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免费2018届甘肃中考数学《专题聚焦》总复习练习题含分类汇编解析题型一规律探索类型一数与式规律探索1．(2017·百色)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是(B)A．－121B．－100C．100D．1212．(2017·武汉)按照一定规律排列的n个数：－2、4、－8、16、－32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为(导学号35694235)(B)A．9B．10C．11D．123．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝__(n＋1)2__．4．若x是不等于1的实数，我们把11－x称为x的差倒数，如2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12，现已知x1＝－13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，以此类推，则x2018＝__34__．5．观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2015＝__1016064__．6．小明写出如下一组数：15，－39，717，－1533，…，请用你发现的规律，猜想第2014个数为__－22014－122015＋1__．7．(2017·云南)观察下列各个等式的规律：第一个等式：22－12－12＝1，第二个等式：32－22－12＝2，第三个等式：42－32－12＝3，…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．解：(1)第四个等式为：52－42－12＝4；(2)第n个等式为：（n＋1）2－n2－12＝n;证明如下：∵（n＋1）2－n2－12＝n2＋2n＋1－n2－12＝2n2＝n，∴左边＝右边，等式成立．类型二图形规律探索1．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图②，图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为(导学号35694236)(C)A．121B．362C．364D．7292．如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为__12n__(n为正整数)．3．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017，则∠A2017＝__m22017__°.4．如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图⑤中三角形的个数是(C)A．8B．9C．16D．175．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，依此规律，第11个图案需(B)根火柴．A．156B．157C．158D．1596．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为__(n＋1)2__(用含n的代数式表示)．(导学号35694237)类型三与坐标系结合的规律探索1．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A(53，0)，B(0，4)，则点B2016的横坐标为(D)A．5B．12C．10070D．100802．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中"→"方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)…，根据这个规律探索可得第100个点的坐标为(D)A．(14，0)B．(14，－1)C．(14，1)D．(14，2)3．如图，已知菱形OABC的两个顶点O(0，0)，B(2，2)，若将菱形绕点O以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2017秒时，菱形两对角线交点D的坐标为__(0，2)__．4．(2017·赤峰)在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P′(－y＋1，x＋2)，我们把点P′(－y＋1，x＋2)叫做点P(x，y)的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为(2，0)，则点P2017的坐标为__(2，0)__．(导学号35694238)5．如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC，且∠A＝120°，点O、B在y轴上，OA＝1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__(1345.5，32)__．题型二尺规作图类型一作与两条直线距离有关的点1．(2017·陕西)如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹，不写作法)(导学号35694239)解：如解图，点P即为所求．2．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)解：如解图所示，作CD的垂直平分线，∠AOB的平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和P1都是所求的点．3．(2017·绥化)如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P.(不写作法和证明，只保留作图痕迹)解：如解图，连接AC，作线段AC的垂直平分线MN，直线MN交AB于点P.点P即为所求的点．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD.(保留作图痕迹，不写作法)解：如解图，点D即为所求．类型二作角平分线和垂直平分线1．(2017·福建)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BPD＋∠PBD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP.∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ.2．(2017·赤峰)已知平行四边形ABCD.(1)尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，求证：CE＝CF.(1)解：如解图所示，AF即为所求；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵AF平分∠BAD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴CE＝CF.3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°.(1)作边AB的垂直平分线MN；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在已知的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数．(导学号35694240)解：(1)如解图①即为所求垂直平分线MN；(2)如解图②，连接BD，∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD＝BD，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝70°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.4．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°.(1)尺规作图：按下列要求完成作图(保留作图痕迹，请标明字母)①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD＝OB；③连接DA、DC；(2)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(1)①②③如解图所示；(2)四边形ABCD是矩形，理由：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC边上的中线，∴BO＝12AC，∵BO＝DO，AO＝CO，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴四边形ABCD是矩形．类型三作圆1．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)解：如解图所示，⊙P即为所作的圆．2．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．解：(1)如解图所示，⊙P为所求作的圆；(2)∵∠B＝60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝30°，∵tan∠ABP＝APAB，∴AP＝3，∴S⊙P＝3π.3．(2017·舟山)如图，已知△ABC，∠B＝40°.(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接EF，DF，求∠EFD的度数．