC＝AG，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，即△BDG为等腰直角三角形，∴CD＝DG＝GB，∴AB＝AG＋GB＝AC＋CD.(2)AB＝AC＋CE.证明：在线段AB上截取AH＝AC，连接EH，如解图②所示，第2题解图②∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，在△ACE和△AHE中，∴△ACE≌△AHE(S)，∴CE＝HE，∵EF垂直平分BC，∴CE＝BE，∴BE＝HE.又∵∠ABE＝60°，∴△EHB是等边三角形，∴BE＝HE＝HB，∴AB＝AH＋HB＝AC＋CE.(3)在线段AB上截取AH＝AC，连接EH，过点E作EM⊥AB于点M，如解图③所示，第2题解图③同(2)问可得△ACE≌△AHE(S)，∴CE＝HE，∵EF垂直平分BC，∴CE＝BE，∴HE＝BE，∴△EHB是等腰三角形，∴HM＝BM，∴AC＋AB＝AH＋AB＝AM－HM＋AM＋MB＝2AM，∵AC＋AB＝3AE，∴AM＝32AE，∵在Rt△AEM中，cos∠EAM＝AMAE＝32，∴∠EAB＝30°，∴∠BAC＝2∠EAB＝60°.3.(1)解：∵AB＝BE，AB＝3，∴BE＝3，∵BC＝AD＝4，∴EC＝BC－BE＝4－3＝1，∵BF＝CE，∴BF＝1，∴AF＝AB－BF＝3－1＝2，∴DF＝AF2＋AD2＝25，∵∠DAF＝90°，G是DF的中点，∴AG＝12DF＝5.(2)证明：如解图①，连接DE、EF，第3题解图①∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∵AB＝BE，∴CD＝BE，在△BEF和△CDE中，∴△BEF≌△CDE(S)，∴∠BEF＝∠CDE，∵∠CED＋∠CDE＝90°，∴∠CED＋∠BEF＝90°，∴∠DEF＝90°，∵点G是DF的中点，∴GE＝12DF，∵AG＝12DF，∴GA＝GE.(3)解：成立．证明：如解图②，延长CG，与BA的延长线相交于点M，第3题解图②∵AB∥CD，∴∠M＝∠DCG，在△GMF和△GCD中，∴△GMF≌△GCD(A)，∴GM＝GC，FM＝DC，∵AB＝CD＝BE，∴AB＝FM，∵BF＝CE，∴BE＋CE＝FM＋BF，∴BM＝BC，∴∠ABG＝∠EBG，在△ABG和△EBG中，∴△ABG≌△EBG(S)，∴GA＝GE.4.(1)证明：如解图①，过点D作DF∥BC交AC于F，则AD＝AF＝DF，∠FDC＝∠ECD，∵∠DEC＝∠DCE，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，∵△ABC是等腰三角形，∠A＝60°，∴∠DBE＝∠DFC＝120°，∴△DBE≌△CFD，∴EB＝DF，∴EB＝AD.第4题解图①(2)解：EB＝AD成立，理由如下：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．如解图②，过D点作DF∥BC交AC的延长线于F，第4题解图②则AD＝AF＝DF，∠FDC＝∠ECD，又∵∠DEC＝∠ECD，∴∠FDC＝∠DEC，ED＝CD，又∵∠DBE＝∠DFC＝60°，∴△DBE≌△CFD，∴EB＝DF，∴EB＝AD.(3)解：EBAD＝2.【解法提示】作DF∥BC交AC于F，如解图③，第4题解图③同(1)得：△DBE≌△CFD(A)，∴EB＝DF，∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF＝2AD，∴DFAD＝2，∴EBAD＝2.5.(1)①证明：如解图①，第5题解图①∵在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠BFE＝∠ACE＝90°，∴AF⊥BD；②解：∵∠ECD＝90°，BC＝AC＝12，DC＝EC＝5，∴BD＝122＋52＝13，∵S△ABD＝12AD·BC＝12BD·AF，即12×17×12＝12×13·AF∴AF＝20413.(2)证明：如解图②，第5题解图②∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB＋∠ACD＝∠ECD＋∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，∴AF⊥BD.