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免费2018届中考数学《第六讲第3课时抛物线中的一个动点问题》同步练习含考点分类汇编详解第3课时抛物线中的一个动点问题(40分)1．(20分)[2017·酒泉]如图6－3－1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；(2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；(3)连结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．【解析】(1)用待定系数法，将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，解得a，b，即可求出二次函数的表达式；(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.由题意可知，BC＝10，OA＝4，S△ABC＝20，S△ABN＝2(n＋2)，因MN∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得AMAB＝NCBC＝8－n10，由△AMN，△ABN是同高三角形，可得出S△AMNS△ABN＝AMAB＝CNCB＝8－n10，从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，由NM∥AC推出M为AB边中点，根据直角三角形中线定理可得OM＝12AB，利用勾股定理，易得AB＝25，AC＝45，即可求出OM＝14AC.解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，得4a－2b＋4＝0，64a＋8b＋4＝0，解得a＝－14，b＝32.∴该二次函数的表达式为y＝－14x2＋32x＋4；(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)；则BN＝n＋2，CN＝8－n.∵B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10.令x＝0，得y＝4，∴A(0，4)，OA＝4，∵MN∥AC，∴AMAB＝NCBC＝8－n10.∵OA＝4，BC＝10，∴S△ABC＝12BC·OA＝20.S△ABN＝12BN·OA＝12(n＋2)×4＝2(n＋2)，又∵S△AMNS△ABN＝AMAB＝8－n10，∴S△AMN＝8－n10S△ABN＝15(8－n)(n＋2)＝－15(n－3)2＋5.∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；(3)当N(3，0)时，N为BC边中点．∴M为AB边中点，∴OM＝12AB，∵AB＝OB2＋OA2＝4＋16＝25，AC＝OC2＋OA2＝64＋16＝45，∴AB＝12AC，∴OM＝14AC.2．(20分)[2016·贵港]如图6－3－2，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式；(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A，B两点坐标代入表达式，可得25a－5b－5＝0，9a＋3b－5＝0，解得a＝13，b＝23，∴抛物线的表达式为y＝13x2＋23x－5；(2)在y＝13x2＋23x－5中，令x＝0，可得y＝－5，∴点C坐标为(0，－5)，∵S△ABE＝S△ABC，且点E在x轴下方，∴点E纵坐标和点C纵坐标相同，当y＝－5时，代入可得13x2＋23x－5＝－5，解得x＝－2或x＝0(舍去)，∴点E坐标为(－2，－5)；(3)假设存在满足条件的P点，其坐标为m，13m2＋23m－5，如答图，连结AP，CE，AE，过点E作ED⊥AC于点D，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则AQ＝AO＋OQ＝5＋m，PQ＝13m2＋23m－5，在Rt△AOC中，OA＝OC＝5，则AC＝52，∠ACO＝∠DCE＝45°，由(2)可得EC＝2，在Rt△EDC中，可得DE＝DC＝2，∴AD＝AC－DC＝52－2＝42，当∠BAP＝∠CAE时，则△EDA∽△PQA，∴EDAD＝PQAQ，即242＝13m2＋23m－55＋m，∴13m2＋23m－5＝14(5＋m)或13m2＋23m－5＝－14(5＋m)，当13m2＋23m－5＝14(5＋m)时，整理可得4m2＋5m－75＝0，解得m＝154或m＝－5(与点A重合，舍去)，当13m2＋23m－5＝－14(5＋m)时，整理可得4m2＋11m－45＝0，解得m＝94或m＝－5(与点A重合，舍去)，∴存在满足条件的点P，其横坐标为94或154.(40分)3．(20分)[2016·南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵顶点坐标为(1，1)，∴设抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x，联立抛物线和直线表达式，可得y＝－x2＋2x，y＝x－2，解得x＝2，y＝0或x＝－1，y＝－3，∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如答图，分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于D，E两点，则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，EC＝3.∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形；(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x，－x2＋2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝2，BC＝32，∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°，∴当△ABC和△MNO相似时有MNAB＝ONCB或MNCB＝ONAB，①当MNAB＝ONCB时，则有|－x2＋2x|2＝|x|32，即|x|·|－x＋2|＝13|x|，∵当x＝0时M，O，N不能构成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝13，即－x＋2＝±13，解得x1＝53，x2＝73，此时点N坐标为53，0或73，0；②当MNCB＝ONAB时，则有|－x2＋2x|32＝|x|2，即|x|·|－x＋2|＝3|x|，∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5或－1，此时点N坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知，存在满足条件的点N，其坐标为53，0或73，0或(－1，0)或(5，0)．4．(20分)[2017·泸州]如图6－3－4，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点．(1)求该二次函数的表达式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点，连结PA分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值．【解析】(1)根据待定系数法求解；(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)．根据tan∠MBA＝tan∠CAO列关于t的方程求解t，从而可确定直线BD表达式，再求直线BD与抛物线交点坐标即可，注意分类讨论；(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，设P(t，at2＋bt＋c)，根据直线BC表达式点H的坐标，计算线段PH长度；用t表示直线AP表达式，解出点E，F坐标从而可表示出线段CF，将S1－S2用t表示，根据二次函数性质求最值．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)，∵抛物线图象过点C(0，2)，∴－4a＝2，解得a＝－12.∴抛物线的表达式为y＝－12(x＋1)(x－4)，即y＝－12x2＋32x＋2；(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)．∵∠DBA＝∠CAO，∴∠MBA＝∠CAO，∴tan∠MBA＝tan∠CAO＝2，∴|t|4＝2，即t＝±8.当t＝8时，直线BD表达式为y＝－2x＋8.联立y＝－2x＋8，y＝－12x2＋32x＋2，解得x1＝4，y1＝0；x2＝3，y2＝2.∴D(3，2)．当t＝－8时，直线BD表达式为y＝2x－8.联立y＝2x－8，y＝－12x2＋32x＋2，解得x1＝4，y1＝0；x2＝－5，y2＝－18.∴D(－5，－18)．综上：点D的坐标为(3，2)或(－5，－18)；(3)如答图，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，设Pt，－12t2＋32t＋2，直线BC的表达式为y＝－12x＋2，则Ht，－12t＋2，∴PH＝yP－yH＝－12t2＋2t；直线AP的表达式为y＝－12t＋2(x＋1)，取x＝0，得y＝2－12t；故F0，2－12t，CF＝2－2－12t＝12t；联立y＝2－t2（x＋1），y＝－12x＋2，解得xE＝t5－t，∴S1＝12(yP－yH)(xB－xE)＝12－12t2＋2t4－t5－t，S2＝12·t2·t5－t.∴S1－S2＝12－12t2＋2t4－t5－t－12·t2·t5－t＝－54t2＋4x＝－54t－852＋165.∴当t＝85时，S1－S2有最大值，最大值为165.(20分)5．(20分)[2016·金华]在平面直角坐标系中，O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y＝ax2相交于A，B两点(点B在第一象限)，点D在AB的延长线上．(1)已知a＝1，点B的纵坐标为2.①如图6－3－5①，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长；②如图②，若BD＝12AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式；(2)如图③，若BD＝AB，过O，B，D三点的抛物线L3的顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴交抛物线L于E，F两点，求a3a的值，并直接写出ABEF的值．图6－3－5解：(1)①对于二次函数y＝x2，当y＝2时，2＝x2，解得x1＝2，x2＝－2，∴AB＝22.∵平移得到的抛物线L1经过点B，∴BC＝AB＝22，∴AC＝42；②如答图①，记抛物线L2的对称轴与AD相交于点N.根据抛物线的轴对称性，得BN＝12DB＝22，∴OM＝322.设抛物线L2的函数表达式为y＝a2·x－3222.由①得，点B的坐标为2，2，∴2＝a2·2－3222，解得a2＝4.∴抛物线L2的函数表达式为y＝4x－3222；即y＝4x2－122x＋18.①②第5题答图(2)如答图②，设抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作BK⊥x轴于点K.设OK＝t，则AB＝BD＝2t，点B的坐标为(t，at2)，根据抛物线的轴对称性，得OQ＝2t，OG＝2OQ＝4t.设抛物线L3的函数表达式为y＝a3x(x－4t)，∵该抛物线过点B(t，at2)，∴at2＝a3t(t－4t)，又∵t≠0，∴a3a＝－13，由题意得，点P的坐标为(2t，－4a3t2)，则－4a3t2＝ax2，解得x1＝233t，x2＝－233t，EF＝433t，∴ABEF＝32.