国家教委基础教育司编订的《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》（1996年5月版，以下简称新大纲），在必修课的“直线、平面、简单几何体”部分的教学目标中，列入了“掌握球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。”

　　球是一种基本旋转几何体，它的表面积和体积公式是有广泛应用的基本度量公式。在现行《高级中学课本立体几何（全一册）》中，是如下处理这两个公式的。先讲球的表面积公式,后讲球体积公式。为讲前者，首先证明了预备定理“若球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则圆台的侧面积为”。然后根据预备定理，利用分割逼近的方法，给出球面积公式。为讲体积公式，需先引入祖氏原理“夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的两个截面的面积总相等，则这两个几何体的体积相等。”然后应用祖氏原理，通过比较半球体与内挖圆锥的圆柱体，得出球体积公式。

　　多年的教学实践证明，在原教材总体系中上述处理方式是比较合理的。在逻辑上比较周密，教学上也比较自然顺畅。然而，原立体几何教材体系也存在过于强调内容与体系的完整严密，内容多且旧的问题。原《立体几何（全一册）》总课时设计为57，其中“直线和平面”部分为28课时，“多面体和旋转体”部分为29课时。在几何体中包括了棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，球、球冠、球缺等。对立体几何安排如此多的教学内容和课时，在目前世界各国的中学数学教材中已不多见。为了精简传统内容，给增加新内容提供课时，以适应21世纪的需要，新大纲对立体几何的教学内容做了必要的调整，以“直线、平面、简单几何体”为标题安排立体几何内容，总课时为36。在保留原来的“直线和平面”部分主要内容的基础上，简化了几何体部分，重点讲棱柱、棱锥、正多面体和球。对于圆柱、圆锥、棱台和圆台，则不作为教学内容列出。从中学数学课程和教材的全局来看，以上调整是必要的，也是比较合理的。第一，这样做保留了三维空间几何的最基础的内容，即空间的线线、线面、面面关系。掌握了这些核心内容，就得到立体几何的精髓，就可以不太费力地进而学习立体几何的其他内容，同时也为学习其他涉及立体几何知识的相关分支和学科储备了基本够用的基础知识。第二，这样做精简了基本几何体，分散处理基本几何体及有关计算问题，节约了课时，为高中数学增加概率与统计、微积分等近代数学知识让出了时间。

　　鉴于上述新大纲的调整，教材中关于球面积和体积公式的处理必须做相应变化。其理由主要有：

　　1．教学内容中删除圆台后，原教材中引出球面积公式的预备定理就不能出现了，因此球面积公式的处理不能沿用原教材方式。

　　2．教学目标中未包含体积公理及柱、锥体积的理论推导，而这些内容恰恰是原教材中球体积公式之前的内容。如果不讨论圆柱、圆锥的体积，而直接用它们来推出球的体积公式，就在逻辑上显得很不协调。人们不仅要问：为什么圆柱、圆锥的体积公式不作理论上的推导，而球的体积公式却要推导呢？

　　3．新大纲在限定选修课的理科部分安排了“积分”，其中包括“旋转体的体积”。这就能使部分学生在高中阶段运用定积分完成球体积公式的理论证明，这种证法要比原教材的初等数学证法更具一般性。因此，对选学理科的学生来说，在学习“积分”时讨论球体积公式的理论依据是最适宜的。

　　在新编高中数学教材中，怎样具体处理球面积和体积公式呢？这是一个需要认识思考的问题。下面笔者对所考虑到的几种方案进行分析比较。

　　二、几种方案的分析比较

　　方案1：直接给出两个公式，不在理论上进行证明或说明解释，至多在直观上用实验对公式加以验证，只要求学生理解公式所表示的意义，会利用公式进行计算。

　　分析：这种方案虽然实施起来毫不费力，但是显然过于简单，仅停留在初中一年级“代数式求值”的层次，与高中学生的思维发展水平和求知欲望相差甚远，与新大纲教学目标所要求的“掌握”公式是不一致的。新大纲有关“掌握”的解释是“一般地说，是在理解的基础上，通过练习，形成技能，能够（或会）用它去解决一些问题。”这里所说的“理解”又被解释为“对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得出来的，它与其他概念和规律之间的联系，有什么用途。”显然，方案1不能实现新大纲规定的“掌握”级教学目标。

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