(3)解：∠AFG是一个固定的值，理由如下：如解图③，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，第5题解图③∵由(2)知△ACE≌△BCD，∴S△ACE＝S△BCD，AE＝BD，∵S△ACE＝12AE·CN，S△BCD＝12BD·CM，∴CM＝CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，∵AF⊥BD，∴∠BFE＝90°，∴∠EFC＝45°，∴∠AFG＝45°.6.(1)解：∵DF⊥AB，DB＝DA，∴AF＝BF，∵BM＝MC，∴FM＝12AC，∴AC＝2FM＝6.(2)证明：如解图①，取AC中点G，连接MG、EG.第6题解图①∵△ADB、△AEC都是等腰直角三角形，AF＝FB，AG＝GC，∴DF＝AF＝FB，GE＝AG＝GC，EG⊥AC，∴∠DFB＝∠EGC＝90°，∵AF＝BF，BM＝MC，AG＝GC，∴FM∥AG，MG∥AF.∴四边形AFMG是平行四边形，∴FM＝AG＝GE，MG＝AF＝DF，∠BFM＝∠BAC＝∠CGM，∵∠DFM＝∠DFB＋∠BFM，∠EGM＝∠EGC＋∠CGM，∴∠DFM＝∠EGM，在△DFM和△MGE中，∴△DFM≌△MGE，∴DM＝EM.(3)解：△EMD是等腰直角三角形，证明：如解图②中，取AC中点G，连接MG、EG，DF交MG于点O.第6题解图②∵△ADB、△AEC都是等腰直角三角形，AF＝FB，AG＝GC，∴DF＝AF＝FB，GE＝AG＝GC，EG⊥AC，∴∠DFB＝∠EGC＝90°，∵AF＝BF，BM＝MC，AG＝GC，∴FM∥AG，MG∥AF.∴四边形AFMG是平行四边形，∴FM＝AG＝GE，MG＝AF＝DF，∠BFM＝∠BAC＝∠CGM，∵∠DFM＝∠DFB－∠BFM，∠EGM＝∠EGC－∠CGM，∴∠DFM＝∠EGM，在△DFM和△MGE中，∴△DFM≌△MGE.∴DM＝EM，∠MDF＝∠EMG，∵AB∥MG，∴∠MOD＝∠BFD＝90°，∴∠OMD＋∠MDO＝90°，∴∠EMG＋∠OMD＝90°，∴∠EMD＝90°，∴△EMD是等腰直角三角形．7.(1)解：过点D作DE⊥BC于点E，如解图①，第7题解图①在Rt△BDE中，BD＝2，∠B＝45°，∴DE＝BD·sin45°＝2，在Rt△CDE中，∠BCD＝30°，∴CD＝2DE＝22.(2)证明：连接EF，如解图②，第7题解图②∵△DCE是等边三角形，∴CE＝DE，∠ECD＝∠CDE＝∠CED＝60°，∵∠ADC＝∠BCD＋∠CBD＝15°＋45°＝60°，∴∠BDE＝60°，在△CEF和△DEB中，∴△CEF≌△DEB，∴EF＝EB，∠CEF＝∠DEB，∴∠CEF＋∠DEF＝∠DEB＋∠DEF，即∠CED＝∠BEF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF.(3)解：OB＝22CD.【解法提示】连接BE，如解图③，第7题解图③∵∠DCE＝90°，CD＝CE，∴DE＝2CD，∵∠CED＝∠ABC＝45°，∠CGE＝∠DGB，∴△CGE∽△DGB，∴CGDG＝GEGB，∵∠DGC＝∠BGE，∴△CDG∽△EBG，∴∠EBG＝∠CDG＝45°，∴∠DBE＝∠DBC＋∠CBE＝90°，∵O是DE的中点，∴OB＝12DE，∵DE＝2CD，∴OB＝22CD.8.(1)解：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝23，∴AB＝2AC＝43.∵点H是AC中点，∴AH＝12AC＝3.∵AD⊥AB，∴∠DAH＝90°－60°＝30°.∵DH⊥AC，∴在Rt△ADH中，cos30°＝AHAD，∴AD＝＝332＝2，∴BD＝22＋（43）2＝213.(2)证明：连接AF，如解图①.在Rt△ABD中，F为BD中点，第8题解图①∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠FAD.∵∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝30°，由(1)知∠DAH＝30°，∴∠DAE＝∠CAE＋∠CAD＝30°＋30°＝60°.∵DH⊥AC，∴∠ADH＝60°＝∠DAE，又∵AD＝AD，∠AHD＝∠AED＝90°，∴△AHD≌△DEA(A)，∴DH＝AE.∵∠FDA＝∠FAD，∠ADH＝∠DAE，∴∠FDH＝∠FAE，∴△FDH≌△FAE(S)，∴HF＝EF.(3)解：△CEF是等边三角形．证明：取AB的中点M，连接FM、CM，如解图②，第8题解图②∵F为BD的中点，M为AB的中点，∴FM∥AD且FM＝12AD.由(2)知，∠CAE＝30°，且在Rt△ADE中，AE＝12AD，∴AE＝MF.