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免费2018届中考数学复习《图形相似》专题训练题含答案试卷分析解析《图形相似》提升训练.一．选择题（共14小题）1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（）①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AEoEG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②2．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）A． B．+1﹣ C．﹣ D．﹣13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（）A． B． C． D．4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对5．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PMoPH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：109．如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④=，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（）A． B． C． D．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：612．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论中结论正确的有（）①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则S△EDH=13S△CFH．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若=，则=．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着"黄金分割"，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为cm．16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PHoCD；④=，其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积=．18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是．（填序号即可）①△BEF∽△CHE②AG=1③EH=④S△BEF=3S△AGH19．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点A2018的坐标为三．解答题（共7小题）20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DEoDF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BFoDE=ABoAD．21．已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF．（1）求证：CD=CF；（2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；（3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值．22．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（）（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=、AD=1、AD=时，OD的值．（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．23．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．（1）求证：=；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．24．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB=．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）[来源:学,科,网]①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．26．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方形．①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由．（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（）①∠ADG=∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2=AEoEG；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②【解答】解：①由折叠可得，AD=AF，DG=FG，在△ADG和△AFG中，，∴△ADG≌△AFG（SSS），∴∠ADG=∠AFG，故①正确；②∵GF∥DC，∴∠EGF=∠DEG，由翻折的性质可知：GD=GF，DE=EF，∠DGE=∠EGF，∴∠DGE=∠DEG，∴GD=DE，∴DG=GF=DE=EF，∴四边形DEFG为菱形，故②正确；③如图所示，连接DF交AE于O，∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，∴△DOE∽△ADE，∴=，即DE2=EOoAE，∵EO=GE，DE=DG，∴DG2=AEoEG，故③正确；④由折叠可得，AF=AD=5，∴Rt△ABF中，BF==3，∴CF=5﹣3=2，设CE=x，则DE=EF=4﹣x，∵Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，∴CE=，故④错误；故选：B．2．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）A． B．+1﹣ C．﹣ D．﹣1[来源:Z。xx。k.Com]【解答】解：如图，过C作CF⊥AB于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△BEG中，∠BED=45°，则GE=GB．在Rt△AFC中，∠A=45°，AC=，则AF=CF==1，在Rt△BFC中，∠ABC=30°，CF=1，则BC=2CF=2，BF=CF=，设DF=x，CE=DE=y，则BD=﹣x，∴△CDF∽△BDG，∴==，∴==，∴DG=，BG=，∵GE=GB，∴y+=，∴2y2+x（﹣x）=﹣x，在Rt△CDF中，∵CF2+DF2=CD2，∴1+x2=4y2，∴+x（﹣x）=﹣x，整理得：x2﹣（2+2）x+2﹣1=0，解得x=1+﹣或1+﹣（舍弃），∴BD=﹣x=﹣1．故选：D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，∵BC===8，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴=，即=，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=．故选：C．4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC[来源:学|科|网]∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD∴共4对故选：D．5．如图，平面直角坐标系中O是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别（8，0）、（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=．正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA，∴△CDB∽△FDO，∴=，∵D、E为OB的三等分点，∴==2，∴=2，∴BC=2OF，∴OA=2OF，∴F是OA的中点；所以①结论正确；②如图2，延长BC交y轴于H，由C（3，4）知：OH=4，CH=3，∴OC=5，∴AB=OC=5，∵A（8，0），∴OA=8，∴OA≠AB，∴∠AOB≠∠EBG，∴△OFD∽△BEG不成立，所以②结论不正确；③由①知：F为OA的中点，同理得；G是AB的中点，∴FG是△OAB的中位线，∴FG=OB，FG∥OB，∵OB=3DE，∴FG=DE，∴=，过C作CQ⊥AB于Q，如图3．S?OABC=OAoOH=ABoCQ，∴4×8=5CQ，∴CQ=，S△OCF=OFoOH=×4×4=8，S△CGB=BGoCQ=××=8，S△AFG=×4×2=4，∴S△CFG=S?OABC﹣S△OFC﹣S△CBG﹣S△AFG=8×4﹣8﹣8﹣4=12，∵DE∥FG，∴△CDE∽△CFG，∴=（）2=，∴=，∴S四边形DEGF=S△CFG=；所以③结论正确；④在Rt△OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2，∴OB==，∴OD=，所以④结论不正确；本题结论正确的有：①③．故选：C．6．