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免费2017年四川中考突破复习题型专项(五)反比例函数的综合题中考数学热点考点汇编网题型专项(五)反比例函数的综合题类型1一次函数与反比例函数综合1．(2016·成都大邑县一诊)如图，直线l1：y＝x与反比例函数y＝kx的图象相交于点A(2，a)，将直线l1向上平移3个单位长度得到l2，直线l2与c相交于B，C两点(点B在第一象限)，交y轴于点D.(1)求反比例函数的解析式并写出图象为l2的一次函数的解析式；(2)求B，C两点的坐标并求△BOD的面积．解：(1)∵点A(2，a)在y＝x上，∴a＝2.∴A(2，2)．∵点A(2，2)在y＝kx上，∴k＝2×2＝4.∴反比例函数的解析式是y＝4x.将y＝x向上平移3个单位得l2：y＝x＋3.(2)联立方程组y＝x＋3，y＝4x，解得x1＝－4，y1＝－1或x2＝1，y2＝4.∴B(1，4)，C(－4，－1)．当x＝0时，y＝x＋3＝3，则D(0，3)，∴S△BOD＝12×3×1＝32.2．(2015·南充)反比例函数y＝kx(k≠0)与一次函数y＝mx＋b(m≠0)交于点A(1，2k－1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．解：(1)把点A(1，2k－1)代入y＝kx，得2k－1＝k.∴k＝1.∴反比例函数的解析式为y＝1x.(2)由(1)得k＝1，∴A(1，1)．设B(a，0)，∴S△AOB＝12·|a|×1＝3.∴a＝±6.∴B(－6，0)或(6，0)．把A(1，1)，B(－6，0)代入y＝mx＋b，得1＝m＋b，0＝－6m＋b.解得m＝17，b＝67.∴一次函数的解析式为y＝17x＋67.把A(1，1)，B(6，0)代入y＝mx＋b，得1＝m＋b，0＝6m＋b.解得m＝－15，b＝65.∴一次函数的解析式为y＝－15x＋65.∴符合条件的一次函数解析式为y＝－15x＋65或y＝17x＋67.3．(2016·南充模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)．若反比例函数y＝k1x(x＞0)的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F.设直线EF的解析式为y＝k2x＋b.(1)求反比例函数和直线EF的解析式；(2)求△OEF的面积；(3)请结合图象直接写出不等式k2x＋b－k1x＞0的解集．解：(1)∵四边形DOBC是矩形，且D(0，4)，B(6，0)，∴C点坐标为(6，4)．∵点A为线段OC的中点，∴A点坐标为(3，2)．∴k1＝3×2＝6.∴反比例函数解析式为y＝6x.把x＝6代入y＝6x，得x＝1，∴F(6，1)．把y＝4代入y＝6x，得x＝32，∴E(32，4)．把F(6，1)，E(32，4)代入y＝k2x＋b，得6k2＋b＝1，32k2＋b＝4.解得k2＝－23，b＝5.∴直线EF的解析式为y＝－23x＋5.(2)S△OEF＝S矩形BCDO－S△ODE－S△OBF－S△CEF＝4×6－12－12×6×4×32－12×(6－32)×(4－1)＝454.(3)不等式k2x＋b－k1x＞0的解集为32＜x＜6.4．(2016·成都新都区一诊)如图，直线OA：y＝12x的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA＋PB最小．解：(1)设A点的坐标为(a，b)，则b＝ka，∴ab＝k.∵12ab＝1，∴12k＝1，∴k＝2.∴反比例函数的解析式为y＝2x.(2)联立y＝2x，y＝12x，解得x＝2，y＝1.∴A(2，1)．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为(2，－1)，由对称知识可得BC与x轴的交点P即为所求．设直线BC的解析式为y＝mx＋n.由题意可得：B点的坐标为(1，2)．∴2＝m＋n，－1＝2m＋n.解得m＝－3，n＝5.∴BC的解析式为y＝－3x＋5.当y＝0时，x＝53，∴P点坐标为(53，0)．5．(2015·泸州)如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.(1)求该一次函数的解析式；(2)若反比例函数y＝mx的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A，B两点，且AC＝2BC，求m的值．解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k＜0)的图象经过点C(3，0)，∴3k＋b＝0①，点C到y轴的距离是3.∵一次函数y＝kx＋b的图象与y轴的交点是(0，b)，∴12×3×b＝3.解得b＝2.将b＝2代入①，解得k＝－23.则函数的解析式是y＝－23x＋2.(2)过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则AD∥BE.∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE.∴ADBE＝ACBC＝2.∴AD＝2BE.设B点纵坐标为－n，则A点纵坐标为2n.∵直线AB的解析式为y＝－23x＋2，∴A(3－3n，2n)，B(3＋32n，－n)．∵反比例函数y＝mx的图象经过A，B两点，∴(3－3n)·2n＝(3＋32n)·(－n)．解得n1＝2，n2＝0(不合题意，舍去)．∴m＝(3－3n)·2n＝－3×4＝－12.6．(2016·绵阳)如图，直线y＝k1x＋7(k1＜0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝k2x(k2＞0)的图象在第一象限交于C，D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为492，点C横坐标为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为"整点"．请求出图中阴影部分(不含边界)所包含的所有整点的坐标．