解：(1)如解图①，⊙O即为所求；(2)如解图②，连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB＝∠OEB＝90°，∵∠B＝40°，∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.4．已知△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°.(1)求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；(2)求证：BC是(1)中所作⊙O的切线．(1)解：作图如解图①；(2)证明：如解图②，连接OC，∵OA＝OC，∠A＝25°，∴∠BOC＝50°，又∵∠B＝40°，∴∠BOC＋∠B＝90°，∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线．5．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°.(1)先作∠ACB的平分线，设它交AB边于点O，再以点O为圆心OB为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)证明：AC是所作⊙O的切线；(3)若BC＝3，sinA＝12，求△AOC的面积．(1)解：作图如解图所示：(2)证明：过点O作OE⊥AC于点E，∵FC平分∠ACB，∴OB＝OE，∴AC是所作⊙O的切线；(3)解：∵sinA＝12，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，∴∠ACO＝∠OCB＝12∠ACB＝30°，∵BC＝3，∴AC＝23，BO＝BCtan30°＝3×33＝1，∴S△AOC＝12AC·OE＝12×23×1＝3.题型三与三角形、四边形有关的证明与计算类型一与三角形有关的证明与计算1．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM，在△BAD和△NAM中，AB＝AN，∠BAD＝∠NAM，AD＝AM，∴△BAD≌△NAM(S)，∴∠B＝∠ANM.2．(2017·孝感)如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD.证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∵BF＝DE，∴BF＋EF＝DE＋EF，∴BE＝DF.在Rt△AEB和Rt△CFD中，AB＝CD，BE＝DF，∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠D，∴AB∥CD.3．(2017·连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.(1)解：∠ABE＝∠ACD；理由如下：在△ABE和△ACD中，AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(S)，∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.4．(2017·荆门)已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．(1)证明：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∵AB∥CF，∴∠BAF＝∠AFC，在△ADE与△FCE中，∠DAF＝∠AFC，∠AED＝∠FEC，DE＝CE，∴△ADE≌△FCE(A)；(2)解：由(1)得，CD＝2DE，∵DE＝2，∴CD＝4.∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝8，AD＝CD＝12AB.∵AB∥CF，∴∠BDC＝180°－∠DCF＝180°－120°＝60°，∴∠DAC＝∠ACD＝12∠BDC＝12×60°＝30°，∴BC＝12AB＝12×8＝4.5．(2017·重庆A)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.(导学号35694241)(1)解：AC＝13；(2)证明：如解图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC(S)，∴AC＝BD，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，∵BF＝FC，∠BFG＝∠CFE，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE(S)，∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G＝∠CEF.6．(2017·呼和浩特)如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．(1)求证：BD＝CE；(2)设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．(1)证明：由题意得，AB＝AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD＝12AC，AE＝12AB，∴AD＝AE，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(S)．∴BD＝CE；(2)解：四边形DEMN是正方形，证明：略7．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D.(1)如图①，求证：∠AIB＝∠ADI；(2)如图②，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F.①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．(1)证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAI＝12∠BAC，∠ABI＝12∠ABC，∴∠BAI＋∠ABI＝12(∠BAC＋∠ABC)＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，∴在△ABI中，∠AIB＝180°－(∠BAI＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋12∠ACB，∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝12∠ACB，∵DI⊥IC，∴∠DIC＝90°，∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋12∠ACB，∴∠AIB＝∠ADI；(2)解：①结论：DI∥CF.理由：∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－12∠ACB，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝12∠ACE＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，∴∠IDC＝∠ACF，∴DI∥CF；②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°，∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，∴∠F＝∠FCE－∠FBC，∵∠FCE＝12∠ACE，∠FBC＝12∠ABC，∴∠F＝12∠ACE－12∠ABC＝12(∠ACE－∠ABC)＝35°.8．(8分)(2017·北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．(导学号35694242)解：(1)∠AMQ＝45°＋α；理由如下：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α；(2)PQ＝2MB.理由如下：如解图，连接AQ，作ME⊥QB，∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，在△APC和△QME中，∠MQE＝∠PAC，∠ACP＝∠QEM，AP＝QM，∴△APC≌△QME(A)，∴PC＝ME，∴△MEB是等腰直角三角形，∴12PQ＝22MB，∴PQ＝2MB.类型二与四边形有关的证明与计算1．在?ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，在△ADE和△CBF中，AD＝BC，∠A＝∠C，AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(S)；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE＝CF，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵DF＝FB，∴四边形DEBF为菱形．2．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．