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免费遵义专版2018年中考数学总复习：第1节轴对称变换问题含考点分类汇编详解专题三图形变换问题的基本类型和解题策略图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移及图形的旋转，在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要，近几年来各地中考试题中，有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解．这类问题考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来各地中考试题的热点问题．纵观遵义近五年中考，图形变换类问题几乎每年都会命1～2题，有选择题也有解答题，有基础题也有中高档题，分值4～10分不等，预计2018年遵义中考仍然会在这方面加大考查力度，务必强化训练．第一节轴对称变换问题,中考重难点突破【例1】(河北中考)图①和图②中，优弧AB︵所在⊙O的半径为2，AB＝23.点P为优弧AB︵上一点(点P不与A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′.www.21-cn-jyvvvvv(1)点O到弦AB的距离是______，当BP经过点O时，∠ABA′＝______°；(2)当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕的长．【解析】本题考查了含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；切线的性质；翻折变换(折叠问题)；锐角三角函数的定义．21cnjyvvvvv【答案】解：(1)①1；60；(2)过点O作OG⊥BP，垂足为G，连接OB.∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B，∴∠OBA′＝90°.∵∠OBA＝30°，∴∠ABA′＝120°，∴∠A′BP＝∠ABP＝60°，∴∠OBP＝30°，∴OG＝12OB＝1，∴BG＝3.∵OG⊥BP，∴BG＝PG＝3，∴BP＝23，∴折痕的长为23.【例2】(荆州中考)如图①，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O，A不重合)，现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD，PF重合．2·1·c·n·j·y(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出y的最大值；(2)如图②，若翻折后点D落在BC边上，求过点P，B，E的抛物线的函数关系式．【解析】(1)根据折叠的性质证明Rt△POE∽Rt△BAP，得到对应边成比例即可列出y与x的二次函数关系式，由x的范围，考虑顶点取值，所以当x等于顶点横坐标时，y的最大值为顶点纵坐标，根据顶点坐标公式求出y的最大值即可；(2)根据题意可知，△EOP和△PAB都为等腰直角三角形，求出OP＝OE＝1，AP＝AB＝3，得到点P，点B，点E三点坐标，设出抛物线的一般式，把三点坐标代入得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出方程组的解即可得到a，b，c的值，确定出抛物线的解析式．【来源：21·世纪·教育·网】【答案】解：(1)由折叠可得：△PAB≌△PDB，△POE≌△PFE，∴∠APB＝∠DPB，∠OPE＝∠FPE.∵∠APB＋∠DPB＋∠OPE＋∠FPE＝180°，∴∠APB＋∠OPE＝90°.∵∠OPE＋∠OEP＝90°，∴∠APB＝∠OEP.∵∠EOP＝∠PAB＝90°，∴△POE∽△BAP，∴OPAB＝OEAP.∵A(4，0)，C(0，3)，E(0，y)，P(x，0)，∴x3＝y4－x，即y＝x3(4－x)＝－13(x2－4x)(0＜x＜4)．∵y＝－13(x2－4x)＝－13(x－2)2＋43，而a＝－13＜0，∴x＝2时，ymax＝43；(2)由题意可知，四边形DPAB，EOPF都为正方形，∴AP＝AB＝3，OE＝OP＝4－3＝1.∴E(0，1)，P(1，0)．∵B(4，3)，设过三点的抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，把三点坐标代入，得c＝1，a＋b＋c＝0，16a＋4b＋c＝3，∴过点P，B，E的抛物线的函数关系式为y＝12x2－32x＋1.【规律总结】轴对称变换通常有两种情况：一是题目的背景图形是轴对称图形，二是题目的背景不是轴对称图形时，要善于发现和运用其中的轴对称的性质，如把轴对称和等腰三角形结合起来，找出轴对称特征并探索出规律，达到解决问题的目的．21教育网◆模拟题区1．(2017遵义一中三模)如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD翻折得到△AED，AE交半圆O于点F，连接DF，OD.21世纪教育网版权所有(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)当OC＝BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．解：(1)∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＋∠ADC＝90°.∵在半圆O中，OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO.由折叠可得：∠ADE＝∠ADC，∴∠ADE＋∠ADO＝90°，即ED⊥DO.∵OD为半圆O的半径，∴DE是半圆O的切线；(2)四边形ODFA是菱形，连接OF，∵OC＝BC＝12OB＝12OD，∴在Rt△OCD中，∠ODC＝30°，∴∠DOC＝60°，∵∠DOC＝∠OAD＋∠ODA，∴∠OAD＝∠ODA＝∠FAD＝30°，∴OD∥AF，∠FAO＝60°，又∵OF＝OA，∴△FAO是等边三角形，∴OA＝AF，∴OD＝AF，∴四边形ODFA是平行四边形，∵OA＝OD，∴四边形ODFA是菱形.◆中考真题区2．(泰安中考)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE.(1)求证：AC2＝CD·BC；(2)过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK＝EB.①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；②若∠B＝30°，求证：四边形AKEC是菱形．解：(1)∵AC平分∠BCD，∴∠DCA＝∠ACB.又AD⊥AE，AC⊥AB，∴∠DAC＋∠CAE＝90°，∠CAE＋∠EAB＝90°，∴∠DAC＝∠EAB.又∵E是Rt△CAB斜边的中点，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴ACBC＝CDAC，∴AC2＝CD·BC；(2)①连接AH.∵∠ADC＝∠BAC＝90°，点H，D关于AC对称，则AH⊥BC.∵EG⊥AB，AE＝BE，∴G为AB的中点，∴GH＝GA，∴∠GAH＝∠GHA.∵F是AC的中点，∴AF＝FH，∴∠HAF＝∠FHA，∴∠FHG＝∠AHF＋∠AHG＝∠FAH＋∠HAG＝∠CAB＝90°，∴FH⊥HG；②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC.又∵∠B＝30°，∴AC＝12BC＝EB＝EC.又∵EK＝EB，∴EK＝AC，∴四边形AKEC是菱形.