解：(1)由题意得A(－7k1，0)，B(0，7)，∴S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12×(－7k1)×7＝492.解得k1＝－1.故直线方程为y＝－x＋7.当x＝1时，y＝6，故点C坐标为(1，6)，将点C(1，6)代入y＝k2x，解得k2＝6.∴反比例函数的解析式为y＝6x.(2)由直线y＝－x＋7和反比例函数y＝6x在第一象限图象的对称性可知点D与点C关于直线y＝x对称，故点D坐标为(6，1)．当x＝2时，反比例函数图象上的点为(2，3)，直线上的点为(2，5)，此时可得整点(2，4)；当x＝3时，反比例函数图象上的点为(3，2)，直线上的点为(3，4)，此时可得整点(3，3)；当x＝4时，反比例函数图象上的点为(4，32)，直线上的点为(4，3)，此时可得整点(4，2)；当x＝5时，反比例函数图象上的点为(5，65)，直线上的点为(5，2)，此时无整点可取．综上可知，阴影部分(不含边界)所包含的整点有(2，4)，(3，3)，(4，2)．(方法二：联立直线和反比例函数解析式，求点D坐标，请酌情评分．)类型2反比例函数与几何图形综合7．(2016·绵阳涪城区模拟)如图，O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，∠AOC＝45°，OA＝2，反比例函数y＝kx在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点D.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点D的纵坐标为22，求直线AD的解析式．解：(1)过点A作AH⊥x轴于点H.∵OA＝2，∠AOH＝45°，∴OH＝AH＝OA·sin45°＝2×22＝2.∴A(2，2)．又点A在y＝kx图象上，∴k＝2×2＝2.∴反比例函数的解析式是y＝2x.(2)∵点D纵坐标是22，∴点D横坐标是22.∴D(22，22)，A(2，2)．设直线AD的解析式为y＝ax＋b，则22＝22a＋b，2＝2a＋b.解得a＝－12，b＝322.∴直线AD的解析式为y＝－12x＋322.8．(2016·成都高新区一诊)如图1，在△OAB中，A(0，2)，B(4，0)，将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′.(1)当m＝4时，如图2，若反比例函数y＝kx的图象经过点A′，一次函数y＝ax＋b的图象经过A′，B′两点．求反比例函数及一次函数的解析式；(2)若反比例函数y＝kx的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．解：(1)∵A′(4，2)，B′(8，0)，∴k＝4×2＝8.∴y＝8x.把(4，2)，(8，0)代入y＝ax＋b，得4a＋b＝2，8a＋b＝0.解得a＝－12，b＝4.∴经过A′，B′两点的一次函数解析式为y＝－12x＋4.(2)当△AOB向右平移m个单位时，A′点的坐标为(m，2)，B′点的坐标为(m＋4，0)，则A′B′的中点M的坐标为(m＋m＋42，1)．∵反比例函数y＝kx的图象经过点A′及M，∴2m＝m＋m＋42×1，解得m＝2.∴当m＝2时，反比例函数y＝kx的图象经过点A′及A′B′的中点M.9．(2014·内江)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(x＞0)的图象交于点P(n，2)，与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC.(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．解：(1)∵AC＝BC，CO⊥AB，A(－4，0)，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4.∴P(4，2)，B(4，0)．将A(－4，0)，P(4，2)代入y＝kx＋b，得－4k＋b＝0，4k＋b＝2，解得k＝14，b＝1.∴一次函数解析式为y＝14x＋1.将P(4，2)代入反比例函数解析式得m＝8.∴反比例函数解析式为y＝8x.(2)存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形，对于一次函数y＝14x＋1，令x＝0，则y＝1，∴C(0，1)．∴直线BC的斜率为0－14－0＝－14.设过点P，且与BC平行的直线解析式为y－2＝－14(x－4)，即y＝－x＋124，联立y＝－x＋124，y＝8x解得x1＝4，y1＝2，x2＝8，y2＝1.∴D(8，1)．此时PD＝（4－8）2＋（2－1）2＝17，BC＝（4－0）2＋（0－1）2＝17，即PD＝BC.∵PD∥BC，∴四边形BCPD为平行四边形．∵PC＝（4－0）2＋（2－1）2＝17，即PC＝BC，∴四边形BCPD为菱形，满足题意，∴反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．10．(2016·德阳中江模拟)如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第二象限，顶点A，B分别落在反比例函数y＝kx图象的两支上，且PB⊥y轴于点C，PA⊥x轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E，F.已知B(1，3)．(1)k＝3；(2)试说明AE＝BF；(3)当四边形ABCD的面积为4时，直接写出点P的坐标．解：(2)设点P坐标为P(m，3)，则D(m，0)，C(0，3)，A(m，3m)，∵PCPB＝－m1－m＝mm－1，PDPA＝33－3m＝mm－1，∴PCPB＝PDPA.又∵∠P＝∠P，∴△PDC∽△PAB.∴∠PDC＝∠PAB.∴DC∥AB.又∵AD∥CF，DE∥CB，∴四边形ADCF和四边形DEBC都是平行四边形．∴AF＝DC，DC＝BE.∴AF＝BE.∴AE＝BF.(3)S四边形ABCD＝S△APB－S△PCD＝12PA·PB－12PC·PD＝12(3－3m)(1－m)－12×3(－m)＝4.解得m＝－32.则P(－32，3)．