(导学号35694243)(1)证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，∴AE∥BD，∵∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)解：∵DA平分∠BDE，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD＝5，设BF＝x，则52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝75，∴AF＝AB2－BF2＝245，∴AC＝2AF＝485.3．(2017·上海)已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．证明：(1)在△ADE和△CDE中，AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC，∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．4．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠F＝45°.∵AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；(2)解：如解图，过点B作BH⊥AE于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°，∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6.在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴AD＝DE＝8，∴BC＝8.在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝BC2＋CE2＝10，在Rt△AHB中，∠HAB＝45°，∴BH＝AB·sin45°＝72，∵在Rt△BHE中，∠BHE＝90°，∴sin∠AEB＝BHBE＝7210.5．(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．(导学号35694244)(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，∴四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG＝∠C，∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；(2)解：∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝BE＝22BD＝2，作FM⊥BD于点M，连接DF，如解图所示，则△BFM是等腰直角三角形，∴FM＝BM＝22BF＝1，∴DM＝3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝12＋32＝10，即D，F两点间的距离为10.6．(2017·张家界)如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1)求证：△AGE≌△BGF；(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠BFG，∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，在△AGE和△BGF中，∠AEG＝∠BFG，∠AGE＝∠BGF，AG＝BG，∴△AGE≌△BGF(A)；(2)解：四边形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形.7．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？(1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD，∴∠ODC＝54°，∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.8．(2017·娄底)如图，在?ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.(1)求证：△ABG≌△CDE；(2)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；(3)若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．(1)证明：∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，∴∠BAG＝12∠BAD，∠DCE＝12∠DCB，∵在?ABCD中，∠BAD＝∠DCB，AB＝CD，∴∠BAG＝∠DCE，同理可得，∠ABG＝∠CDE，∵在△ABG和△CDE中，∠BAG＝∠DCE，AB＝CD，∠ABG＝∠CDE，∴△ABG≌△CDE(A)；(2)解：四边形EFGH是矩形．证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB＝12∠BAD，∠GBA＝12∠ABC，∵在?ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝180°，∴∠GAB＋∠GBA＝12(∠DAB＋∠ABC)＝90°，即∠AGB＝90°，同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；(3)解：依题意得：∠BAG＝12∠BAD＝30°，∵AB＝6，∴BG＝12AB＝3，AG＝33＝CE，∵BC＝4，∠BCF＝12∠BCD＝30°，∴BF＝12BC＝2，CF＝23，∴EF＝33－23＝3，GF＝3－2＝1，∴S矩形EFGH的面积＝EF·GF＝3.题型四解直角三角形的实际应用1．(2017·镇江)如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长．(精确到1m，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：作AE⊥CD于E，如解图，∵AB＝15m，∴DE＝AB＝15m，∵∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝15m，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CEAE，则CE＝AE·tan37°＝15×0.75≈11m，∴CD＝CE＋DE＝11＋15＝26m.答：实验楼的垂直高度CD长为26m.2．(2017·宜宾)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100米，求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A作AD⊥BC于点D，如解图，∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC，设AD＝DC＝xm，则tan30°＝xx＋100＝33，解得x＝50(3＋1)．答：河的宽度为50(3＋1)m.3．(2017·宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度．(结果保留根号)(导学号35694245)解：过点C作CD⊥AB于点D，如解图，设CD＝x，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝CDAD，∴AD＝CDtan∠CAD＝xtan30°＝x33＝3x，由AD＋BD＝AB可得3x＋x＝10，解得x＝53－5.答：飞机飞行的高度为(53－5)km.4．(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．解：如解图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°.设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝3x，又∵BC＝20(1＋3)，CD＋BD＝BC，即x＋3x＝20(1＋3)，解得：x＝20，∴AC＝2x＝202(海里)．答：A、C之间的距离为202海里．5．(2017·荆门)金桥学校"科技体艺节"期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如解图，过点C作CM⊥AB于M.则四边形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3，CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝3x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝33，在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，∵ED＝CM，∴AM＝ED，∵AM＝AE－ME，ED＝EF＋DF，∴3x－3＝x＋33，解得x＝6＋33，∴AE＝3(6＋33)＝63＋9，∴AB＝AE－BE＝9＋63－1≈18.4米．答：旗杆AB的高度约为18.4米．6．(2016·贺州)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(导学号35694246)解：由题意得，AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，在Rt△DBC中，∠CDB＝30°，∴DB＝BCtan∠CDB＝103，∴DH＝AH－AD＝AH－(DB－AB)＝10－103＋10＝20－103≈2.7(米)，∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．