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免费2018届中考数学复习《再谈勾股定理的应用》专题训练题含答案试卷分析解析再谈勾股定理的应用在数学解题中，当题中出现直角三角形(或可构造出直角三角形)时，往往可以运用勾股定理求解.本文从近年各地数学竞赛题中选取一些典型试题，介绍勾股定理在求解竞赛题中的应用.题1(2010年全国联赛试题)在等腰直角中，，是内一点，且，，则.解析如图1，过作，.设，，在直角和直角中，由勾股定理，可得由②①，得,∴，代入(1)得，解得，.当时，，在直角中，由勾股定理，可得.当时，，此时，∴点在之外了，不合题意，舍去.∴.点评本解法先根据题意画出图形，再作辅助线构造出新的直角三角形，然后运用勾股定理得解.题2(2008年浙江初赛试题)如图2，⊙与的斜边切于点，与直角边交于点，且，已知，，，则⊙的半径是()(A)(B)(C)(D)[来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]解析连，过作，在中，由勾股定理，得.∵，∴，∴.又∵，∴.∵，∴，∴，∴选D.点评本解法首先运用勾股定理，求得的长，然后再运用平行线分线段成此例定理与相似三角形性质，可得半径的长.题3(2006年江苏初三竞赛试题)如图3，四边形的对角线与相互垂直.若，，，则的长为()(A)(B)(C)(D)解析如图3，设.由勾股定理，可得由①②，得，⑤由③、⑤，得，两式相加，得，∴，∴.∴选A.点评本解法通过设辅助未知数、、、，由勾股定理建立关于、、、的方程组，求得的值，从而得到的长.题4(2005年五羊杯初三竞赛试题)如图4，在中，，，，，则的面积等于.解析延长，过点作.∵，∴.设，则，由勾股定理，得，，∴;同理可得.由，得，∴，化简得，∴，解得.当，，即，∴不合题意，舍去;当时，，符合题意，此时.∴.点评由，容易想到延长(延长也可)，得，再构造，运用勾股定理、相似三角形性质求得的长.这一求解方法易于理解，而且计算也并不复杂.题5(2003年全国联合竞赛试题)已知直角的周长为4，面积为7，试求它的三边之长.解析设的三边之长分别为、、，其中为斜边.由题意，得由③得，④把④两边平方，得.⑤由⑤②，得，⑥把②代入⑥，得，∴，∴，∴以、为根的一元二次方程为，解得.∴这个直角三角形之三边长分别为.点评本题表述简洁，通过设三边长分别为、、，由勾股定理、面积关系、周长关系建立起关于、、的方程组，并对等式变换，可计算出三边之长.题6(2004年江苏竞赛试题)如图5，在中，.若、上的中线、垂直相交于，则可用、的代数式表示为.解析∵、是的中线，∴为的重心.由重心定理，得.[来源:学科网]设，则.在、、中，由勾股定理，得由①+③，得，∴，∵，∴，∴.点评本解法运用三角形重心定理与直角三角形勾股定理，建立相应的方程组，从而巧妙地把几何问题转化为代数问题了.题7(2006年山东竞赛试题)如图6，在中，，是的平分线.求证:.证明设，则，[来源:Zxxk.Com]由勾股定理，得，∴.∵平分，由三角形内角平分线定理，得，∴，解得.∴，∴.[来源:学_科_网]点评本解法由题意设辅助未知数，由勾股定理、三角形内角平分线性质定理把边长、数量化(即用含的代数式表示)，这样可简捷证出结果.题8(2006年上海币新知杯试题)如图7，四边形为直角梯形()，且.若在边上存在一点，使得为等边三角形，则的值为.解析设.由勾股定理，得，，∴.①过点作，在中，∵，∴由勾股定理，得.②由②得，∴.∵，∴.代入①得，∴，∴.解这个方程并取得正根，得，∴.点评本解法运用设辅助未知数的方法，由勾股定理得到关于、、的两个方程，经变形、代换，求出之值.