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免费2018年浙江中考数学复习方法技巧专题七:角平分线训练含分类汇编解析方法技巧专题七角平分线训练1.与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线(1)角平分线"加"平行线构成等腰三角形.(2)角平分线"加"垂线构成等腰三角形.(3)过角平分线上的点作边的垂线.一、选择题1.[2017·台州]如图F7-1,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,则点P到边OA的距离是()A.1B.2C.3D.4图F7-1图F7-22.[2017·眉山]如图F7-2,在△ABC中,∠A=66°,点I是内心,则∠BIC的大小为()A.114°B.122°C.123°D.132°3.如图F7-3,半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分∠BAC,则AD的长为()A.45cmB.35cmC.55cmD.4cm图F7-34.如图F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则BFEF的值是()图F7-4A.2-1B.2+2C.2+1D.25.[2017·滨州]如图F7-5,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立.(2)OM+ON的值不变.(3)四边形PMON的面积不变.(4)MN的长不变,其中正确的个数为()图F7-5A.4B.3C.2D.1二、填空题6.[2015·常德]如图F7-6,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=________度.图F7-6图F7-77.[2016·宁夏]如图F7-7,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于________.8.[2017·十堰]如图F7-8,△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,∠ACB的角平分线交⊙O于D,若AC=6,BD=52,则BC的长为________.图F7-89.[2015·巴中]如图F7-9,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD,AE分别为△ABC的中线和角平分线,过点C作CH⊥AE于点H,并延长交AB于点F,连结DH,则线段DH的长为________.图F7-910.如图F7-10,在?ABCD中,AB>AD,AE,BE,CM,DM分别为∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分线,AE与DM相交于点F,BE与CM相交于点N,连结EM.若?ABCD的周长为42cm,FM=3cm,EF=4cm,则EM=________cm,AB=________cm.图F7-10三、解答题11.[2017·盐城]如图F7-11,矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.(1)求证:四边形BEDF为平行四边形;(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.图F7-1112.[2017·临沂]如图F7-12,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证:DE=DB;(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.图F7-1213.[2016·滨州]如图F7-13,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连结ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=210,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.图F7-13参考答案1.B2.C[解析]因为点I是内心,所以∠IBC=12∠ABC,∠ICB=12∠ACB,因此∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=180°-12(180°-66°)=123°.3.A[解析]连结BC,OD相交于点E,连结BD,BC=8cm,BE=4cm,OE=3cm,DE=2cm,BD=25cm,AD=45cm.4.C[解析]如图,过点F作FG⊥AD于点G.依题意可知△ABC是等腰直角三角形,∴△AFG也是等腰直角三角形.设FG=1,则AG=1,AF=2.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=22.5°.∴∠AEB=90°-∠ABE=67.5°,∠AFE=∠CAB+∠ABE=67.5°.∴∠AEB=∠AFE,∴AE=AF=2,∴EG=2-1.∵FG⊥AD,∠DAB=90°,∴FG∥AB.∴BFEF=AGEG=12-1=2+1.故选C.5.B[解析]结论(1),过点P分别作OA、OB的垂线段,由于∠PEO=∠PFO=90°,因此∠AOB与∠EPF互补,由已知"∠MPN与∠AOB互补",可得∠MPN=∠EPF,可得∠MPE=∠NPF.根据"角平分线上一点到角两边距离相等",可证PE=PF,即可证得Rt△PME≌Rt△PNF,因此对于结论(1),"PM=PN"由全等即可证得是成立的;结论(2),也可以由全等得到ME=NF,即可证得OM+ON=OE+OF,由于OE+OF保持不变,因此OM+ON的值也保持不变;结论(3),由"Rt△PME≌Rt△PNF"可得这两个三角形的面积相等,因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等,因此结论(3)是正确的;结论(4),连结EF,对于△PMN与△PEF,这两个三角形都是等腰三角形,且顶角相等,但由于腰长不等,因此这两个三角形不可能全等,所以底边MN与EF不可能相等.所以MN的长是变化的.6.707.28.8[解析]连结DA,因为∠ACB=90°,所以AB为直径,所以∠ADB=90°,因为CD平分∠ACB,所以BD=AD,在△ABD中,AB=AD2+BD2=(52)2+(52)2=10,在△ABC中,BC=AB2-AC2=102-62=8.9.110.513[解析]∵四边形EFMN有三个角是直角,∴四边形EFMN是矩形,∴EM=5.易知△ADF≌△CBN,△AFD∽△AEB.∴AFAF+4=DFDF+3=ADAB,即3AF=4DF.设AF=4k,则DF=3k,AD=5k,AB=5(k+1).∵AD+AB=21,∴5k+5(k+1)=21,解得k=1.6.∴AB=13.11.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,BC∥AD.∴∠ABD=∠CDB.∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,∴∠EBD=12∠ABD,∠FDB=12∠CDB.∴∠EBD=∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD,∴四边形BEDF是平行四边形.(2)当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形.理由如下:∵BE平分∠ABD,∠ABE=30°,∴∠ABD=60°,∠DBE=30°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-60°=30°.∴∠DBE=∠ADB.∴DE=BE.∵四边形BEDF是平行四边形,∴四边形BEDF是菱形.12.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.又∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∴∠DBE=∠BED,∴BD=DE.(2)如图,连结CD.∵∠BAC=90°,∴BC是直径,∴∠BDC=90°.∵AD平分∠BAC,BD=4,∴BD=CD=4,∴BC=BD2+CD2=42,∴△ABC外接圆的半径为22.13.解:(1)四边形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB,∵∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF,在△EFD和△GFB中,∠EDF=∠GBF,DF=BF,∠EFD=∠GFB,∴△EFD≌△GFB,∴ED=BG,∴BE=ED=DG=GB,∴四边形EBGD是菱形.(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,连结EC交BD于点H,此时HG+HC最小,在Rt△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=210,∴EM=12BE=10.∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,∴EM∥DN,EM=DN=10,MN=DE=210,在Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,∴∠NDC=∠NCD=45°,∴DN=NC=10,∴MC=310.在Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,EM=10,MC=310,∴EC=EM2+MC2=(10)2+(310)2=10.∵HG+HC=EH+HC=EC,∴HG+HC的最小值为10.
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