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免费2019年中考数学专题《相似三角形》复习冲刺训练中考数学答题技巧中考复习冲刺训练相似三角形一、选择题1.已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.2.如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则△ADE的面积为（）A.B.C.D.3.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A.AC：BC=AD：BDB.AC：BC=AB：ADC.AB2=CDoBCD.AB2=BDoBC4.如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（）A.=B.=C.=D.=5.如果两个相似三角形的相似比是1：，那么这两个相似三角形的面积比是（）A.2：1B.1：C.1：2D.1：46.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.7.（2014o宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A.2：3B.2：5C.4：9D.：8.如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A.B.C.或D.或9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A.B.C.﹣1D.+110.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A.3：2：1B.5：3：1C.25：12：5D.51：24：1011.如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A.AE⊥AFB.EF︰AF＝︰1C.AF2＝FH·FED.FB︰FC＝HB︰EC12.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A.1：3B.1：4C.1：5D.1：25二、填空题13.如果两个相似三角形的周长的比为1：4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为________14.在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为12m，则旗杆的高度为________m．15.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是________．①BE=CD；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．16.若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为________．17.如图，A、B、C、D依次为一直线上4个点，BC=2，△BCE为等边三角形，⊙O过A、D、E3点，且∠AOD=120°．设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为________．18.如图，在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当△BOC和△AOB相似时，C点坐标为________．19.（2017o东营）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CEoCO，其中正确结论的序号是________．20.综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.1米．若小宇的身高是1.7米，则假山AC的高度为________米三、解答题21.在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，试说明满足条件的直线有几条，画出相应的图形加以说明．22.如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线y=（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F.（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，请证明△EGD∽△DCF，并求出k的值.23.如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。24.已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求CF的长和△FCG的面积；（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．（3）当△CG是直角三角形时，求x和y值．?答案解析一、选择题1.【答案】C【解析】【分析】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，两角相等，两三角形相似。2.【答案】A【解析】【分析】作AF⊥BC于F，由等边三角形的性质求出AF的值，从而求出△ABC的面积，再由相似三角形的性质就可以求出△ADE的面积．【解答】解：作AF⊥BC于F，∵△ABC中是等边三角形，∴BF=FC=BC，且AB=BC=AC=4∴BF=FC=2∴在Rt△ABC中，由勾股定理，得AF=2，S△ABC=×2×4=4．∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADE=．∴A答案正确，故选A．3.【答案】D【解析】【解答】解：∵∠B=∠B，∴当时，△ABC∽△DBA，当AB2=BDoBC时，△ABC∽△DBA，故选D．【分析】根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．4.【答案】A【解析】【解答】解：∵AF∥BC，DE∥BC，∴AF∥DE，∴=，，∴，故A错误，∵AF∥DE，∴，故B正确，∵DE∥BC，∴，故C正确，∵AF∥DE，∴，∵AF∥BC，∴，∴，故D正确，故选A．【分析】由AF∥BC，DE∥BC，得到AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．5.【答案】C【解析】【解答】解：这两个相似三角形的面积比=12：（）2=1：2．故选C．【分析】直接根据似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．6.【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，CD∥AB∵DE∥BC，∴，所以B选项结论正确，C选项错误；∵DF∥AB，∴，所以A选项的结论正确；，而BC=AD，∴，所以D选项的结论正确．故选C．【分析】先根据矩形的性质得AD∥BC，CD∥AB，再根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到，则可对B、C进行判断；由DF∥AB得，则可对A进行判断；由于，利用BC=AD，则可对D进行判断．7.【答案】C【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC又∵∠B=∠ACD=90°，∴△CBA∽△ACD=，∵=（）2=∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．【分析】先求出△CBA∽△ACD，得出=，得出△ABC与△DCA的面积比=．8.【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故答案为：C．【分析】根据正方形的性质，由四边形ABCD是正方形，得到AB=BC，E为中点，得到AB=2BE，又△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，所以①DM与AB是对应时，DM=2DN，根据勾股定理得到DM2+DN2=MN2，DM2+DM2，求出DM；②DM与BE是对应边时，DM=DN，由勾股定理得到DM2+DN2=MN2，即DM2+4DM2，求出DM，得出结论△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.9.【答案】C【解析】【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．【解答】∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共角，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC．设BD=x，则BC=x，CD=2﹣x．由于=，∴．整理得：x2+2x﹣4=0，解方程得：x=﹣1±，∵x为正数，∴x=﹣1+=-1．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．10.【答案】D【解析】【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．11.