7．(2017·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上．(1)求树DE的高度；(2)求食堂MN的高度．解：(1)如解图，设DE＝x，∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2，∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)，又∵CD＝DEtan∠DCE＝x3＝33x，BC＝ABtan∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋33x，由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得：x＝6，∴树DE的高度为6米；(2)延长NM交DB延长线于点P，如解图，则AM＝BP＝3，由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋43，∵∠NDP＝45°，且MP＝AB＝2，∴NP＝PD＝3＋43，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43，∴食堂MN的高度为1＋43米．题型五与圆有关的证明与计算类型一与切线判定有关的证明与计算1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，BC＝22，求DF的长．(导学号35694247)(1)证明：连接OD，如解图，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；(2)解：连接AD，如解图，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝DC＝2，∴AD＝AB2－BD2＝42－（2）2＝14，∵DF⊥AC，∴△ADC∽△DFC，∴ADDF＝ACDC，∴14DF＝42，∴DF＝72.2．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝53，AB∶BC＝2∶3，求⊙O的直径．(1)证明：∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴AB是⊙O的切线；(2)解：在Rt△AEB中，tan∠AEB＝53，∴ABBE＝53，即AB＝53BE＝203，在Rt△ABC中，ABBC＝23，∴BC＝32AB＝10，∴⊙O的直径为10.3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是BC︵的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若OF＝2，求AC的长度．(导学号35694248)(1)证明：如解图①，连接OD、AD，∵点D是BC︵的中点，∴BD︵＝CD︵，∴∠DAO＝∠DAC，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，图①∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；图②(2)解：如解图②，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，∵∠DFO＝∠ACB＝90°，∴△DFO∽△BCA，∴OFAC＝ODAB＝12，即2AC＝12，∴AC＝4.4．(2017·张家界)在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．(1)证明：连接OD，如解图所示，∵AC＝BC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵DF⊥OD，∴∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，∴DG＝3OD＝63，∴S阴影部分＝S△ODG－S扇形OBD＝12×6×63－60π×62360＝183－6π.5．(2017·安顺)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝23，求阴影部分的面积．(1)证明：连接OC，如解图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC，∴CD＝BD，即OD垂中平分BC，∴EC＝EB，在△OCE和△OBE中，OC＝OB，OE＝OE，EC＝EB，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r－1，在Rt△OBD中，BD＝CD＝12BC＝3，∴(r－1)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，∵tan∠BOD＝BDOD＝3，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，在Rt△OBE中，BE＝3OB＝23，∴S阴影部分＝S四边形OBEC－S扇形BOC＝2S△OBE－S扇形BOC＝2×12×2×23－120π×22360＝43－43π.类型二与切线性质有关的证明与计算1．(2017·绵阳)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的⊙O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N.(1)求证：CA＝CN；(2)连接OF，若cos∠DFA＝45，AN＝210，求⊙O的直径的长度．(1)证明：连接OF，则∠OAF＝∠OFA，如解图①所示，∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME.∵CD⊥AB，∴∠M＋∠FOH＝180°.∵∠BOF＝∠OAF＋∠OFA＝2∠OAF，∠FOH＋∠BOF＝180°，∴∠M＝2∠OAF.∵ME∥AC，∴∠M＝∠C＝2∠OAF.∵CD⊥AB，∴∠ANC＋∠OAF＝∠BAC＋∠C＝90°，∴∠ANC＝90°－∠OAF，∠BAC＝90°－∠C＝90°－2∠OAF，∴∠CAN＝∠OAF＋∠BAC＝90°－∠OAF＝∠ANC，∴CA＝CN；(2)解：连接OC，如解图②所示．∵cos∠DFA＝45，∠DFA＝∠ACH，∴CHAC＝45.设CH＝4a，则AC＝5a，AH＝3a，∵CA＝CN，∴NH＝a，∴AN＝AH2＋NH2＝（3a）2＋a2＝10a＝210，∴a＝2，AH＝3a＝6，CH＝4a＝8.设⊙O的半径为r，则OH＝r－6，在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝8，OH＝r－6，∴OC2＝CH2＋OH2，r2＝82＋(r－6)2，解得：r＝253，∴⊙O的直径的长度为2r＝503.2．(2017·大连)如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若DE＝2，BD＝5，求CE的长．(导学号35694249)(1)证明：设∠BAD＝α，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－2α，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE；(2)解：设AD交⊙O于点F，CE＝x，则AC＝2x，连接BF，如解图，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵BD＝BE，DE＝2，∴FE＝FD＝1，∵BD＝5，∴BF＝2，∵∠BAD＋∠D＝90°，∠D＋∠FBD＝90°，∴∠FBD＝∠BAD＝α，∴tanα＝FDBF＝12，∴AB＝BFsinα＝255＝25，在Rt△ABC中，由勾股定理可知(2x)2＋(x＋5)2＝(25)2，解得x＝－5(舍去)或x＝355，∴CE＝355.3．(2017·南京)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.证明：(1)如解图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA＝OB，∴PO平分∠APC；(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－30°＝60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.4．如图，直线l经过点A(4，0)，B(0，3)．(1)求直线l的函数表达式；(2)若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．(1)∵A(4，0)，B(0，3)，∴直线l的解析式为：y＝－34x＋3；(2)作MH⊥AB，垂足为H，如解图所示，∵M在y轴上，∴设M(0，t)，2S△ABM＝BM·AO＝AB·MH，∴|3－t|×4＝5×2，解得t1＝12，t2＝112，∴M1(0，12)，M2(0，112)．题型六二次函数与几何图形综合题类型一探究特殊三角形的存在性问题1．(2017·乌鲁木齐)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝x＋1相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.