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免费2017年安徽省淮南市中考数学一模试卷含答案解析试卷分析2017年安徽省淮南市XX中学中考数学一模试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)1.若(x+2)(x﹣1)=x2+mx+n,则m+n=()A.1 B.﹣2 C.﹣1 D.22.我国计划在2020年左右发射火星探测卫星,据科学研究,火星距离地球的最近距离约为5500万千米,这个数据用科学记数法可表示为()A.5.5×106千米 B.5.5×107千米 C.55×106千米 D.0.55×108千米3.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是()A. B. C. D.4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′,点A在边B′C上,则∠B′的大小为()A.42° B.48° C.52° D.58°5.若关于x的一元二次方程方程(k﹣1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是()A.k<5 B.k≥5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k>56.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点,∠BEF的平分线交CD于点G,若∠EFG=52°,则∠EGF等于()A.26° B.64° C.52° D.128°7.如图,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,1),B(3,1),C(2,2),当直线与△ABC有交点时,b的取值范围是()A.﹣1≤b≤1 B.﹣≤b≤1 C.﹣≤b≤ D.﹣1≤b≤8.如图,已知点A(﹣8,0),B(2,0),点C在直线y=﹣上,则使△ABC是直角三角形的点C的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共20分)9.不等式组的解集是.10.分解因式:x3﹣2x2+x=.11.妈妈给小明买笔记本和圆珠笔.已知每本笔记本4元,每支圆珠笔3元,妈妈买了m本笔记本,n支圆珠笔.妈妈共花费元.12.如图,⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于.13.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若S△DEC=3,则S△BCF=.14.如图所示,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为.15.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是.三、解答题(本大题共7小题,每小题5分,满分60分)16.计算:|﹣3|+tan30°﹣﹣10.17.先化简,再求值:(﹣x﹣1)÷,选一个你喜欢的数代入求值.18.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD.求证:EF=AD.19.某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多,浪费严重,为了让同学们珍惜粮食,养成节约的好习惯,校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的剩余情况,并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.(1)这次被调查的同学共有名.(2)把条形统计图补充完整.(3)校学生会通过数据分析,估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算,该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐?20.已知,如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)求两函数图象的另一个交点坐标;(3)直接写出不等式;kx+b≤的解集.21.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若CF=4,DF=,求⊙O的半径r及sinB.22.如图,△ABC是等边三角形,AB=4cm,CD⊥AB于点D,动点P从点A出发,沿AC以1cm/s的速度向终点C运动,当点P出发后,过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQR,设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s).(1)当点Q在线段AD上时,用含t的代数式表示QR的长;(2)求点R运动的路程长;(3)当点Q在线段AD上时,求S与t之间的函数关系式;(4)直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值.2017年安徽省淮南市XX中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分)1.若(x+2)(x﹣1)=x2+mx+n,则m+n=()A.1 B.﹣2 C.﹣1 D.2【考点】多项式乘多项式.【分析】依据多项式乘以多项式的法则,进行计算,然后对照各项的系数即可求出m,n的值.【解答】解:∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n,∴m=1,n=﹣2.∴m+n=1﹣2=﹣1.故选:C.【点评】本题考查了多项式的乘法,熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键.2.我国计划在2020年左右发射火星探测卫星,据科学研究,火星距离地球的最近距离约为5500万千米,这个数据用科学记数法可表示为()A.5.5×106千米 B.5.5×107千米 C.55×106千米 D.0.55×108千米【考点】科学记数法-表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式.其中1≤|a|<10,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【解答】解:5500万=5.5×107.故选:B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是()A. B. C. D.【考点】简单组合体的三视图.【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.【解答】解:从正面看易得第一层有2个正方形,第二层左边有一个正方形,第三层左边有一个正方形.故选A.【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′,点A在边B′C上,则∠B′的大小为()A.42° B.48° C.52° D.58°【考点】旋转的性质.