在Rt△ABC中，M为AB中点，∴AM＝CM.∵∠MAC＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴AC＝CM，∠AMC＝∠ACM＝60°.∵∠AMF＝90°，∴∠CMF＝90°－60°＝30°＝∠CAE，∴△CAE≌△CMF(S)，∴CE＝CF，∠ACE＝∠MCF，∴∠ECF＝∠ECM＋∠MCF＝∠ECM＋∠ACE＝60°，∴△CEF为等边三角形．拓展类型几何图形折叠探究1.如图①，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE.(1)若AB＝BC，DE＝1，BE＝3，求△ABC的周长；(2)如图②，若AB＝BC，AD＝BD，∠ADB的平分线DF交BE于点F，求证：BF＝2DE；(3)如图③，若AB≠BC，AD＝BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．第1题图2.已知Rt△ABC≌Rt△CDE.现将它们摆放成图①所示位置，其中B、C、D三点在同一直线上，连接AE.(1)如图①，若AB＝2，BC＝4，求AE的长；(2)如图②，取AE的中点M，连接BM、DM，证明：BM＝DM；(3)如图③，将图①的Rt△CDE以直线CD为对称轴向下翻折，仍然连接AE，取AE的中点M，连接BM、DM，请问：BM＝DM还成立吗？请说明理由．第2题图答案拓展类型几何图形折叠探究1.(1)解：∵AB＝BC，BE⊥AC，∴AE＝CE，∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴DE＝12AC＝AE，∴AC＝2DE＝2，AE＝1，∴AB＝12＋32＝10，∴BC＝10，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝210＋2.(2)证明：连接AF，如解图①，第1题解图①∵AB＝BC，BE⊥AC，∴∠3＝∠4，∵∠ADB＝90°，AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴∠3＝22.5°，∵∠1＋∠C＝∠3＋∠C＝90°，∴∠1＝∠3＝22.5°，∵DF平分∠ADB，∴∠ADF＝∠BDF，在△ADF和△BDF中，∴△ADF≌△BDF(S)，∴AF＝BF，∠2＝∠3＝22.5°，∴∠EAF＝∠1＋∠2＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝2AE，∵DE＝AE，AF＝BF，∴BF＝2DE.(3)解：BE＝DG＋AE.理由如下：作DH⊥DE交BE于H，如解图②，第1题解图②∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠1＋∠ACD＝∠2＋∠ACD＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠ADE＝90°－∠ADH＝∠BDH，在△ADE和△BDH中，∴△ADE≌△BDH(A)，∴DH＝DE，AE＝BH，∴△DHE是等腰直角三角形，∴∠DEH＝45°，∴∠3＝90°－∠DEH＝45°，∵△ADC沿着AC翻折至△AGC，∴DE＝GE，∠3＝∠4＝45°，∴∠DEG＝∠EDH＝90°，DH＝GE，∴DH∥GE，∴四边形DHEG是平行四边形，∴DG＝EH，∴BE＝EH＋BH＝DG＋AE.2.(1)解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC＝∠DCE，AC＝CE，在Rt△ABC中，∵∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠DCE＋∠BCA＝90°，∵B，C，D三点共线，∴∠ACE＝180°－(∠DCE＋∠BCA)＝90°，∴AC⊥CE，∴△ACE为等腰直角三角形，∵AC2＝AB2＋BC2，∴AE＝2AC＝2·AB2＋BC2＝2×25＝210.(2)证明：连接CM，如解图①，第2题解图①∵△ACE是等腰直角三角形，点M是AE的中点，∴CM＝AM＝ME，∠CAE＝∠CEA.在△ABM和△CDM中，∴△ABM≌△CDM，∴BM＝DM.(3)解：成立．理由如下：如解图②，延长BM交DE于点N，第2题解图②∵∠ABD＝∠CDE＝90°，∴AB∥DE，∴∠BAM＝∠DEM，在△ABM和△ENM中，∴△ABM≌△ENM，∴BM＝MN，在Rt△BDN中，∵M是BN的中点，∴BM＝MN＝DM＝12BN，∴BM＝DM.