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免费2017年山东省日照市莒县中考数学一模试卷含答案解析中考数学考点分类汇编解析网山东省日照市莒县2017年中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本题共12个小题，1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，共40分）1．的倒数是（）A．﹣3 B． C．3 D．2．下列计算正确的是（）A．+= B．x6÷x3=x2 C．=2 D．a2（﹣a2）=a43．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣54．在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＜ B．x≤ C．x＞ D．x≥5．不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．6．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（）A． B． C． D．7．如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．8．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A． B．C． D．9．（4分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠010．（4分）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（）①若|a|=|b|，则a2=b2；②若ma2＞na2，则m＞n；③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C． D．212．（4分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（4，﹣2），则k的值为．14．（4分）如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD=．15．（4分）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（填序号）三、解答题（本题共6小题，共64分）请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.17．（10分）某校组织了主题为"让勤俭节约成为时尚"的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）求抽取了多少份作品；（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有，并补全条形统计图；（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．18．（10分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）19．（10分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？20．（10分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．21．（12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当时，求的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．22．（12分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．2017年山东省日照市莒县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，1-8题每小题3分，9-12题每小题3分，共40分）1．的倒数是（）A．﹣3 B． C．3 D．【考点】倒数．【分析】根据乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：﹣×（﹣3）=1，可得﹣的倒数为﹣3．故选A．【点评】本题考查了倒数的性质：乘积是1的两数互为倒数，可得出答案，属于基础题．2．下列计算正确的是（）A．+= B．x6÷x3=x2 C．=2 D．a2（﹣a2）=a4【考点】实数的运算；同底数幂的除法；单项式乘单项式．【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=x3，错误；C、原式=2，正确；D、原式=﹣a4，错误，故选C【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7 B．2.5×10﹣6 C．25×10﹣7 D．0.25×10﹣5【考点】科学记数法-表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．在函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＜ B．x≤ C．x＞ D．x≥【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据函数表达式是二次根式时，被开方数非负，可得答案．【解答】解：在函数y=中，自变量x的取值范围是x≤，故选：B．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．不等式5x﹣1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：移项得，5x﹣2x＞5+1，合并同类项得，3x＞6，系数化为1得，x＞2，在数轴上表示为：故选A．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时"≥"，"≤"要用实心圆点表示；"＜"，"＞"要用空心圆点表示．6．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球，可以列表得出，注意重复去掉．【解答】解：∵一个袋子中装有3个红球和2个黄球，随机从袋子里同时摸出2个球，∴其中2个球的颜色相同的概率是：=．故选：D． 红1 红2 红3 黄1 黄2红1 ﹣ 红1红2 红1红3 红1黄1 红1黄2红2 红2红1 ﹣ 红2红3 红2黄1 红2黄2红3 红3红1 红3红2 ﹣ 红3黄1 红3黄2黄1 黄1红1 黄1红2 黄1红3 ﹣ 黄1黄2黄2 黄2红1 黄2红2 黄2红3 黄2黄1 ﹣【点评】此题主要考查了列表法求概率，列出图表注意重复的（例如红1红1）去掉是解决问题的关键．7．如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从正面可看到，左边2个正方形，中间1个正方形，右边1个正方形．故选D．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．8．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A． B．C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据时间=路程÷速度，以及关键语"骑自行车比步行上学早到30分钟"可得出的等量关系是：小玲上学走的路程÷步行的速度﹣小玲上学走的路程÷骑车的速度=30．【解答】解：设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，依题意，得．故选A．【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．9．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣ B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k≥﹣且k≠0【考点】根的判别式．【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0，解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选D．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．10．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（）①若|a|=|b|，则a2=b2；②若ma2＞na2，则m＞n；③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理．【分析】先根据绝对值、不等式的性质、垂径定理和菱形的判定对四个命题进行判断，再分别交换命题的题设和结论得到四个逆命题，然后判断逆命题的真假．【解答】解：①若|a|=|b|，则a2=b2，此命题为真命题；它的逆命题为若a2=b2，则|a|=|b|，此逆命题为真命题；②若ma2＞na2，则m＞n，此命题为真命题；它的逆命题为若m＞n，则ma2＞na2，此逆命题为假命题；③垂直于弦的直径平分弦，此命题为真命题；它的逆命题为平方弦的直径垂直于弦，此逆命题为假命题；④对角线互相垂直的四边形是菱形，此逆命题为假命题，它的逆命题为菱形的对角线互相垂直，此逆命题为真命题．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成"如果…那么…"形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．11．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角三角形ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A．6 B．13 C． D．2【考点】垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD=BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．【解答】解：过O作OD⊥BC，∵BC是⊙O的一条弦，且BC=6，∴BD=CD=BC=×6=3，∴OD垂直平分BC，又AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O、D三点共线，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴AD=BD=3，∵OA=1，∴OD=AD﹣OA=3﹣1=2，在Rt△OBD中，OB===故选C．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．关键是注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（4，﹣2），则k的值为﹣8．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据矩形的性质和已知点A的坐标，求出点C的坐标，代入反比例函数y=，求出k，得到答案．【解答】解：点A的坐标为（4，﹣2），根据矩形的性质，点C的坐标为（﹣4，2），把（﹣4，2）代入y=，得k=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查的是反比例函数图象上的点的坐标特征，根据矩形的性质，求出点C的坐标是解题的关键，注意：函数图象上的点的坐标满足函数解析式．14．