【分析】先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°,∠ACA′=48°,然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°﹣∠ACA′=42°.【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′,∴∠A′=∠BAC=90°,∠ACA′=48°,∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°.故选A.【点评】本题考查了转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了直角三角形两锐角互余的性质.5.若关于x的一元二次方程方程(k﹣1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是()A.k<5 B.k≥5,且k≠1 C.k≤5,且k≠1 D.k>5【考点】根的判别式.【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组,解之即可得出结论.【解答】解:∵关于x的一元二次方程方程(k﹣1)x2+4x+1=0有实数根,∴,解得:k≤5且k≠1.故选C.【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,根据根的判别式以及二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键.6.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点,∠BEF的平分线交CD于点G,若∠EFG=52°,则∠EGF等于()A.26° B.64° C.52° D.128°【考点】平行线的性质.【分析】根据平行线及角平分线的性质解答.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFG=180°,∴∠BEF=180°﹣52°=128°;∵EG平分∠BEF,∴∠BEG=64°;∴∠EGF=∠BEG=64°(内错角相等).故选:B.【点评】本题考查了平行线的性质,解答本题用到的知识点为:两直线平行,内错角相等;角平分线分得相等的两角.7.如图,平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,1),B(3,1),C(2,2),当直线与△ABC有交点时,b的取值范围是()A.﹣1≤b≤1 B.﹣≤b≤1 C.﹣≤b≤ D.﹣1≤b≤【考点】一次函数的性质.【分析】将A(1,1),B(3,1),C(2,2)的坐标分别代入直线中求得b的值,再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围.【解答】解:将A(1,1)代入直线中,可得+b=1,解得b=;将B(3,1)代入直线中,可得+b=1,解得b=﹣;将C(2,2)代入直线中,可得1+b=2,解得b=1.故b的取值范围是﹣≤b≤1.故选B.【点评】考查了一次函数的性质:k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降.8.如图,已知点A(﹣8,0),B(2,0),点C在直线y=﹣上,则使△ABC是直角三角形的点C的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【考点】一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理的逆定理.【分析】根据∠A为直角,∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析.【解答】解:如图,①当∠A为直角时,过点A作垂线与直线的交点W(﹣8,10),②当∠B为直角时,过点B作垂线与直线的交点S(2,2.5),③若∠C为直角则点C在以线段AB为直径、AB中点E(﹣3,0)为圆心的圆与直线y=﹣的交点上.过点E作x轴的垂线与直线的交点为F(﹣3,),则EF=∵直线y=﹣与x轴的交点M为(,0),∴EM=,FM==∵E到直线y=﹣的距离d==5∴以线段AB为直径、E(﹣3,0)为圆心的圆与直线y=﹣恰好有一个交点.所以直线y=﹣上有一点C满足∠C=90°.综上所述,使△ABC是直角三角形的点C的个数为3,故选:C.【点评】本题考查的是一次函数综合题,在解答此题时要分三种情况进行讨论,关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共20分)9.不等式组的解集是x<1.【考点】解一元一次不等式组.【分析】首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.【解答】解:,解①得x<,解②得x<1,则不等式组的解集是x<1.故答案是:x<1.【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.10.分解因式:x3﹣2x2+x=x(x﹣1)2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用.【分析】首先提取公因式x,进而利用完全平方公式分解因式即可.【解答】解:x3﹣2x2+x=x(x2﹣2x+1)=x(x﹣1)2.故答案为:x(x﹣1)2.【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,熟练应用完全平方公式是解题关键.11.妈妈给小明买笔记本和圆珠笔.已知每本笔记本4元,每支圆珠笔3元,妈妈买了m本笔记本,n支圆珠笔.妈妈共花费4m+3n元.【考点】列代数式.【分析】先求出买m本笔记本的钱数和买n支圆珠笔的钱数,再把两者相加即可.【解答】解:每本笔记本4元,妈妈买了m本笔记本花费4m元,每支圆珠笔3元,n支圆珠笔花费3n,共花费(4m+3n)元.故答案为:4m+3n.【点评】此题考查了列代数式,关键是读懂题意,找出题目中的数量关系,列出代数式.12.如图,⊙O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于130°.【考点】圆内接四边形的性质;圆周角定理.【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C的度数,再根据圆周角定理求解即可.【解答】解:∵∠A=115°∴∠C=180°﹣∠A=65°∴∠BOD=2∠C=130°.故答案为:130°.【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键.13.如图,在平行四边形ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,若S△DEC=3,则S△BCF=4.【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF,由已知条件求出△DEF的面积,根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△BCF,∴,=()2,∵E是边AD的中点,∴DE=AD=BC,∴=,∴△DEF的面积=S△DEC=1,∴=,∴S△BCF=4;故答案为:4.