①当PE＝2ED时，求P点坐标；②是否存在点P，使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号35694250)解：(1)∵点B(4，m)在直线y＝x＋1上，∴m＝4＋1＝5，∴B(4，5)，把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得a－b＋c＝0，16a＋4b＋c＝5，25a＋5b＋c＝0，解得a＝－1，b＝4，c＝5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；(2)①设P(x，－x2＋4x＋5)，则E(x，x＋1)，D(x，0)，则PE＝|－x2＋4x＋5－(x＋1)|＝|－x2＋3x＋4|，DE＝|x＋1|，∵PE＝2ED，∴|－x2＋3x＋4|＝2|x＋1|，当－x2＋3x＋4＝2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝2，但当x＝－1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P(2，9)；当－x2＋3x＋4＝－2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝6，但当x＝－1时，P与A重合，不合题意，舍去，∴P(6，－7)；综上可知，P点坐标为(2，9)或(6，－7)；②点P的坐标为(34，11916)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)时，△BEC为等腰三角形．2．(2017·阜新)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－5，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，点E(x，y)为抛物线上一点，且－5<x<－2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；(3)如图②，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A(－5，0)，B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得到－25－5b＋c＝0，－1＋b＋c＝0，解得b＝－4，c＝5.∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－4x＋5；(2)如解图①，∵抛物线的对称轴为直线x＝－2，E(x，－x2－4x＋5)，∴EH＝－x2－4x＋5，EF＝－2－x，∴矩形EFDH的周长＝2(EH＋EF)＝2(－x2－5x＋3)＝－2(x＋52)2＋372，∵－2<0，∴x＝－52时，矩形EHDF的周长最大，最大值为372；(3)如解图②，设P(－2，m)，①当∠ACP＝90°时，AC2＋PC2＝PA2，∴(52)2＋22＋(m－5)2＝32＋m2，解得m＝7，∴P1(－2，7)．②当∠CAP＝90°时，AC2＋PA2＝PC2，∴(52)2＋32＋m2＝22＋(m－5)2，解得m＝－3，∴P2(－2，－3)．③当∠APC＝90°时，PA2＋PC2＝AC2，∴32＋m2＋22＋(m－5)2＝(52)2，解得m＝6或m＝－1，∴P3(－2，6)，P4(－2，－1)，综上所述，满足条件的点P坐标为(－2，7)或(－2，－3)或(－2，6)或(－2，－1)．3．(2017·重庆A)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝33x2－233x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上．(1)求直线AE的解析式；(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE.当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值；(3)点G是线段CE的中点，将抛物线y＝33x2－233x－3沿x轴正方向平移得到抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)直线AE的解析式为y＝33x＋33.(2)设直线CE的解析式为y＝mx－3，∴直线CE的解析式为y＝233x－3.过点P作PF∥y轴，交CE于点F.如解图①，设点P的坐标为(x，33x2－233x－3)，则点F(x，233x－3)，则FP＝－33x2＋433x.∴△EPC的面积＝－233x2＋833x.∴当x＝2时，△EPC的面积最大．∴P(2，－3)．如解图②，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP于N、M.∵K是CB的中点，∴K(32，32)．∴tan∠KCP＝33.∵OD＝1，OC＝3，∴tan∠OCD＝33.∴∠OCD＝∠KCP＝30°.∴∠KCD＝30°.∵K是BC的中点，∠OCB＝60°，∴OC＝CK.∴点O与点K关于CD对称．∴点G与点O重合．∴点G(0，0)．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为(32，－332)．∴KM＋MN＋NK＝MH＋MN＋GN.当点G、N、M、H在一条直线上时，KM＋MN＋NK有最小值，最小值＝GH.∴GH＝（32）2＋（332）2＝3.∴KM＋MN＋NK的最小值为3.(3)点Q的坐标为(3，－43＋2213)或(3，－43－2213)或(3，23)或(3，－235)．类型二探究特殊四边形的存在性问题1．(2017·宜宾)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号35694251)解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；(2)∵AD＝5，且OA＝1，∴OD＝6，又∵CD＝8，∴C(－6，8)，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8＝－x2＋4x＋5，解得x＝1或x＝3，∴C′点的坐标为(1，8)或(3，8)，∵C(－6，8)，∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m的值为7或9；(3)Q点的坐标为(－2，－7)或(6，－7)或(4，5)时，以点B、E、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形．2.如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，A(－3，0)，过点C的直线y＝－2x＋4与x轴交于点D，二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．(1)求B、C两点的坐标；(2)求二次函数解析式；(3)若点P是CD的中点，求证：AP⊥CD；(4)在二次函数图象上是否存在点M，使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(1)解：y＝－2x＋4，当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)，在矩形OABC中，BC＝OA＝3，AB＝OC＝4，∴B(－3，4)；(2)解：∵二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图象经过B、C两点，∴4＝c，4＝－12×9＋b×（－3）＋c，解得b＝－32，c＝4，∴二次函数的解析式为y＝－12x2－32x＋4；(3)证明：如解图连接AC，在Rt△AOC中，AC＝OA2＋OC2＝32＋42＝5，∵y＝－2x＋4，当y＝0时，x＝2.∴D(2，0)∵AD＝OA＋OD＝3＋2＝5，∴AD＝AC.∵P是CD的中点，∴AP⊥CD；(4)解：存在，理由：假设四边形APCM为矩形，过点M作MN⊥x轴于点N，在Rt△COD中，CD＝OC2＋OD2＝42＋22＝25，∴CP＝AM＝12CD＝5，∵MA∥CD，∴∠MAN＝∠CDO.∵∠MNA＝∠COD＝90°，∴△MNA∽△COD，∴MNCO＝NAOD＝MACD，∴MN＝4×525＝2，NA＝2×525＝1，∵ON＝OA＋AN＝4，∴M(－4，2)，把x＝－4代入y＝－12x2－32x＋4中，得y＝2，∴点M在抛物线上，∴存在这样的点M，使四边形APCM为矩形．3．(2017·营口)如图，抛物线y＝ax2＋bx－2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－2，0)，点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.(1)求抛物线解析式；(2)若点P在第一象限内，当OD＝4PE时，求四边形POBE的面积；(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号35694252)解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2的对称轴是直线x＝1，A(－2，0)在抛物线上，∴－b2a＝1，4a－2b－2＝0，解得a＝14，b＝－12，∴抛物线解析式为y＝14x2－12x－2；(2)令y＝14x2－12x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4，当x＝0时，y＝－2，∴B(4，0)，C(0，－2)，设BC的解析式为y＝kx＋b，则4k＋b＝0，b＝－2，解得k＝12，b＝－2，∴BC的解析式为y＝12x－2，设D(m，0)，∵DP∥y轴，∴E(m，12m－2)，P(m，14m2－12m－2)，∵OD＝4PE，∴m＝4(14m2－12m－2－12m＋2)，解得m1＝5，m2＝0(舍去)，∴D(5，0)，P(5，74)，E(5，12)，∴S四边形POBE＝S△OPD－S△EBD＝12×5×74－12×1×12＝338；(3)当N点的坐标为(92，－14)或(235，310)或(5－255，55)或(5＋255，55)时，以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．