如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则BD=．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】利用平行四边形的性质得出△BEF∽△DCF，进而求出DF的长，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∵AE：BE=4：3，且BF=2，∴=，则=，解得：DF=，故BD=BF+DF=2+=．故答案为：．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△BEF∽△DCF是解题关键．15．如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】连接OA、OD，则阴影部分的面积等于梯形的面积减去三角形的面积．根据题目中的条件不难发现等边三角形AOD、AOB、COD，从而求解．【解答】解：设圆心为O，连接OA、OD．∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，∴∠BCD=60°，∵AC平分∠BCD，∴∠ACD=30°，∴∠AOD=2∠ACD=60°，∠OAC=∠ACO=30°．∴∠BAC=90°，∴BC是直径，又∵OA=OD=OB=OC，则△AOD、△AOB、△COD都是等边三角形．∴AB=AD=CD．又∵四边形ABCD的周长为10cm，∴OB=OC=AB=AD=DC=2（cm）．∴阴影部分的面积=S梯形﹣S△ABC=（2+4）×﹣×4×=3﹣2=．故答案为．【点评】此题综合考查了梯形的面积，三角形的面积以及等边三角形的判定和性质．作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是①④（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，∵AE=AB，∴BE=PE=2AE，∴∠APE=30°，∴∠PEF=∠BEF=60°，∴∠EFB=∠EFP=30°，∴EF=2BE，PF=PE，∴①正确，②不正确；又∵EF⊥BP，∴EF=2BE=4EQ，∴③不正确；又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，∴△PBF为等边三角形，∴④正确；所以正确的为①④，故答案为：①④．【点评】本题主要考查矩形的性质和轴对称的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识，综合性较强，掌握直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．三、解答题（本题共6小题，共64分）请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.17．（10分）（2014o吉林）某校组织了主题为"让勤俭节约成为时尚"的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）求抽取了多少份作品；（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有48，并补全条形统计图；（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据C的人数除以占的百分比，得到抽取作品的总份数；（2）由总份数减去其他份数，求出B的份数，补全条形统计图即可；（3）求出A占的百分比，乘以800即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：30÷25%=120（份），则抽取了120份作品；（2）等级B的人数为120﹣（36+30+6）=48（份），补全统计图，如图所示：故答案为：48；（3）根据题意得：800×=240（份），则估计等级为A的作品约有240份．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．18．（10分）（2010o兰州）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．【解答】解：（1）如图，作AD⊥BC于点D．Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×=2．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=4≈5.6．即新传送带AC的长度约为5.6米；（2）结论：货物MNQP应挪走．解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=2．在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．∴CB=CD﹣BD=2﹣2=2（﹣）≈2.1．∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9＜2，∴货物MNQP应挪走．【点评】应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．19．（10分）（2014o荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．20．（10分）（2011o安顺）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边"三线合一"证明结论；（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论；（3）连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB=，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB=，可求AE，利用勾股定理求DE．【解答】（1）证明：连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，又∵AC=BC，∴AD=BD，即点D是AB的中点．（2）解：DE是⊙O的切线．证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC，又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线；（3）解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，∴cosB=cosA=，∵cosB=，BC=18，∴BD=6，∴AD=6，∵cosA=，∴AE=2，在Rt△AED中，DE=．【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题．21．（12分）（2013o包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当时，求的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．【考点】相似形综合题．【分析】（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．【解答】（1）解：∵=，∴=．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴=，∴==，∴==；（2）证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，∴AF=OA．（3）证明：连接OE．∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．∴点O是BD的中点．又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，OE=CD，∴△OFE∽△CFD．∴==，∴=．又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴==．在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．∴CG=GF，又∵CD=BC，∴==，∴=．∴CG=BG．【点评】本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．22．（12分）（2013o呼伦贝尔）已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．（3）如图2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据二次函数的对称轴列式求出b的值，即可得到抛物线解析式，然后整理成顶点式形式，再写出顶点坐标即可；（2）令y=0解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标，过点D作DE⊥y轴于E，然后根据△PAD的面积为S=S梯形AOCE﹣S△AOP﹣S△PDE，列式整理，然后利用一次函数的增减性确定出最小值以及t值；（3）过点D作DF⊥x轴于F，根据点A、D的坐标判断出△ADF是等腰直角三角形，然后求出∠ADF=45°，根据二次函数的对称性可得∠BDF=∠ADF=45°，从而求出∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，然后求出点P的坐标，再利用勾股定理列式求出AD、PD，再根据两边对应成比例夹角相等两三角形相似判断即可．【解答】解：（1）对称轴为x=﹣=﹣2，解得b=﹣1，所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3，∵y=﹣x2﹣x+3=﹣（x+2）2+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，4）；（2）令y=0，则﹣x2﹣x+3=0，整理得，x2+4x﹣12=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点A（﹣6，0），B（2，0），如图1，过点D作DE⊥y轴于E，∵0≤t≤4，∴△PAD的面积为S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE，=×（2+6）×4﹣×6t﹣×2×（4﹣t），=﹣2t+12，∵k=﹣2＜0，∴S随t的增大而减小，∴t=4时，S有最小值，最小值为﹣2×4+12=4；（3）如图2，过点D作DF⊥x轴于F，∵A（﹣6，0），D（﹣2，4），∴AF=﹣2﹣（﹣6）=4，∴AF=DF，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠ADF=45°，由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°，∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，∵OF=OB=2，∴PO为△BDF的中位线，∴OP=DF=2，∴点P的坐标为（0，2），由勾股定理得，DP==2，AD=AF=4，∴==2，令x=0，则y=3，∴点C的坐标为（0，3），OC=3，∴==2，∴=，又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，∴Rt△ADP∽Rt△AOC．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴，三角形的面积二次函数的性质，相似三角形的判定，综合题，但难度不是很大，（2）利用梯形和三角形的面积表示出△ADP的面积是解题的关键，（3）难点在于判断出点P为BD与y轴的交点．