来源:人民教育出版社 作者:佚名 更新时间:2006-06-01 03:47:16
一、目的要求
1.理解等比数列的概念。
2.掌握等比数列的通项公式,并会根据它进行有关计算。
二、内容分析
1.等比数列与等差数列在内容上是完全平行的,包括定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释、具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等。因此在教学与复习时可用对比方法,以便于弄清它们之间的联系与区别。
这里指出,如果一个数列既是等差数列又是等比数列,其充要条件是它为非0的常数列。事实上,由等比数列的定义可知这个数列是非0数列。取这个数列中的任意连续3项,
由题设知
即这个数列是非0的常数列。
2.数列的学习中,等差数列与等比数列是两种最重要的数列模型。事实上,等差数列描述的是一种绝对均匀的变化,等比数列描述的是一种相对均匀的变化。因为非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究,所以本章里重点研究等差数列和等比数列。
3.从函数的角度看,如果说等差数列可以与一次函数联系起来,那么等比数列则可以与指数函数联系起来。事实上,由等比数列的通项公式可得
,
当 q> 0,且q≠1时,是一个指数函数,而上式则是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列{}的图象是函数 的图象上的一些孤立点。
4.本课内容的重点是等比数列的概念及其通项公式。与等差数列一样,在讲等比数列的概念时,关键是要讲清“等比”的意义,即数列中任一项与前一项的比是同一个常数。等比数列的定义,是我们判断一个数列是否为等比数列的基本方法。
与等差数列一样,等比数列也具有一种对称性。对于等差数列来说,与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍,即
类似地,对于等比数列来说,与数列中任一项等距离的两项之积等于该项的平方,即
。
利用上面的性质,常可使一些问题变得简便。例如在具体问题里设成等差数列的3个数时,常设成
a-d,a,a+d;
设成等比数列的3个数时,常设成
可问:这些数列是不是等差数列?如果不是,又有什么特点?
2.提出等比数列的概念。
在观察、概括上述数列特点的基础上,提出这一概念。并将这一概念与等差数列进行对比。
这里可安排一个“想一想”:等差数列的首项、公差均可以是0,等比数列的首项,公比可以是0吗?
由等比数列的定义可知,等比数列的首项、公比均不能为0,各项是0组成的数列不是等比数列。
3.归纳出等比数列的通项公式。
让学生自己归纳,并可进行讨论。
在这过程中,如有必要可启发学生:如果等比数列的首项是,公比是q,那么,
如何表示?一般地,呢?
导出通项公式后,可指出像这样归纳得出的公式还不够严谨,学习后续有关知识后可对它进行严格证明。
4.讲例1。
5.课堂练习。
做教科书本小节后的“练习”第l、2题。
6.归纳总结。
为突出与等差数列的对比,可让学生自己填写下列表格
等差数列 | 等比数列 | |
定义 | ||
通项公式 | ||
相应图象的特点 | ||
首项、公差(公比)取值有无限制 |
四、布置作业
习题3.4第1、3、4、5题。
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