如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PMoPH；④EF的最小值是．其中正确结论是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④【解答】解：①错误．因为当点P与BD中点重合时，CM=0，显然FM≠CM；②正确．连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP=∠DCP，∵四边形PECF是矩形，∴OF=OC，∴∠OCF=∠OFC，∴∠OFC=∠DAP，∵∠DAP+∠AMD=90°，∴∠GFM+∠AMD=90°，∴∠FGM=90°，∴AH⊥EF．③正确．∵AD∥BH，∴∠DAP=∠H，∵∠DAP=∠PCM，∴∠PCM=∠H，∵∠CPM=∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴=，∴PC2=PMoPH，根据对称性可知：PA=PC，∴PA2=PMoPH．④正错误．∵四边形PECF是矩形，∴EF=PC，∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，∵AC=2，∴PC的最小值为1，∴EF的最小值为1；故选：B．7．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1﹣=，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D．8．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选：D．9．如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④=，其中正确的结论是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，∴GF⊥AD，由折叠可得，AH=AD=2AG，∠AHE=∠D=90°，∴∠AHG=30°，∠EHM=90°﹣30°=60°，∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH，∴△EHM中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH，∴△MEH为等边三角形，故①正确；∵∠EHM=60°，HE=HF，∴∠HEF=30°，∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE⊥EF，故②正确；∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA，∠EPH=∠EHA=90°，∴△PHE∽△HAE，故③正确；设AD=2=AH，则AG=1，∴Rt△AGH中，GH=AG=，Rt△AEH中，EH===HF，∴GF==AB，∴==，故④正确，综上所述，正确的结论是①②③④，故选：D．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B，C的一动点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．若AC=3，BC=4，则△AQP的面积的最大值是（）A． B． C． D．【解答】解：设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理得AB=5，∵∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，∴==，即==∴PQ=x，QB=xS△APQ=PQ×AQ=+x=∴当x=时，△APQ的面积最大，最大值是．故选：C．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，∴AD：BC=1：2；∵AD∥BC，∴△AOD～△BOC，∵AD：BC=1：2，∴S△AOD：S△BOC=1：4．故选：B．12．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1），（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【解答】解：共有3组，其组合分别是（1）和（2）三边对应成比例的两个三角形相似；（2）和（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）和（4）两角对应相等的两个三角形相似．故选：C．13．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论中结论正确的有（）①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则S△EDH=13S△CFH．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；③由②知：△EHF≌△DHC，故③正确；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM=x，则CF=2x，∴DF=2FC=4x，∴DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△CFH=×HM×CF=oxo2x=x2，S△EDH=×DH2=×=13x2，∴则S△EDH=13S△CFH，故④正确；其中结论正确的有：①②③④，4个；故选：D．14．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若=，则=．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故②正确；③∵△EHF≌△DHC（已证），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD为等腰直角三角形，如图，过H点作HM⊥CD于M，[来源:学&科&网]设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；故选：D．二．填空题（共5小题）15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着"黄金分割"，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为（15﹣5）cm．【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP=AB=×10=5﹣5，∴PB=AB﹣PA=10﹣（5﹣5）=（15﹣5）cm．故答案为（15﹣5）．16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①△DFP～△BPH；②==；③PD2=PHoCD；④=，其中正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）．【解答】解：∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，故①正确；∵∠DCF=90°﹣60°=30°，∴tan∠DCF==，∵△DFP∽△BPH，∴==，∵BP=CP=CD，∴==，故②正确；∵PC=DC，∠DCP=30°，∴∠CDP=75°，又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，∴∠DHP=∠CDP，而∠DPH=∠CPD，∴△DPH∽△CPD，∴，即PD2=PHoCP，又∵CP=CD，∴PD2=PHoCD，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PBosin60°=4×=2，PM=PCosin30°=2，∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4，∴=，故④错误；故答案为：①②③．17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为4，则四边形BOGC的面积=7．【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∵△ADE的面积为4，∴S△ABC=16，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∠EDG=∠F，∠DEG=∠GCF，∴=，又EG=CG，∴△DEG≌△FCG（AAS），∴DE=CF，∴BF=3DE，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∴==，∵AD=BD，∴S△BDE=S△ADE=4，∵AE=CE=2EG，∴S△DEG=S△ADE=×4=2，∵=，∴S△ODE=S△BDE=×4=1，∴S△OEG=S△DEG﹣S△ODE=×4=1，∵S四边形DBCE=S△ABC﹣S△ADE=3×4=12，∴S四边形OBCG=S四边形DBCE﹣S△BDE﹣S△OEG=7．故答案为：7．18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是①②③．（填序号即可）①△BEF∽△CHE②AG=1③EH=④S△BEF=3S△AGH【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∠FEG=60°，∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH，∴△BEF∽△CHE，故①正确；∴=，又∵BC=6，E为BC中点，BF=2，∴，即CH=4.5，又∵AC=BC=6，∴AH=1.5，∵AG∥CE，∴△AGH∽△CEH，∴，∴AG=CE=1，故②正确；如图，过F作FP⊥BC于P，则∠BFP=30°，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴BP=BF=1，PE=3﹣1=2，PF=，∴Rt△EFP中，EF==，又∵，∴EH=EF=，故③正确；∵AG=CE，BF=CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，∴9S△AGH=S△BEF，∴S△BEF=4S△AGH，故④错误；故答案为：①②③．