【答案】C【解析】【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠FAB=∠EAD，∠FAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FHoFE不正确．故选C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．12.【答案】B【解析】【解答】解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，故选：B．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．二、填空题13.【答案】1：4【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1：4，故答案为：1：4．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．14.【答案】9.6【解析】【解答】利用在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．设旗杆的高度为xm．根据在同一时刻身高与影长成比例可得：，解得：x=9.6．故答案为：9.6．【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可得出结果。15.【答案】①②【解析】【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴△BOD∽△COE错误，∴③错误；故答案为：①②．【分析】根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．16.【答案】或【解析】【解答】解：如图，当BF如图位置时，∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，∴△ABE≌△BAF（HL），∴∠ABM=∠BAM，∴AM=BM，AF=BE=3，∵AB=4，BE=3，∴AE===5，过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABE的中位线，∴BM=AE=×5=，当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，∴△BHE∽△BCG，∴BH：BC=BE：BG，∴BH=．故答案为：或．【分析】此题分量足情况讨论：当射线BM交AD于点F时，根据已知易证△ABE≌△BAF，再证明AM=BM，利用勾股定理求出BF的长，利用三角形的中位线定理或相似再证明点M是BF的中点，即可求出BM的长；当射线BM交AD于点G时，证明△BHE∽△BCG，求出BH的长，即可得出结果。17.【答案】y=（x＞0）【解析】【解答】解：连接AE，DE，∵∠AOD=120°，∴为240°，∴∠AED=120°，∵△BCE为等边三角形，∴∠BEC=60°；∴∠AEB+∠CED=60°；又∵∠EAB+∠AEB=∠EBC=60°，∴∠EAB=∠CED，∵∠ABE=∠ECD=120°；∴△ABE∽△ECD，∴，即，∴y=（x＞0）．故答案为：y=（x＞0）．【分析】连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠AED=120°，然后求得△ABE∽△ECD．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解．18.【答案】（﹣4，0），（﹣1，0）或（1，0）【解析】【解答】解：∵点C在x轴上，∴∠BOC=90°两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，若OC与OA对应，则OC=OA=4，C（﹣4，0）；若OC与OB对应，则OC=1，C（﹣1，0）或者（1，0）．∴C点坐标为：（﹣4，0），（﹣1，0）或（1，0）．故答案为：（﹣4，0），（﹣1，0）或（1，0）．【分析】本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．19.【答案】①②③【解析】【解答】解：①∵OC⊥AB，∴∠BOC=∠AOC=90°．∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=45°．∵AC∥OD，∴∠BOD=∠CAO=45°，∴∠DOC=45°，∴∠BOD=∠DOC，∴OD平分∠COB．故①正确；②∵∠BOD=∠DOC，∴BD=CD．故②正确；③∵∠AOC=90°，∴∠CDA=45°，∴∠DOC=∠CDA．∵∠OCD=∠OCD，∴△DOC∽△EDC，∴，∴CD2=CEoCO．故③正确．故答案为：①②③．【分析】①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出，得出CD2=CEoCO．20.【答案】17【解析】【解答】解：∵DE⊥EC，AC⊥EC，∴∠DEB=∠ACB=90°，∵∠DBE=∠ABC∴△DEB∽△ACB，∴DE：AC=BE：BC，又∵DE=1.7米，BE=2.1米，BC=21米，∴1.7：AC=2.1：21，∴AC=17米，故答案为：17米【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，利用相似比可求出假山AC的高度．三、解答题21.【答案】解：满足条件的直线有四条．如下所示：①所画直线ME与BC平行；②所画直线ME与AC平行；③∠BME=∠C；④∠AME=∠C．【解析】【分析】根据相似图形即是由一个图形到另一个图形，在截图的过程中保持形状不变，即可得出答案．22.【答案】解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，∴点E的坐标为（2，2），将点E的坐标代入y=，可得k=4，即反比例函数解析式为：y=，∵点F的横坐标为4，∴点F的纵坐标==1，故点F的坐标为（4，1）；（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED，又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF，结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，在Rt△CDF中，CD===，∵=，即：=，∴=1，解得：k=3．【解析】【分析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），可得CF=，BF=DF=2-，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．23.【答案】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0)根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）由顶点坐标公式求得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积＝S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AO·BO+(BO+DF)·OF+EF·DF=×1×3+（3+4）×1+×2×4=9；（3）相似如图，BD===；BE===DE===∴BD2+BE2=20,DE2=20即：BD2+BE2=DE2，所以△BDE是直角三角形∴∠AOB＝∠DBE＝90°，且，∴△AOB∽△DBE.【解析】【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线顶点D的坐标；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形AEDB的面积就可以由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得．（3）先判定△DBE是直角三角形，即可得证△AOB∽△DBE.24.【答案】解：（1）作FM⊥CD于M，可证△AEH≌△DHG≌△MGF，∴MG=DH=6-2=4，CG=6,CM=2,DG=FM=2，∴CF=2∴△FCG的面积=×6×2＝6；（2）可证△AEH∽△DHG，∴=，即=，∴DG＝，∴y=△FCG的面积=×(8?)×2＝8?，∵8?＞0，x≤8，∴1＜x≤8，∴当x=8时，y的最大值为7．（3）当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，∴△AEH∽△BCE∴=，即：=，解得：x=2或x=6．∴y=4或y＝．当∠GCF=90°时，此时F点正好落在边BC上，则△HAE∽△GDH，则=，解得：x=4+2或4-2，对应的y=4+2或4-2．当∠CGF=90°时，C，G，H共线，所以不可能．【解析】【分析】（1）要求CF的长和△FCG的面积，需先证△AEH≌△DHG≌△MGF（2）先证△AEH∽△DHG，然后根据比例关系，求出y与x之间的函数关系式与y的最大值；（3）由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角，当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，所以△AEH∽△BCE，根据相似三角形的对应线段成比例可求出解．