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免费2017年安徽省中考专题复习（六）圆的计算与证明中考数学考点要点试卷汇编分析网专题复习(六)圆的计算与证明1．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B＝70°，求CD︵的度数；(2)若AB＝26，DE＝8，求AC的长．解：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°.又∵∠B＝70°，∴∠BAC＝20°.∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝55°.∴∠DAC＝35°.∴∠DOC＝70°.∴CD︵的度数是70°.(2)∵AB＝26，∴OD＝13.又∵DE＝8，∴OE＝5.∵OD∥BC，OA＝OB，∴BC＝2OE＝10.∴AC＝AB2－BC2＝24.2．(2016·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若sinB＝55，EF＝25，求CD的长．解：(1)证明：连接DE.∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵E是AB的中点，∴DA＝DB.∴∠1＝∠B.∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝25.∴AB＝2AE＝45.在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，∴BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，∴x＝3，即CD＝3.3．(2016·繁昌模拟)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝30°，D为BC︵的中点．(1)求证：AB＝BC；(2)判断四边形BOCD的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.又∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB，∴∠OCB＝30°＝∠A.∴AB＝BC.(2)四边形BOCD为菱形，理由如下：连接OD交BC于点M.∵D是BC︵的中点，∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中，∵∠OCM＝30°，∴OC＝2OM＝OD.∴OM＝DM，即OD与BC互相垂直平分．∴四边形BOCD是菱形.4．(2016·合肥高新区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．解：(1)证明：连接AE.∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC.又AB＝AC，∴BE＝CE.(2)连接DE.∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.∵∠BAC＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠BAC.∵∠DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC.∴BEBA＝BDBC，即3BA＝26，即BA＝9.∴AC＝BA＝9.5．(2016·宁国模拟)如图，⊙O的直径AB＝4，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC.(1)若∠CPA＝30°，求PC的长；(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，而∠CMP的大小不变，请求出∠CMP的大小．解：(1)连接OC.∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.在Rt△OCP中，OC＝12AB＝2，∠CPA＝30°，∴PC＝OCtan30°＝233＝23.(2)∵PM平分∠CPA，∴∠MPA＝12∠CPO.∵∠CMP＝∠A＋∠MPA，∠A＝12∠COP.∴∠CMP＝12(∠COP＋∠CPO)＝12×90°＝45°.6．(2016·安徽一模)如图1，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，12BO长为半径作⊙O交BC于点D，E.(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；(2)若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M，N两点(如图2)，MN＝22，求MN︵的长．解：(1)当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60度或120度时与⊙O相切．理由：当BA绕点B按顺时针方向旋转60度到BA′的位置时．则∠A′BO＝30°，过O作OG⊥BA′，垂足为G.∴OG＝12OB＝2.∴BA′是⊙O的切线．同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120度到BA′的位置时，BA′也是⊙O的切线．(或：当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA′的位置时，BA与⊙O相切，设切点为G，连接OG，则OG⊥AB.∵OG＝12OB，∴∠A′BO＝30°.∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60度．同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA′的位置时，BA与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120度．)(2)∵MN＝22，OM＝ON＝2，∴MN2＝OM2＋ON2.∴∠MON＝90°，∴lMN︵的长为l＝2×90π180＝π.7．(2016·合肥六大名校联考)如图，AB是⊙O的一条弦，C，D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD.(1)已知AC＝BC，AB平分∠CBD，求证：AB＝CD；(2)已知∠ADB＝45°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD面积的最大值．解：(1)证明：易得AC︵＝BC︵＝AD︵，∴ACB︵＝DAC︵，即AB＝CD.(2)∵S四边形ACBD＝△ADB的面积＋△ACB的面积．设△ADB和△ACB的公共边AB上的高分别为h1，h2，则h1＋h2的最大值为⊙O的直径．即当点C在劣弧AB的中点，点D在优弧AB的中点时，四边形ACBD的面积最大(如图)．∵∠ADB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵AO＝BO＝1，∴AB＝2，∴S四边形ACBD的面积＝12AB·(h1＋h2)＝12×2×2＝2.