【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质;掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键,注意:相似三角形的面积比是相似比的平方.14.如图所示,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为2.【考点】反比例函数系数k的几何意义.【分析】过D作DE⊥OA于E,设D(m,),于是得到OA=2m,OC=,根据矩形的面积列方程即可得到结论.【解答】解:过D作DE⊥OA于E,设D(m,),∴OE=m.DE=,∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点,∴OA=2m,OC=,∵矩形OABC的面积为8,∴OAoOC=2mo=8,∴k=2,故答案为:2.【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,矩形的性质,根据矩形的面积列出方程是解题的关键.15.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是①②③.【考点】旋转的性质;全等三角形的判定;菱形的判定;正方形的性质.【分析】首先证明△ADE≌△GDE,再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数,推出AE=EG=FG=AF,由此可以一一判断.【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°,∵△DHG是由△DBC旋转得到,∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°,在RT△ADE和RT△GDE中,,∴AED≌△GED,故②正确,∴∠ADE=∠EDG=22.5°,AE=EG,∴∠AED=∠AFE=67.5°,∴AE=AF,同理△AEF≌△GEF,可得EG=GF,∴AE=EG=GF=FA,∴四边形AEGF是菱形,故①正确,∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°,故③正确.∵AE=FG=EG=BG,BE=AE,∴BE>AE,∴AE<,∴CB+FG<1.5,故④错误.故答案为①②③.【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是通过计算发现角相等,学会这种证明角相等的方法,属于中考常考题型.三、解答题(本大题共7小题,每小题5分,满分60分)16.计算:|﹣3|+tan30°﹣﹣10.【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】将tan30°=、10=1代入原式,再根据实数的运算即可求出结论.【解答】解:|﹣3|+tan30°﹣﹣10,=3+×﹣2﹣1,=3+1﹣2﹣1,=3﹣2.【点评】本题考查了实数的运算、绝对值、零指数幂以及特殊角的三角函数值,熟练掌握实数混合运算的运算顺序是解题的关键.17.先化简,再求值:(﹣x﹣1)÷,选一个你喜欢的数代入求值.【考点】分式的化简求值.【分析】首先把括号内的分式约分,然后通分相加,把除法转化为乘法,计算乘法即可化简,然后化简x的值,代入求解即可.【解答】解:原式=[﹣(x+1)]o=[﹣(x+1)]o=o=1﹣(x﹣1)=2﹣x.当x=0时,原式=2.【点评】本题考查了分式的化简求值,正确对所求的分式进行通分、约分是关键.18.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD.求证:EF=AD.【考点】平行四边形的判定与性质;三角形中位线定理.【专题】证明题.【分析】由DE、DF是△ABC的中位线,根据三角形中位线的性质,即可求得四边形AEDF是平行四边形,又∠BAC=90°,则可证得平行四边形AEDF是矩形,根据矩形的对角线相等即可得EF=AD.【解答】证明:∵DE,DF是△ABC的中位线,∴DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,又∵∠BAC=90°,∴平行四边形AEDF是矩形,∴EF=AD.【点评】此题考查了三角形中位线的性质,平行四边形的判定与矩形的判定与性质.此题综合性较强,但难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.19.某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多,浪费严重,为了让同学们珍惜粮食,养成节约的好习惯,校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的剩余情况,并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.(1)这次被调查的同学共有1000名.(2)把条形统计图补充完整.(3)校学生会通过数据分析,估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算,该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】(1)用没有剩的人数除以其所占的百分比即可;(2)用抽查的总人数减去其他三类的人数,再画出图形即可;(3)根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐,再根据全校的总人数是18000人,列式计算即可.【解答】解:(1)这次被调查的同学共有400÷40%=1000(名);故答案为:1000;(2)剩少量的人数是;1000﹣400﹣250﹣150=200,补图如下;(3)18000×=3600(人).答:该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐.【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.20.已知,如图,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y=(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)求两函数图象的另一个交点坐标;(3)直接写出不等式;kx+b≤的解集.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】(1)先求出A、B、C坐标,再利用待定系数法确定函数解析式.(2)两个函数的解析式作为方程组,解方程组即可解决问题.(3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即可解决问题,注意等号.【解答】解:(1)∵OB=2OA=3OD=6,∴OB=6,OA=3,OD=2,∵CD⊥OA,∴DC∥OB,∴=,∴=,∴CD=10,∴点C坐标(﹣2,10),B(0,6),A(3,0),∴解得,∴一次函数为y=﹣2x+6.