4．(2017·成都)如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0，4)，AB＝42，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′.(1)求抛物线C的函数表达式；(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；(3)如图②，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．解：(1)抛物线C的函数表达式为y＝－12x2＋4；(2)由题意可得抛物线C′的顶点坐标为(2m，－4)，设抛物线C′的解析式为y＝12(x－2m)2－4，则y＝－12x2＋4，y＝12（x－2m）2－4，消去y得到x2－2mx＋2m2－8＝0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有（2m）2－4（2m2－8）>0，2m>0，2m2－8>0，解得2＜m＜22，∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜22；(3)结论：四边形PMP′N能成为正方形．理由：情形1，如解图①，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H.图①由题意易知P(2，2)，当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2－m，∴M(m＋2，m－2)，∵点M在y＝－12x2＋4上，∴m－2＝－12(m＋2)2＋4，解得m＝17－3或m＝－17－3(舍弃)，∴当m＝17－3时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如解图②，四边形PMP′N是正方形，同法可得M(m－2，2－m)，图②把M(m－2，2－m)代入y＝－12x2＋4中，2－m＝－12(m－2)2＋4，解得m＝6或m＝0(舍弃)，∴当m＝6时，四边形PMP′N是正方形．∴当m＝17－3或m＝6时，四边形PMP′N是正方形．类型三探究相似三角形的存在性问题1．已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y＝x＋4经过A，C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如果点P，Q在抛物线上(P点在对称轴左边)，且PQ∥AO，PQ＝2AO，求P，Q的坐标；(3)动点M在直线y＝x＋4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．解：(1)抛物线的解析式为y＝－12x2－x＋4；(2)∵PQ＝2AO＝8，PQ∥AO，∴P、Q关于对称轴x＝－1对称，PQ＝8，－1－4＝－5，当x＝－5时，y＝－12×(－5)2－(－5)＋4＝－72，即P(－5，－72)；－1＋4＝3，即Q(3，－72)；∴P点坐标为(－5，－72)，Q点坐标为(3，－72)；(3)M点的坐标为(－83，43)或(－3，1)．2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__y＝13x＋1__；抛物线的表达式为__y＝－13x2－23x＋1__；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.(导学号35694253)(2)∵点D为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t，－13t2－23t＋1)，则F(t，13t＋1)，∴DF＝－13t2－23t＋1－(13t＋1)＝－13t2－t＝－13(t＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t＝－32时，DF有最大值，最大值为34，此时D点坐标为(－32，54)；(3)P点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．(2017·海南)抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝35x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)该抛物线对应的函数解析式为y＝35x2－185x＋3；(2)①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，∴可设P(t，35t2－185t＋3)(1＜t＜5)，∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，∴M(t，0)，N(t，35t＋3)，∴PN＝35t＋3－(35t2－185t＋3)＝－35(t－72)2＋14720，联立直线CD与抛物线解析式可得y＝35x＋3，y＝35x2－185x＋3，解得x＝0，y＝3或x＝7，y＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C、D作直线PN的垂线，垂足分别为E、F，如解图①，则CE＝t，DF＝7－t，∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN＝72[－35(t－72)2＋14720]＝－2110(t－72)2＋102940，∴当t＝72时，△PCD的面积最大，最大值为102940；②存在满足条件的点P，其坐标为(2，－95)或(349，－5527)．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－32，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B.(1)求抛物线解析式；(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求四边形PAOC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号35694254)解：(1)y＝12x＋2中，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝－4，∴C(0，2)，A(－4，0)，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x＝－32对称，∴点B的坐标为(1，0)．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－4，0)，B(1，0)，∴可设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，又∵抛物线过点C(0，2)，∴2＝－4a，∴a＝－12，∴y＝12(x＋4)(x－1)＝－12x2－32x＋2；(2)设P(m，－12m2－32m＋2)．如解图①，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，∴Q(m，12m＋2)，∴PQ＝－12m2－32m＋2－(12m＋2)＝－12m2－2m，∵S四边形PAOC＝S△AOC＋S△PAC＝12×4×2＋12×PQ×4＝2PQ＋4＝－m2－4m＋4＝－(m＋2)2＋8，∴当m＝－2时，△PAC的面积最大，最大值是8，此时P(－2，3)；(3)存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．类型四探究最值问题1．(2017·安顺)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线对称轴为x＝2，P(2，－1)，设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC＝22＋（t－3）2＝t2－6t＋13，MP＝|t＋1|，PC＝22＋（－1－3）2＝25，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC＝MP、MC＝PC和MP＝PC三种情况，①当MC＝MP时，则有t2－6t＋13＝|t＋1|，解得t＝32，此时M(2，32)；②当MC＝PC时，则有t2－6t＋13＝25，解得t＝－1(与P点重合，舍去)或t＝7，此时M(2，7)；③当MP＝PC时，则有|t＋1|＝25，解得t＝－1＋25或t＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)．综上可知：存在满足条件的点M，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x＜3对应的抛物线上任取一点E，过点E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E(x，x2－4x＋3)，则F(x，－x＋3)，∵0＜x＜3，∴EF＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x，∴S△CBE＝S△EFC＋S△EFB＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x2＋3x)＝－32(x－32)2＋278，∴当x＝32时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为(32，－34)，即当E点坐标为(32，－34)时，△CBE的面积最大.2．