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免费2018年浙江中考数学复习方法技巧专题九:45 °角与正切值含分类汇编解析方法技巧专题九45°角与正切值一、选择题1.如图F9-1,直线y=34x+3交x轴于A点,交y轴于B点.将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O,另两个顶点M、N恰落在直线y=34x+3上.若N点在第二象限内,则tan∠AON的值为()图F9-1A.17B.16C.15D.18二、填空题2.如图F9-2,△ABC中,∠C=90°,∠ABD=45°,BD=91,CD=35,则AD的长度为________.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于D,CD=3AD,反比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为________.图F9-3图F9-44.[2017·金华]如图F9-4,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=kx的图象上.作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为________.三、解答题5.如图F9-5,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,22,10.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连结PP′,并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-56.如图F9-6,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解折式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-67.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中A(1,0),C(0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)如图F9-7,若点P在抛物线上运动(点P异于点A),当∠PCB=∠BCA时,求直线CP的解析式.图F9-78.如图F9-8,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=12x+2交于C、D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,72).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-89.如图F9-9,抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于A、B、C三点,点P在抛物线上,PD⊥BC于点D,垂足D在线段BC上.若CDPD=12,求点P的坐标.图F9-9参考答案1.A[解析]过O作OC⊥AB于C,过N作ND⊥OA于D,∵N在直线y=34x+3上,∴设N的坐标是(x,34x+3),则DN=34x+3,OD=-x.y=34x+3,当x=0时,y=3,当y=0时,x=-4,∴A(-4,0),B(0,3),即OA=4,OB=3,在△AOB中,由勾股定理得AB=5,∵在△AOB中,由三角形的面积公式得:AO×OB=AB×OC,∴3×4=5OC,∴OC=125.∵在Rt△NOM中,OM=ON,∠MON=90°,∴∠MNO=45°,∴sin45°=OCON=125ON,∴ON=1225,在Rt△NDO中,由勾股定理得ND2+DO2=ON2,即(34x+3)2+(-x)2=(1225)2,计算得出x1=-8425,x2=1225,∵N在第二象限,∴x只能是-8425,34x+3=1225,即ND=1225,OD=8425,tan∠AON=NDOD=17.所以A选项是正确的.2.1693.94.(-1,-6)[解析]如图,过点A作AH⊥AB交x轴于点H,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AH,垂足分别为E,F.设AB的解析式为y=kx+b,把点A(2,3)和点B(0,2)分别代入,得2k+b=3,b=2,解得k=12,b=2,∴y=12x+2.令y=0,则12x+2=0,得x=-4.∴G(-4,0),∴OG=4,OB=2.∵点A(2,3),OG=4,可得AG=35.∵∠BGO=∠AGH,∠GOB=∠GAH=90°,∴△BOG∽△HAG,∴OBAH=OGAG,即2AH=435,∴AH=352.由△AGH的面积,可得12×3GH=12AG·AH,即3GH=35×352,得GH=152.∴OH=GH-OG=72.∵AH⊥AB,∠GAC=45°,∴AD平分∠GAH.∵DE⊥AB,DF⊥AH,∴DE=DF=AF.由△AGH的面积,可得12DE·AG+12DF·AH=12AG·AH,即12(35+352)DF=12×35×352,∴DF=5,∴AF=5,FH=352-5=52.∴DH=(5)2+(52)2=52,∴OD=OH-DH=72-52=1,∴D(1,0).设直线AD的解析式为y=mx+n,把点A(2,3),D(1,0)代入,得2m+n=3,m+n=0,解得m=3,n=-3,∴y=3x-3.把点A(2,3)代入y=kx,得y=6x.由y=6x,y=3x-3得x=-1,y=-6或x=2,y=3(舍去),∴点C的坐标为(-1,-6).5.解:(1)证明:∵△ABP′是由△ABP顺时针旋转90°得到,∴AP=AP′,∠PAP′=90°,∴△APP′是等腰直角三角形.(2)∵△APP′是等腰直角三角形,∴∠APP′=45°,PP′=2,又∵BP′=10,BP=22,∴PP′2+BP2=BP′2,∴∠BPP′=90°.∵∠APP′=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP′-∠BPP′=45°.(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,∴BE=PE=2,∴AE=3,∴AB=AE2+BE2=13,则BC=13.∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,∴△ABE∽△AQB,∴AEAB=ABAQ,即313=13AQ,∴AQ=133,∴BQ=AQ2-AB2=2313,∴CQ=BC-BQ=1313.6.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,∴a-b-4a=0,-4a=4,解得a=-1,b=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0∴m=-1或m=3,∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.设点D关于直线BC的对称点为点E.∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3,∴∠ECB=∠DCB=45°,∴E点在y轴上,且CE=CD=3,∴OE=1,∴E(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).(3)作PF⊥AB于F,DE⊥BC于E,由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=322.∵OB=OC=4,∴BC=42,∴BE=BC-CE=522,∴tan∠PBF=tan∠CBD=DEBE=35.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).∵P点在抛物线上,∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,∴t=0(舍去)或t=2225,∴P(-25,6625).7.解:(1)因为抛物线经过点A(1,0),C(0,-3),对称轴为直线x=2,所以可列方程组a+b+c=0,c=-3,-b2a=2,解得a=-1,b=4,c=-3,所以抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)如图所示,延长直线CP交x轴于点Q.因为点B(3,0),C(0,-3),所以OB=OC,即∠OCB=∠OBC=45°,因为直线CP经过点C,所以可设直线CP的方程为y=kx-3.令∠OCA=α,则∠ACB=∠OCB-α=45°-α,因为∠BCP=∠ACB=45°-α,所以∠OQC=∠OBC-∠BCP=45°-(45°-α)=α,所以∠OCA=∠OQC,又因为∠QOC=∠COA,所以△AOC∽△COQ,故OAOC=OCOQ=13,所以OQ=3OC=9,即点Q的坐标为(9,0),因为直线CP经过点Q,所以k×9-3=0,解得k=13,所以直线CP的解析式为y=13x-3.8.解:(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,72),可得-0+0+c=2,-9+3b+c=72,解得c=2,b=72,所以抛物线的解析式为y=-x2+72x+2.(2)设P(m,-m2+72m+2).如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,作PM⊥CD于点M,CN⊥PF于点N,则△PMF∽△CNF,∴PMMF=CNFN=m12m=2,∴PM=CM=2CF.∴PF=5FM=5CF=5×52CN=52CN=52m.又∵PF=-m2+3m,∴-m2+3m=52m.解得m1=12,m2=0(舍去),∴P(12,72).当点P在CD下方且∠PCF=45°时,同理可以求得另外一点为P(236,1318).9.解:令y=0,则x2-4x+3=0,∴x1=1,x2=3,∴B(3,0).当x=0时,y=3,∴C(0,3),∴OB=OC=3,∴∠OCB=∠OBC=45°.连结CP,则tan∠PCD=PDCD=2,作PE⊥y轴于E,连接PC.∴∠BCE=135°,过C点作CH∥x轴,作P点作PH∥y轴,两直线交于H点,CH交PD于G点,设CD的长为x,则PD=2x,PG=x,CE=PH=22x,PE=CH=2x+22x.∴tan∠PCE=3.设CE=a,则PE=3a,∴P(3a,3+a),代入抛物线方程得3+a=9a2-12a+3,∴a=139,∴P(133,409).
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