19．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点A2018的坐标为（0，32017）【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，∴OA1=A1B1osin30°=2×=1，OB1=A1B1ocos30°=2×=，∴A1（0，1）．∵1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴OA2===3，∴A2（0，3）．同理可得A3（0，9）…∴A2018（0，32017）．故答案为：（0，32017）．三．解答题（共7小题）20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DEoDF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BFoDE=ABoAD．【解答】证明：（1）∵AD2=DEoDF，∴，∵∠ADF=∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F=∠DAE，又∵∠ADB=∠CDE，∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，即∠BDF=∠CDA，∴△BFD∽△CAD；（2）∵△BFD∽△CAD，∴，∵，∴，∵△BFD∽△CAD，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴，∴BFoDE=ABoAD．21．已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF．（1）求证：CD=CF；（2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；（3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，在△ADC和△ABC中∴△ADC≌△ABC，∴CD=CB，∵CE⊥AB，EF=EB，∴CF=CB，∴CD=CF；（2）解：∵△ADC≌△ABC，∴∠ADC=∠B，∵CF=CB，∴∠CFB=∠B，∴∠ADC=∠CFB，∴∠ADC+∠AFC=180°，∵四边形AFCD的内角和等于360°，∴∠DCF+∠DAF=180°，∵CD=CF，∴∠CDG=∠CFD，∵∠DCF+∠CDF+∠CFD=180°，∴∠DAF=∠CDF+∠CFD=2∠CDG，∵∠DAB=2∠DAC，∴∠CDG=∠DAC，∵∠DCG=∠ACD，∴△DGC∽△ADC；（3）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC=∠ADC，=，∵∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，∴∠HAG=∠DGC，=，∴∠HAG=∠AHG，=，∴HG=AG，∵∠GDC=∠DAC=∠FAG，∠DGC=∠AGF，∴△DGC∞△AGF，∴==，∴=．22．如图①，OP为一墙面，它与地面OQ垂直，有一根木棒AB如图放置，点C是它的中点，现在将木棒的A点在OP上由A点向下滑动，点B由O点向OQ方向滑动，直到AB横放在地面为止．（1）在AB滑动过程中，点C经过的路径可以用下列哪个图象来描述（）（2）若木棒长度为2m，如图②射线OM与地面夹角∠MOQ=60°，当AB滑动过程中，与OM并于点D，分别求出当AD=、AD=1、AD=时，OD的值．（3）如图③，是一个城市下水道，下水道入口宽40cm，下水道水平段高度为40cm，现在要想把整根木棒AB通入下水道水平段进行工作，那么这根木棒最长可以是113（cm）（直接写出结果，结果四舍五入取整数）．【解答】解：（1）∵点C是AB的中点，∴OC=AB，∴点C的运动轨迹是以O为圆心，AB长为半径的圆弧，经过的路程的圆周．故选甲．（2）过D作DH⊥OP于H，设DH=a，在Rt△OHD中，∵∠AOD=90°﹣600=300，∴OD=2a，OH=a，∵DH⊥OA，OQ⊥OA，∴DH∥QO，∴=，当AD=时，BD=，∴=，∴AH=a，在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，∴a2+a2=，解得a=，OD=，当AD=1时，BD=1，∴=，∴AH=a，在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，∴3a2+a2=1，解得a=，OD=1，当AD=时，BD=，∴=，∴AH=2a，在Rt△AHD中，∵AH2+DH2=AD2，∴12a2+a2=，解得a=，OD=．（3）由题意当等腰直角三角形的直角边为80cm时，斜边为≈113cm，所以这根木棒最长可以是113cm．故答案为113cm．23．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，点P为线段BE延长线上一点，连接CP，以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．（1）求证：=；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．【解答】（1）证明：∵，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，∴△BCE∽△DCP，∴=；（2）AC∥BD，理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，∴∠PCE=∠BCD，∵=，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD=∠CEP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CBD，∴AC∥BD．24．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB=2．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．【解答】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴=，∴PB2=PAoPC=12，∴PB=2；故答案为：2；（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②证明：∵△ADF∽△CFP，∴AFoPF=DFoCF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求；（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标分别为（﹣2，4），B（2，8），C（6，6）．26．在四边形ABCD中，点E为AB边上的一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．（1）若四边形ABCD为正方形．①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系DF=AE；②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE，DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由．（2）若四边形ABCD为矩形，BC=mAB，其他条件都不变．①如图3，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；②将△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图4中画出草图，并直接写出AE′和DF′的数量关系．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD=AB，∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF=BE，∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE，故答案为：DF=AE；②DF=AE．理由如下：∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE=∠DBF，∵=，=，∴=，∴△ABE∽△DBF，∴==，即AE与DF的数量关系是：DF=AE；（2）①AE与DF的数量关系是：DF=AE；理由：在图3中，作FM⊥AD，垂足为M．∵∠A=∠AEF=∠AMF=90°，∴四边形AEFM是矩形，∴FM=AE，∵AD=BC=mAB，∴Rt△ABD中，BD==AB，∵MF∥AB，∴△DMF∽△ABD，∴==，∴DF=MF=AE；②AE′和DF′的数量关系：DF'=AE'．如图3，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=mAB，∴BD==AB，∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴=，∴==，如图4，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，∴==，∴△ABE′∽△DBF′，∴==，即DF′=AE′．