(2017·苏州)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b、c的值；(2)如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.(导学号35694255)解：(1)∵CD∥x轴，CD＝2，∴抛物线对称轴为x＝1.∴－b2＝1，b＝－2.∵OB＝OC，C(0，c)，∴B点的坐标为(－c，0)，∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3；(2)设点F的坐标为(0，m)，∵对称轴为直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2，m)，由(1)可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴E(1，－4)，∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6.∵点F在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2)；(3)存在满足题意的点Q，其坐标为(12，－154)或(32，－154)．3．(2017·东营)如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A，B两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．解：(1)∵直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝3，OC＝3，∴tan∠BCO＝33＝3，∴∠BCO＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝30°，∴AOCO＝tan30°＝33，即AO3＝33，解得AO＝1，∴A(－1，0)；(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A，B两点，∴a－b＋3＝09a＋3b＋3＝0，解得a＝－33b＝233，∴抛物线解析式为y＝－33x2＋233x＋3；(3)∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°，∴DH＝12DM，MH＝32DM，∴△DMH的周长为DM＋DH＋MH＝DM＋12DM＋32DM＝3＋32DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M(t，－33t2＋233t＋3)，则D(t，－33t＋3)，∴DM＝－33t2＋233t＋3－(－33t＋3)＝－33t2＋3t＝－33(t－32)2＋334，∴当t＝32时，DM有最大值，最大值为334，此时3＋32DM＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH周长的最大值为93＋98.4．(2017·泸州)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(－1，0)、B(4，0)、C(0，2)三点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值．解：(1)二次函数解析式为y＝－12x2＋32x＋2；(2)满足条件的点D的坐标为(3，2)或(－5，－18)；(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如解图，设P(t，－12t2＋32t＋2)，由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y＝－12x＋2，∴H(t，－12t＋2)，∴PH＝yP－yH＝－12t2＋32t＋2－(－12t＋2)＝－12t2＋2t，设直线AP的解析式为y＝px＋q，∴－12t2＋32t＋2＝tp＋q，0＝－p＋q，解得p＝－12t＋2，q＝－12t＋2，∴直线AP的解析式为y＝(－12t＋2)(x＋1)，令x＝0可得y＝2－12t，∴F(0，2－12t)，∴CF＝2－(2－12t)＝12t，联立直线AP和直线BC解析式可得y＝（2－12t）（x＋1），y＝－12x＋2，解得x＝t5－t，即E点的横坐标为t5－t，∴S1＝12PH(xB－xE)＝12(－12t2＋2t)(4－t5－t)，S2＝12×t2×t5－t，∴S1－S2＝12(－12t2＋2t)(4－t5－t)－12×t2×t5－t＝－54t2＋4t＝－54(t－85)2＋165，∴当t＝85时，S1－S2有最大值，最大值为165.5．(2017·怀化)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图②，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为抛物线的顶点，点M(4，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．(导学号35694256)解：(1)抛物线的函数表达式为y＝x2－4x－5；(2)D的坐标为(0，1)或(0，103)；(3)设H(t，t2－4t－5)，∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为－5，∵E在抛物线上，∴x2－4x－5＝－5，解得x＝0(舍)或x＝4，∴E(4，－5)，∴CE＝4，∵B(5，0)，C(0，－5)，∴直线BC的解析式为y＝x－5，∴F(t，t－5)，∴HF＝t－5－(t2－4t－5)＝－(t－52)2＋254，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF＝12CE·HF＝－2(t－52)2＋252，当t＝52时，四边形CHEF的面积最大为252，当t＝52时，t2－4t－5＝254－10－5＝－354，∴H(52，－354)；(4)∴P(137，0)，Q(0，－133)．甘肃省2018年普通高中招生考试模拟卷(时间120分钟满分120分)一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．下列图形中，是轴对称图形的是(C)2．(2016·宁波)宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为(C)A．0.845×1010元B．84.5×108元C．8.45×109元D．8.45×1010元3．64的立方根是(A)A．4B．8C．±4D．±84．下列计算正确的是(D)A．2x2·2xy＝4x3y4B．3x2y－5xy2＝－2x2yC．x－1÷x－2＝x－1D．(－3a－2)(－3a＋2)＝9a2－45．(2016·玉林)如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是(D)6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF的长为(B)A.5B.7C.3D．77．在同一平面坐标系内，若直线y＝3x－1与直线y＝x－k的交点在第四象限的角平分线上，则k的值为(C)A．k＝－12B．k＝13C．k＝12D．k＝18．(2016·烟台)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，x12－x1＋x2的值为(D)A．－1B．0C．2D．39．(2017·宁夏)如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D)A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b)＝a2－abC．(a－b)2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)10．(2017·营口)如图，直线l的解析式为y＝－x＋4，它与x轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4)，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE(E，O两点分别在CD两侧)．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是(C)二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分)11．因式分解：b2－ab＋a－b＝__(b－a)(b－1)__．12．方程12x＝2x－3的解是__x＝－1__．13．若单项式－xm－2y3与23xny2m－3n的和仍是单项式，则m－n＝__13__．14．(2016·西宁)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝__2__．15．(2017·巴中)若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足a－9＋(b－2)2＝0，第三边c为奇数，则c＝__9__.16．(2017·辽阳)若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是__k<15__.17．(2017·随州)如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC＝70°，则∠ADC＝__35__度．