∵反比例函数y=经过点C(﹣2,10),∴n=﹣20,∴反比例函数解析式为y=﹣.(2)由解得或,故另一个交点坐标为(5,﹣4).(3)由图象可知kx+b≤的解集:﹣2≤x<0或x≥5.【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题,解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式,知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决,学会利用图象确定自变量取值范围,属于中考常考题型.21.如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若CF=4,DF=,求⊙O的半径r及sinB.【考点】切线的判定.【分析】(1)连接OA、OD,如图,根据垂径定理得OD⊥BC,则∠D+∠OFD=90°,再由AB=BF,OA=OD得到∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,加上∠BFA=∠OFD,所以∠OAD+∠BAF=90°,则OA⊥AB,然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线;(2)先表示出OF=4﹣r,OD=r,在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(4﹣r)2=()2,解方程得到r的值,那么OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2,即AB2+32=(AB+1)2,解方程得到AB=4的值,再根据三角函数定义求出sinB.【解答】(1)证明:连接OA、OD,如图,∵点D为CE的下半圆弧的中点,∴OD⊥BC,∴∠EOD=90°,∵AB=BF,OA=OD,∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,而∠BFA=∠OFD,∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°,即∠OAB=90°,∴OA⊥AB,∴AB是⊙O切线;(2)解:OF=CF﹣OC=4﹣r,OD=r,DF=,在Rt△DOF中,OD2+OF2=DF2,即r2+(4﹣r)2=()2,解得r1=3,r2=1(舍去);∴半径r=3,∴OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.在Rt△AOB中,AB2+OA2=OB2,∴AB2+32=(AB+1)2,∴AB=4,OB=5,∴sinB==.【点评】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义.22.如图,△ABC是等边三角形,AB=4cm,CD⊥AB于点D,动点P从点A出发,沿AC以1cm/s的速度向终点C运动,当点P出发后,过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQR,设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s).(1)当点Q在线段AD上时,用含t的代数式表示QR的长;(2)求点R运动的路程长;(3)当点Q在线段AD上时,求S与t之间的函数关系式;(4)直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值.【考点】四边形综合题.【分析】(1)当点Q在线段AD上时,如图1,根据四边相等的四边形是菱形证明四边形APRQ是菱形,则QR=AP=t;(2)如图2,当点Q在线段AD上运动时,点R的运动的路程长为AR,当点Q在线段CD上运动时,点R的运动的路程长为CR,分别求长并相加即可;(3)分两种情况:①当0<t≤时,四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积,②当<t≤2时,四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积,分别计算即可;(4)分两种情况:①当∠BRQ=90°时,如图6,根据BQ=2RQ列式可得:t=;②当∠BQR=90°时,如图7,根据BR=2RQ列式可得:t=.【解答】解:(1)由题意得:AP=t,当点Q在线段AD上时,如图1,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,∵PQ∥BC,∴∠PQA=∠B=60°,∴△PAQ是等边三角形,∴PA=AQ=PQ,∵△PQR是等边三角形,∴PQ=PR=RQ,∴AP=PR=RQ=AQ,∴四边形APRQ是菱形,∴QR=AP=t;(2)当点Q在线段AD上运动时,如图2,点R的运动的路程长为AR,由(1)得:四边形APRQ是菱形,∴AR⊥PQ,∵PQ∥BC,∴AR⊥BC,∴RC=BC=×4=2,由勾股定理得:AR===2;当点Q在线段CD上运动时,如图2,点R的运动的路程长为CR,∴AR+CR=2+2,答:点R运动的路程长为(2+2)cm;(3)当R在CD上时,如图3,∵PR∥AD,∴△CPR∽△CAD,∴,∴,4t=8﹣2t,t=,①当0<t≤时,四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积,如图4,过P作PE⊥AB于E,∴PE=APosin60°=t,∴S=AQoPE=t2,②当<t≤2时,四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积,如图5,在Rt△PCF中,sin∠PCF=,∴PF=PCosin30°=(4﹣t)=2﹣t,∴FR=t﹣(2﹣t)=t﹣2,∴tan60°=,∴FM=×(t﹣2),∴S=S菱形APRQ﹣S△FMR=t2﹣FRoFM=﹣(t﹣2)××(t﹣2),∴S=﹣+3﹣2;综上所述,当点Q在线段AD上时,S与t之间的函数关系式为:S=;(4)①当∠BRQ=90°时,如图6,∵四边形APRQ是菱形,∴AP=AQ=RQ=t,∴BQ=4﹣t,∵∠AQP=∠PQR=60°,∴∠RQB=180°﹣60°60°=60°,∴∠RBQ=30°,∴BQ=2RQ,4﹣t=2t,3t=4,t=;②当∠BQR=90°时,如图7,同理得四边形CPQR是菱形,∴PC=RQ=RC=4﹣t,∴BR=t,∵∠CRP=∠PRQ=60°,∴∠QRB=60°,∴∠QBR=30°,∴BR=2RQ,∴t=2(4﹣t),t=,综上所述,以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值是或.【点评】本题是四边形和三角形的综合题,考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质和判定、动点运动问题、二次函数等知识,熟练掌握菱形和等边三角形的性质与判定是关键,利用数形结合的思想解决重叠部分图形的面积问题.
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