18．(2017·郴州)已知a1＝－32，a2＝55，a3＝－710，a4＝917，a5＝－1126，…，则a8＝__1765__．三、解答题(共5小题，共26分)19．(4分)(1)计算：(13)－2－(π－7)0＋|3－2|＋6tan30°；(2)先化简，再求值：(3xx－2－xx＋2)÷xx2－4，其中x＝－1.(1)解：原式＝9－1＋2－3＋6×33＝10－3＋23＝10＋3.(2)解：原式＝[3x（x＋2）（x＋2）x－2）－x（x－2）（x＋2）（x－2）]·（x＋2）（x－2）x＝3x2＋6x－x2＋2x（x＋2）（x－2）·（x＋2）（x－2）x＝2x2＋8xx＝2x＋8，当x＝－1时，原式＝2×(－1)＋8＝6.20．(6分)(2017·呼和浩特)已知关于x的不等式2m－mx2>12x－1.(1)当m＝1时，求该不等式的解集；(2)m取何值时，该不等式有解，并求出解集．解：(1)当m＝1时，不等式为2－x2>x2－1，去分母得：2－x>x－2，解得x<2；(2)不等式去分母得：2m－mx>x－2，移项合并得：(m＋1)x<2(m＋1)，当m≠－1时，不等式有解，当m>－1时，不等式解集为x<2；当m<－1时，不等式的解集为x>2.21．(6分)(2016·广州)如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)．解：图象如解图所示，证明：∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.22．(6分)(2017·湘潭)如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＝∠ECF，在△ADE和△FCE中，∠D＝∠ECF，DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE(A)；(2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC，∵AD＝BC，AB＝2BC，∴AB＝FB，∴∠BAF＝∠F＝36°，∴∠B＝180°－2×36°＝108°.23．(9分)(2017·凉州区)在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止)．(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．解：(1)根据题意列表如下：乙    甲 6 7 8 93 9 10 11 124 10 11 12 135 11 12 13 14由表可得，两数和共有12种等可能结果；(2)由(1)可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，∴李燕获胜的概率为612＝12；刘凯获胜的概率为312＝14.四、解答题(本题共5小题，共40分)24．(7分)(2016·陕西)某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查．我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为："A.非常喜欢"、"B.比较喜欢"、"C.不太喜欢"、"D.很不喜欢"，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是________；(3)若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习"不太喜欢"的有多少人？解：(1)由题意可得，调查的学生有：30÷25%＝120(人)，选B的学生有：120－18－30－6＝66(人)，B所占的百分比是：66÷120×100%＝55%，D所占的百分比是：6÷120×100%＝5%，故补全的条形统计图与扇形统计图如图所示，(2)由(1)中补全的条形统计图可知，所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢，故答案为：比较喜欢；(3)由(1)中补全的扇形统计图可得，该年级学生中对数学学习"不太喜欢"的有：960×25%＝240(人)，即该年级学生中对数学习"不太喜欢"的有240人．25．(7分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC＝45，cos∠ACH＝55，点B的坐标为(4，n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△BCH的面积．解：(1)∵AH⊥x轴于点H，∴∠AHC＝90°，∴CH＝AC·cos∠ACH＝45×55＝4，∴AH＝AC2－CH2＝（45）2－42＝8，又∵点O是CH的中点，∴CO＝OH＝12CH＝2，∴点C(2，0)，H(－2，0)，A(－2，8)，把A(－2，8)代入反比例函数的解析式中，得k＝－16，∴反比例函数的解析式为y＝－16x，把A(－2，8)，C(2.0)代入一次函数解析式中，得8＝－2a＋b，0＝2a＋b，解得a＝－2，b＝4，∴一次函数的解析式为y＝－2x＋4；(2)将B(4，n)代入y＝－16x中，得n＝－4，∴S△BCH＝12·CH·|yB|＝12×4×4＝8.26．(8分)(2017·镇江)如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交与BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2.(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．(1)证明：∵∠A＝∠B，∴DE∥BC，∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2，∠DB∥EC，则四边形BCED为平行四边形；(2)解：∵∠BN平分∠DBC，∠DBN＝∠CBN，∵EC∥DB，∴∠CNB＝∠DBN，∴∠CNB＝∠CBN，∠CN＝BC＝DE＝2.27．(8分)(2017·盘锦)如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径R＝5，tanC＝12，求EF的长．解：(1)OE与⊙O相切，理由：如解图，连接OD，BD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝∠90°，∴BD⊥AC，∵AB＝BC，∴AD＝DC，∵OD＝OB，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线；(2)如解图，过点D作DH⊥BC于点H，∵⊙O的半径R＝5，tanC＝12，∴BC＝10，设BD＝t，CD＝2t，∴BC＝5t＝10，∴t＝25，∴BD＝25，CD＝45，∴DH＝CD·BDBC＝4，∴OH＝OD2－DH2＝3，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2＝OH·OE，∴OE＝253，∴BE＝103，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴BFOD＝BEOE，即BF5＝103253，∴BF＝2，∴EF＝BE2－BF2＝83.28．(10分)(2017·安顺)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当0<x<3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究)．解：(1)∵直线y＝－x＋3与x抽、y轴分别交于点B、点C，∴B(3，0)，C(0，3)，把点B，C的坐标代入抛物线解析式可得9＋3b＋c＝0，c＝3，解得b＝－4，c＝3，∴抛物线解析式为y＝x2－4x＋3；(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线对称轴为x＝2，顶点P(2，－1)，设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC＝22＋（t－3）2＝t2－6t＋13，MP＝|t＋1|，PC＝22＋（－1－3）2＝25，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC＝MP，MC＝PC和MP＝PC三种情况．①有MC＝MP时，则有t2－6t＋13＝|t＋1|，解得t＝32，此时M(2，32)；②有MC＝PC时，则有t2－6t＋13＝25，解得t＝－1(与P点重合，舍去)或t＝7，此时M(2，7)；③有MP＝PC时，则有|t＋1|＝25，解得t＝－1＋25或t＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)．综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，过点E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E(x，x2－4x＋3)，则F(x，－x＋3)，∵0<x<3，∴EF＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x，∴S△CBE＝S△EFC＋S△EFB＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x2＋3x)＝－32(x－32)2＋278，∴当x＝32时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为(32，－34)，即当E点坐标为(32，－)时，△CBE的面积最大．